Васюков В_Н_ Теория электрической связи_

конечной шириной спектра к этому идеалу могут только приближаться. Одним из хороших приближений является сигнал Баркера,

состоящий из N разнополярных прямоугольных элементарных им-

пульсов; пример такого сигнала при N 5 показан на рис. 2.28, а.

Отличительное свойство сигнала Баркера состоит в том, что его АКФ (рис. 2.28, б) имеет лепестковый вид, причем ширина каждого лепестка равна удвоенной длительности элементарного импуль-

са, а уровни боковых лепестков в N раз меньше, чем уровень главного лепестка (равный, очевидно, N 0 A2 ). К сожалению, сигналы Баркера существуют только при N 2, 3, 4, 5, 7,11,13 . Та-

ким образом, максимальное превышение главного лепестка над боковыми, которое определяет эффективность (помехоустойчивость) синхронизации39, не может быть для сигналов Баркера больше, чем 13. Бóльшее превышение достигается для длинных последовательностей разнополярных прямоугольных импульсов, называемых m-последовательностями (для них, однако, уровни бо-

ковых лепестков могут быть лишь в N раз меньше главного). ◄

39Чем больше указанное превышение, тем меньше вероятность принять боковой лепесток за главный из-за шумовых выбросов.

2.11. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ СИГНАЛОВ. ТЕОРЕМА ОТСЧЁТОВ

Коэффициенты обобщенного ряда Фурье, составляющие спектр некоторого сигнала относительно полного ортонормального базиса, вычисляются путем скалярного умножения этого сигнала на базисные функции. Существует счетный базис, для которого эта операция эквивалентна взятию отсчѐтов мгновенных значений аналогового сигнала через равные промежутки времени. Таким образом, аналоговый сигнал однозначно представляется дискретной последовательностью своих отсчѐтов. Такая дискретизация аналоговых сигналов имеет огромное значение для современной техники, так как является основой цифровой обработки сигналов.

Следует сразу же отметить, что, как и базис Фурье, упомянутый базис не обладает свойством полноты в пространстве

L2( , ) , поэтому он непригоден для представления с заданной

точностью любых аналоговых сигналов ограниченной энергии, однако для подпространства сигналов, спектральная плотность кото-

рых сосредоточена на конечном интервале Fв , Fв частотной

оси40, этот счетный базис полон.

Условие финитности спектра не является слишком обременительным, так как спектральные плотности всех сигналов из

L2( , ) при f быстро убывают41, поэтому их можно

с любой точностью аппроксимировать финитными функциями. При выборе конкретного базиса в качестве конечного интервала

Fв , Fв принимается так называемая эффективная ширина спек-

тра сигнала. Эффективной шириной спектра можно считать ширину частотного интервала, в котором сосредоточена заданная доля (например, 99 %) всей энергии сигнала. Обычно на практике перед дискретизацией сознательно ограничивают ширину спектра сигнала путем его предварительной фильтрации, так как это уменьшает ошибку восстановления аналогового сигнала.

Возможность представления аналогового сигнала последовательностью его отсчетов и условия применимости такого представления устанавливаются теоремой отсчетов. Приведенное

40Напомним, что такие функции называются финитными.

41См. по этому поводу п. 2.10.2.

вполне аналогичного комплексному ряду Фурье (2.39), представляющему временнýю функцию на интервале T2, T 2 , с той

очевидной разницей, что базисные функции здесь зависят не от t , а от f . Очевидно, коэффициенты ряда находятся как

Выразим сигнал x(t) через его обратное преобразование Фу-

рье, подставляя в качестве спектральной плотности еѐ представление рядом Фурье (2.55)

42Владимир Александрович Котельников (1908–2005) – выдающийся русский инженер и математик; доказал теорему отсчетов в 1933 г. Известны также варианты доказательства теоремы отсчѐтов, связанные с именами Э. Уиттекера

(1916), Х. Найквиста (1928), Д. Габора (1946), К. Шеннона (1948).

известного под названием ряда Котельникова. Коэффициенты x nTd этого ряда представляют собой отсчеты (мгновенные

значения) аналогового сигнала x(t) , взятые через равные про-

ций показаны на рис. 2.29. Этот ряд даѐт точное представление (интерполяцию) значений сигнала x(t) в любой точке

временнóй оси по известным значениям сигнала в дискретном множестве еѐ точек (узлов интерполяции). Следовательно, нет необходимости передавать или хранить всѐ непрерывное множество (континуум) значений аналогового сигнала с финитным спектром, достаточно передать (или зафиксировать на некото-

ром носителе) счетную последовательность его дискретных отсчетов x[n] x nTd , n , , по которым при необходимости сигнал может быть точно восстановлен.

u(t)

t

Рис. 2.29. Базисные функции ряда Котельникова при n = – 1, 0, 3, 7

Чтобы выяснить свойства полученного базиса, найдем скалярное произведение пары базисных функций. Сравним выражения (2.56) и (2.55) для сигнала и его спектральной плотности. Очевидно, функция

формуле Рэлея скалярное произведение k -й и m -й функций базиса Котельникова равно

Таким образом, базис Котельникова ортогонален, но не норми-

рован. По существу, базис Котельникова во временной области – это базис Фурье в частотной области [ср. (2.55) и (2.56)]. Поэто-

му свойства ортогональности и полноты одинаково справедливы для этих базисов.

Чтобы восстановить (интерполировать) аналоговый сигнал по последовательности его отсчетов, необходимо просуммировать все

базисные функции Котельникова при n , с весовыми коэффициентами, равными отсчѐтам x nTd . Технически эту операцию

можно в принципе осуществить, располагая ЛИС-цепью, имеющей импульсную характеристику, совпадающую с функцией Котельни-

кова 0 (t) , и подавая на вход этой цепи в моменты nTd , n , воздействия в виде -функций с амплитудными множителями x nTd , n , . Следовательно, на вход такой цепи должен по-

вую часть выражения (2.58), поэтому на выходе цепи наблюдается восстановленный сигнал x(t) .

Учитывая, что -функция имеет нулевую длительность, можно представить возбуждающий сигнал в виде

амплитудно-импульсной модуляцией (иАИМ-сигналом). Поскольку иАИМ-сигнал равен произведению (2.59), его спектральная

плотность равна свертке спектральных плотностей сигналов x(t) и(t) . Найдем спектральную плотность последовательности (t) . Для этого вначале запишем Td -периодическую последовательность в виде ряда Фурье

90 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ

Следовательно, восстановление аналогового сигнала интерполирующей цепью равносильно подавлению в спектре сигнала v(t)

всех спектральных составляющих, не принадлежащих интервалуFв , Fв , поэтому интерполирующий фильтр должен иметь

П-образную (прямоугольную) комплексную частотную характеристику (на рис. 2.29 показана штриховой линией):

Таким образом, спектральный подход к восстановлению аналогового сигнала по его отсчетам приводит к тому же выводу, что и временной.

Идеальная интерполирующая цепь, строго говоря, нереализуема, так как еѐ импульсная характеристика имеет бесконечно большую протяженность в области отрицательных времен. Однако в принципе можно построить цепь, сколь угодно точно еѐ аппроксимирующую, правда, при этом восстановленный сигнал будет получаться с задержкой (тем бóльшей, чем выше требуемая точность аппроксимации)43. В самом деле, физическая реализуемость предполагает каузальность импульсной характеристики, т.е. выполнение условия (2.34). На рис. 2.31 показаны импульсная характери-

и аппроксимирующая ее функция h(t) (сплошная линия). Очевид-

но, при соблюдении условия каузальности повышение точности аппроксимации неизбежно приводит к сдвигу функции вправо, а значит, увеличивает задержку восстановленного сигнала.

Нереализуемым является и сигнал, описываемый выражением (2.59), так как в него входят -функции. На практике вместо них

используются короткие44 импульсы.

Необходимо отметить, что выражение (2.59), описывающее процесс восстановления аналогового сигнала по его отсчетам, иногда неправильно связывают с процессом дискретизации сигнала. На самом деле взятие (одиночного) отсчета аналогового сигнала в

произвольный момент времени t0 представляет собой стробирование и описывается выражением типа свертки

а не умножения, как в (2.59).

Реальное взятие отсчета производится устройством, в котором выполняется свертка аналогового сигнала не с -функцией, как в

выражении (2.61), а с некоторым реальным импульсом d(t) . Этот

импульс должен быть «похож» на -функцию, в частности, он должен быть коротким и интеграл от него должен быть равен 1.

при стробировании реальным импульсом конечной длины всегда происходит искажение спектра сигнала. Для уменьшения такого искажения необходимо стремиться к уменьшению длительности

импульса d(t) , при этом форма импульса не играет заметной роли.

Все реальные сигналы имеют конечную длительность, поэтому спектральная плотность реального сигнала не может быть финитной. Нефинитность спектра сигнала приводит к тому, что «хво-

сты» копий спектральной плотности X ( f ) при периодическом

44Здесь импульс считается коротким, если его длительность много меньше величины 1/ Fв .

повторении накладываются друг на друга и суммируются, приводя к необратимому искажению сигнала45. Применяемая до дискретизации фильтрация сигнала при помощи фильтра нижних частот с характеристикой, близкой к прямоугольной, подавляет эти «хвосты», уменьшая погрешность интерполяции.

Итак, точному восстановлению аналогового сигнала по последовательности его отсчѐтов препятствуют:

1)конечная длительность любого реального сигнала и, как следствие, бесконечная ширина его спектра;

2)конечная длительность реального стробирующего импульса и, как следствие, искажение формы спектра сигнала при дискретизации;

3)невозможность точно реализовать интерполирующий фильтр.

Несмотря на эти ограничения, дискретизация широко применяется на практике, в частности, она является необходимой частью

цифровой обработки сигналов.

2.12.АНАЛИТИЧЕСКИЙ СИГНАЛ

Втеории электрических цепей, как известно, широко используется метод представления гармонических колебаний комплексными векторами (метод комплексных амплитуд), состоящий в том,

что гармоническое колебание Um cos(2 ft ) рассматривается как

вещественная часть комплексной функции Ume j(2 ft ) , которая

изображается вектором в комплексной плоскости, вращающимся с постоянной угловой скоростью 2 f ; при этом вектор имеет

длину Um и при t 0 составляет с вещественной осью комплексной плоскости угол . Аналогичное представление можно ввести для сигнала произвольной формы

x(t) Re{z(t)} ,

где z(t) x(t) j xˆ(t) – комплексное колебание (аналитический сигнал), мнимая часть которого xˆ(t) должна однозначно определяться исходным сигналом x(t) .

45Это явление называется подменой частот; в англоязычной литературе используется название aliasing.