Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие Основы ВИ

.pdf

Скачиваний:

150

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

427.53 Кб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

Утверждено Редакционно-издательским советом

университета в качестве учебного пособия

НОВОСИБИРСК

2011

Тракимус Ю.В. Основы вариационного исчисления в примерах и задачах: Учеб. пособие. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2011. – 48 с.

Рецензенты: В.А. Селезнев, д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой ВМ, С.Н. Постовалов, к.т.н., доцент кафедры ПМт

Работа подготовлена на кафедре прикладной математики

Предназначено для студентов III курса всех специальностей факультета прикладной математики и информатики.

Функционал. Близость кривых. Непрерывность функционала

1. Понятие функционала. Пусть дан некоторый класс M функций y(x) .

Если	каждой	функции	y(x) M	по	некоторому		закону		поставлено в
соответствие определенное число V , то говорят, что в классе									M определен
функционал V , и пишут V =V[ y].
Класс M		функций y(x) , на		котором определен				функционал V[ y],
называется областью задания функционала. Кривые (функции)									y(x) , на кото-
рых	сравниваются значения функционала V[ y],					называются			допустимыми
кривыми или кривыми сравнения.
Вариацией		или приращением		δ y	аргумента	y(x)		функционала V[ y]
называется разность между двумя функциями y(x)						и	y0 (x) , принадлежащими
выбранному классу M функций: δ y = y(x) − y0 (x).
Приведем примеры функционалов.
1) Пусть		M = C[0,1]	– совокупность всех непрерывных функций y(x) ,
заданных на отрезке [0,1], и пусть
				1
			V[ y] = ò y(x)dx.						(1)

Тогда V[ y] есть функционал от y(x) : каждой функции y(x) C[0,1] отвечает определенное значение V[ y]. Подставляя в (1) вместо y(x) конкретные функции, мы будем получать соответствующие значения V[ y]. Так, если

1 1

y(x) = 5 , то V[5] = ò5×dx = 5; если y(x) = cosπ x , то V[cosπ x] = òcosπ x dx = 0 .

0	0
2) Пусть M = C1[a,b] – класс функций y(x) ,	имеющих непрерывную
производную на отрезке [a,b], и пусть V[ y] = y′(x0 ) ,	где x0 [a,b] . Видно, что

V[ y] есть функционал, определенный в указанном классе функций: каждой функции из этого класса ставится в соответствие определенное число – значение производной этой функции в фиксированной точке x0 .

Если,	например, a = 1,		b = 3 и x = 2 , то	для		y(x) = x2 имеем:
			0
V[x2 ] = 2x	x=2	= 4 ; для y(x) = ln x будем иметь V[ln x] = 1				= 1 .


				x	x=2	2

3) Пусть M = C1[a,b] –			класс функций y(x) ,

				имеющих непрерывную
производную y′(x) на отрезке [a,b]. Тогда

b
V[ y] = ò 1+ y′2 (x) dx	(2)

будет функционалом, определенным на этом классе функций. Функционал (2) геометрически выражает длину дуги кривой y = y(x) с концами в точках

A(a, y(a)) и B(b, y(b)) .

Основная задача вариационного исчисления – исследование функционалов на экстремум и отыскание тех функций, на которых этот экстремум достигается. Большую роль в развитии вариационного исчисления сыграли сле- дующие классические задачи [1, 2, 3, 4, 6, 7, 8].

1)Задача о брахистохроне – плоской линии, по которой материальная

точка быстрее всего соскальзывает под действием только силы тяжести из точки A в точку B ( B ниже A и точки не лежат на одной вертикальной прямой).

2)Задача о геодезической линии – линии наименьшей длины,

расположенной на заданной поверхности и соединяющей две данные точки.

3)Задача Дидоны – легендарной карфагенской царевны, которой

понадобилось ремешком фиксированной длины ограничить участок земли наибольшей площади.

2. Близость кривых. Говорят, что кривые y = y(x) и y = y1(x) , заданные

на отрезке [a,b], близки в смысле близости нулевого порядка, если для заданно-

го ε > 0 и для всех x [a,b] справедливо: y(x) − y1(x) < ε . Геометрически это означает, что эти кривые на отрезке [a,b] близки по ординатам.

Будем говорить, что кривые y = y(x) и y = y1(x) , заданные на отрезке

[a,b], близки в смысле близости первого порядка, если для заданного ε > 0 и

для всех x [a,b] справедливо: y(x) − y1(x) < ε и y′(x) − y1′(x) < ε .

Геометрически это означает, что кривые на отрезке [a,b] близки как по ординатам, так и по направлениям касательных в соответствующих точках.

Кривые y = y(x)

и y = y1(x) близки в смысле близости k -го порядка, если

для заданного ε > 0

и для

всех

x [a,b]

выполняется:

y(x) − y1(x)

< ε ,

y′(x) − y′(x)

< ε , …,

y(k ) (x) − y(k ) (x)

< ε .

Если кривые близки в смысле близости k -го порядка,

то они тем более

близки в смысле близости любого меньшего порядка.

Расстоянием между кривыми

y = y(x)

и y = y1(x) , где y(x) и

y1(x)

непрерывные на [a,b] функции, называется неотрицательное число ρ0 ,

равное

максимуму

y(x) − y1 (x)

на отрезке [a,b]:

ρ0

= ρ0[ y(x), y1(x)] = max

y(x) − y1(x)

a≤x≤b

Пусть кривые

y = y(x) и

y = y1(x) имеют на отрезке [a,b] непрерывные

производные n -го

порядка.

Расстоянием

n -го порядка

между кривыми

y = y(x) и y = y1(x)

называется наибольший из максимумов следующих ве-

личин:	y(x) − y (x)	,	y′(x) − y′(x)	, …,	y(n) (x) − y(n) (x)	на отрезке [a,b]. Будем


	1		1		1

обозначать это расстояние так:

ρn = ρn [ y(x), y1(x)] = max max y(k ) (

0≤k≤n a≤x≤b

ε -окрестностью n -го порядка кривой y = y(

x) − y1(k ) (x) .

x) называется совокупность

кривых y = y1(x) ,	расстояния	n -го порядка которых от	кривой y = y(x)
меньше ε : ρn = ρn [ y(x), y1(x)] < ε.
ε -окрестность	нулевого	порядка называют сильной	ε -окрестностью

функции y = y(x) . Сильная ε -окрестность кривой y = y(x) состоит из кривых, расположенных в полоске ширины 2ε вокруг кривой y = y(x) .

ε -окрестность первого порядка называют слабой ε -окрестностью функции y = y(x) .

3. Непрерывность функционала. Функционал V[ y], определенный в классе M функций y(x) , называется непрерывным при y = y0 (x) в смысле

близости n -го порядка, если для любого числа ε > 0 существует число δ > 0 такое, что для всех допустимых функций y = y(x) , удовлетворяющих условиям

y(x) − y

(x)

< δ ,

y′(x) − y′

(x)

< δ , …,

y(n) (x) − y(n) (x)

< δ , выполняется

неравенство

V[ y] −V[ y0 ]

< ε . Иными

словами,

V[ y] −V[ y0 ]

< ε , если

ρn [ y(x), y0 (x)] < δ .

Функционал, не являющийся непрерывным в смысле близости n -го порядка, будем называть разрывным в смысле указанной близости.

Замечание. Сильная ε -окрестность функции y = y0 (x) содержит большее число кривых, чем слабая окрестность, так как слабой ε -окрестности y0 (x) не принадлежат кривые, близкие к кривой y0 (x) по ординатам, но сильно отлича- ющиеся по производным. Поэтому, если функционал на кривой y0 (x) обладает

некоторым свойством по отношению к кривым из ее сильной окрестности, то

этим же свойством он будет обладать и по отношению к кривым из ее слабой окрестности. Например, из непрерывности функционала на кривой y0 (x) в ее

сильной окрестности следует его непрерывность на этой кривой в ее слабой окрестности.

Пусть M – линейное нормированное пространство функций y(x) . Функционал L[ y], определенный в пространстве M , называется линейным, если он удовлетворяет условиям:

1)L[c × y] = c × L[ y], где c – произвольная постоянная.

2)L[ y1 + y2 ] = L[ y1 ] + L[ y2 ] , где y1 (x) M , y2 (x) M .

ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ
Пример 1. Показать, что кривые y(x) =	sin n2 x	, где n достаточно велико, и
Пример 1. Показать, что кривые y(x) =	n	, где n достаточно велико, и
	n
5

y1(x) ≡ 0 на [0,π ] близки в смысле близости нулевого порядка.

▲ Так как модуль разности

y(x) − y (x)

sin n2 x

≤ 1 , т.е. на всем отрезке

[0,π ] эта разность по модулю мала при достаточно большом n .

Близости первого порядка нет, так

как

y′(x) − y′(x)

= n

cosn2 x

, и,

например, в точках x =

2π

имеем

y′(x) − y′(x)

= n

и, значит,

y′(x) − y′(x)

может быть сделан как угодно большим при достаточно большом n . ▲

Пример 2. Показать, что кривые

y(x) =

sin nx

, где n достаточно велико, и

y1(x) ≡ 0 на [0,π ] близки в смысле близости первого порядка.

▲ Так как

y(x) − y (x)

sin nx

≤

y′(x) − y′(x)

cosnx

≤

малы, то

указанные кривые близки в смысле близости первого порядка. ▲

Пример 3. Найти расстояние ρ0

между кривыми y = x и y = x2 на отрезке

[0,1].

▲ По определению ρ0

= max

x2 − x

= max(x − x2 ). На концах отрезка [0,1]

0≤x≤1

функция y = x − x2 обращается в нуль. Найдем max(x − x2 ) . Имеем y′ = 1− 2x ;

1 , так что ρ0

0≤x≤1

y′ = 0 при x =

= max

x2 − x

= (x − x2 )

1 =

. ▲

0≤x≤1

Пример 4. Найти расстояние первого порядка между кривыми y(x) = x2 и

y (x) = x3

на отрезке [0,1].

y′ = 3x2

▲ Найдем производные данных функций y′ = 2x ,

и рассмотрим

функции

f (x) = x2 − x3

и g(x) = 2x − 3x2 . Найдем их наибольшие значения на

отрезке

[0,1].

Имеем

f ′ = 2x − 3x2 .

Приравнивая

эту

производную к

нулю,

находим стационарные точки функции f (x) : x = 0, x

= 2 . Далее,

f (x)

= 0 ;

x=0

f (x)

; f (x)

x=1

= 0 . Отсюда ρ0

= max

x3 − x2

= max (x2 − x3 )

0≤x≤1

Найдем теперь расстояние ρ%0

нулевого порядка

между

производными

y′ = 2x

y′ = 3x2 :

ρ%

= max

g(x)

= max (2x − 3x2 )

= (2x − 3x2 )

= 1.

Таким

x 1

x=1

≤

образом, расстояние ρ

первого порядка между кривыми y(x) = x2 и y (x) = x3

будет равно ρ1 = max(ρ0 , ρ%0 ) = 1. ▲

Пример 5. Исследовать на непрерывность функционал

y′(x)

V[ y] = ò

dx, y(x) C1[0,1],

(3)

на прямой y = 0: а) в ее сильной окрестности; б) в ее слабой окрестности.


	▲ а) Зададим ε =			1	и выберем кривые сравнения yn (x) =					sin nx		, тогда
				4
1					1			1			n
							1		1		- sin 2n		> 1 .
	V[ yn ]-V[0]	= ò	cosnx			dx ³òcos2nx dx =		ò(1- cos2nx)dx =

0					0		2	0	2		4n		4
	Итак, с одной стороны, кривые yn (x)						в смысле близости нулевого порядка

æ sin nx			ö		sin nx
æ sin nx			ö		sin nx
стремятся к y = 0: ρ0 ç		,0	÷	= max		- 0	® 0, n ® ¥, но в то же время
стремятся к y = 0: ρ0 ç	n	,0	÷	= max	n	- 0	® 0, n ® ¥, но в то же время
è	n		ø	[ ]	n
				0,1

V[ yn ]-V[0] ®/ 0, n ® ¥ . Следовательно, функционал (3) разрывный на прямой y = 0 в ее сильной окрестности.

б) рассмотрим любую последовательность функций yn (x)ÎC1[0,1], стремящуюся к y = 0 при n → ∞ в ее слабой окрестности. Это означает, что

ρ1 ( yn (x),0) = max

(x)

+ max

yn¢ (x)

® 0, n ® ¥.

Отсюда

следует,

что

[ ]

0,1

max

y¢

(x)

® 0, n ® ¥ , значит, и

V[ y

]-V[0]

y¢

dx ® 0, n ® ¥.

0,1

[ ]

Следовательно,

функционал (3)

непрерывен на y = 0

в ее

слабой

окрестности. ▲

ЗАДАЧИ

Установить порядок близости кривых:

y(x) = cosnx ,

y (x) ≡ 0 на [0,2π ].

n2 +1

y(x) = sin x , y (x) ≡ 0 на [0,π ].

3. y(x) = sin nx , y1(x) ≡ 0 на [0,1].

Найти расстояния ρ0 между кривыми на указанных интервалах: 4. y(x) = xe− x , y1(x) ≡ 0 на [0,2].

5. y(x) = sin2x , y (x) = sin x на é0,π				ù .
1			ê	ú
			ë 2	û
6. y(x) = x , y (x) = ln x на [e−1,e].
1					y (x) = x на [e−1,e].
7. Найти расстояние ρ	1	между кривыми y(x) = ln x ,			y (x) = x на [e−1,e].
	1				1		π ù .
8. Найти расстояние ρ	2	между y(x) = x и y (x) = − cos x на				é0,	π ù .
	2			1		ê	ú
						ë	3 û
9. Найти расстояние ρ	1001		между кривыми y(x) = ex ,		y (x) = x на [0,1].
	1001				1

Исследовать на непрерывность следующие функционалы в окрестности прямой y = 0: а) в ее сильной окрестности; б) в ее слабой окрестности.

10. V[ y] = ò y′2dx . 11. V[ y] = ò y′ dx . 12. V[ y] = ò1+ y′2 dx .

0 1 0

13. V[ y] = ò(1+ 2 y′2 )dx .

ОТВЕТЫ

1.Первый. 2. Близость любого порядка. 3. Близость любого порядка.

4.ρ0 = e−1 . 5. ρ0 = 1. 6. ρ0 = e −1. 7. ρ1 = e −1. 8. ρ2 = π3 + 12 . 9. ρ1001 = e . 10. а)

разрывный; б) непрерывный. 11. а) разрывный; б) непрерывный. 12. а) разрыв-

ный; б) непрерывный. 13. а) разрывный; б) непрерывный.

Вариация функционала. Экстремум функционала. Необходимое условие экстремума

1. Вариация функционала. Пусть функционал V[ y] задан на множестве

Mфункций y(x) . Приращением функционала V[ y], отвечающим приращению

δy аргумента, называется величина

V =

V[ y(x)] =V[ y(x) + δ y(x)] −V[ y(x)]

(4)

(δ y(x) = y%(x) − y(x), где

y(x) M , y%(x) M ).

Если приращение

функционала

V =V[ y(x) + δ y(x)] −V[ y(x)]

можно

представить в виде

V = L[ y(x), δ y] + β ( y(x), δ y)

δ y

, где L[ y(x), δ y] –

линейный по отношению к δ y функционал и β ( y(x), δ y) → 0 при

δ y

→ 0, то

линейная по отношению к δ y часть приращения функционала, т.е. L[ y(x), δ y],

называется вариацией функционала и обозначается δV . В этом случае функционал V[ y] называется дифференцируемым в точке y(x) .

2. Второе определение вариации функционала. Вариацией функционала

V[ y] в точке y = y(x) называется значение			производной		функционала
V[ y(x) + α δ y(x)] по параметру α , когда α = 0:
δV =	d	V[ y(x) +α δ y(x)]		.	(5)


	dα		α=0

Если существует вариация функционала как главная линейная часть его приращения, т.е. в смысле первого определения, то существует и вариация как значение производной по параметру α при α = 0 и эти вариации совпадают.

3. Экстремум функционала. Говорят, что функционал V[ y] достигает на кривой y = y0 (x) максимума, если значения функционала V[ y] на любой близкой к y = y0 (x) кривой не больше, чем V[ y0 ], т.е.

V = V[ y] −V[ y0 ] ≤ 0.

Если DV £ 0,	причем DV = 0 только при y = y0 (x) , то говорят, что на
кривой y = y0 (x) достигается строгий максимум.
Аналогично	определяется кривая y = y0 (x) , на которой реализуется

минимум. В этом случае DV ³ 0 на всех кривых, близких к кривой y = y0 (x) . Сильный и слабый экстремумы. Говорят, что функционал V[ y] достигает

на кривой y = y0 (x) сильного относительного максимума, если для всех допустимых кривых y = y(x) , расположенных в некоторой ε -окрестности нулевого порядка кривой y = y0 (x) , имеем V[ y] ≤ V[ y0 ].

Аналогично определяется сильный относительный минимум функционала. Говорят, что функционал V[ y] достигает на кривой y = y0 (x) слабого

относительного максимума, если для всех допустимых кривых y = y(x) , расположенных в некоторой ε -окрестности первого порядка кривой y = y0 (x) ,

имеем V[ y] ≤ V[ y0 ].

Аналогично определяется слабый относительный минимум функционала. Максимумы и минимумы (сильные и слабые) функционала V[ y] называют

относительными экстремумами.

Всякий сильный экстремум есть в то же время и слабый, но не наоборот. Экстремум функционала V[ y] на всей совокупности функций, на которых

он определен, называется абсолютным экстремумом. Всякий абсолютный экстремум является слабым и сильным относительным экстремумом, но не всякий относительный экстремум будет абсолютным.

4. Необходимое условие экстремума. Если дифференцируемый функционал V[ y] достигает экстремума при y = y0 (x) , где y0 (x) – внутренняя

точка области определения функционала, то при y = y0 (x) имеем δV[ y0 (x)] = 0. Функции, для которых δV = 0, называются стационарными функциями.

ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ

					1
Пример	1.	Найти	приращение	функционала	¢
Пример	1.	Найти	приращение	функционала	V[ y] = ò y(x) y (x)dx,
					0
определенного в пространстве C[0,1], если y(x) = x, y (x) = x2 .
				1
			1	1	1
▲ Имеем DV =V[x2 ]-V[x] = ò x2 ×2x ×dx - ò x ×1×dx = ò(2x3 - x)dx = 0. ▲
			0	0	0
Пример	2.	Показать,	что функционал V[y] = òb		y(x)dx, заданный в
				a
пространстве C[a,b], дифференцируем в каждой точке					y(x) этого простран-
ства.			b	b	b
			b	b	b
▲ DV =V[ y + δ y] -V[ y] = ò[ y(x) +δ y(x)]dx - ò y(x)dx = òδ y(x)dx.
			a	a	a
			9

		b
Таким образом,		DV = òδ y(x)dx .	Это и есть линейный относительно			δ y(x)
		a		приращение V свелось к линейному
функционал.	В	данном случае	все	приращение V свелось к линейному
функционалу	относительно δ y(x) .			Рассматриваемый функционал		V[ y]
				b
дифференцируем в каждой точке y(x)				и его вариация δV = òδ y(x)dx . ▲
				a
				b
Пример 3.		Показать, что функционал V[ y] = ò y(x)2 dx,			определенный в
				a
пространстве C[a,b], дифференцируем в каждой точке y(x) .
	b		b	b	b
▲ DV = ò[ y(x) + δ y(x)]2 dx - ò y2 (x)dx = ò2 y(x)δ y(x)dx + ò(δ y(x))2 dx. (6)
	a		a	a	a

Первый интеграл в правой части (6) при каждой фиксированной функции y(x) является линейным относительно δ y(x) функционалом. Оценим второй интеграл в правой части (6). Имеем

ò(δ y(x))2 dx =

2 dx £ (maxa≤x≤b

= ò

δ y(x)

òdx = (b - a)

δ y(x)

2 = ((b - a)

δ y(x)

) ×

δ y(x)

При

δ y

® 0 величина (b - a)

δ y(x)

® 0 . Следовательно, приращение V

функционала представимо в виде суммы L[ y,δ y] и добавки второго порядка малости относительно δ y . По определению, данный функционал является

дифференцируемым в точке y(x) и его вариация δV = 2ò y(x)δ y(x)dx. ▲

Пример 4. Пользуясь вторым определением, найти вариацию функционала

V[ y] = ò y2 (x)dx.

▲ Вариация этого функционала в смысле первого определения равна

δV = 2ò y(x)δ y(x)dx (см. пример 3). Найдем вариацию функционала V[ y]

пользуясь вторым определением вариации. Имеем

		b
		V[ y(x) +α δ y(x)] = ò[ y(x) +α δ y(x)]2 dx.
		a
	d	b
Тогда	d	V[ y +α δ y] = 2ò( y +α δ y)δ ydx
Тогда	dα	V[ y +α δ y] = 2ò( y +α δ y)δ ydx
	dα	a

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.20185.73 Mб25Учебник Английского(базовый уровень).docx
#
11.03.20163.56 Mб38УЧЕБНИК РЭМ5.pdf
#
27.03.20151.75 Mб14Учебник Титовой.pdf
#
27.03.20152.08 Mб82Учебник.doc
#
27.03.20153.39 Mб44учебник.docx
#
27.03.2015427.53 Кб150Учебное пособие Основы ВИ.pdf
#
27.03.201510.64 Mб99Учебное пособие по CASE-технологиям 1.doc
#
27.03.20151.04 Mб197Учебное пособие по CASE-технологиям 2.doc
#
27.03.20153.93 Mб299Учебное пособие_2.0.doc
#
14.04.2019223.74 Кб11УЧЕТ КАПИТАЛА И РЕЗЕРВОВ - для учебного пособия....doc
#
09.11.2018723.46 Кб14Ф X лаб uni.doc