3. Энергетический спектр носителей в одиночных квантовых ямах и сверхрешетках

Основным элементом, составляющим СР, является одиночная квантовая яма. В композиционных СР она формируется гетеропереходами между различными полупроводниками, а в легированных СР - соседними слоями с различным типом проводимости в одном и том же полупроводнике. Иногда под СР понимают периодическую структуру, которую можно рассматривать как последовательность независимых квантовых ям. В подобной структуре барьерные слои столь широки, что исключают любое перекрытие волновых функций, описывающих энергетические состояния носителей в отдельных квантовых ямах. Такая структура в действительности ведет себя не как СР, а как многократно повторенная квантовая яма, и поэтому обычно называется многоямной квантовой структурой (МКС). Ее можно рассматривать как предельный случай СР с бесконечно широкими барьерами.

Простейшей квантовой ямой, существующей в СР, является потенциальная яма прямоугольной формы, характерная для СР типа 1. Если яма ширины L_z имеет бесконечную высоту стенок, так что частица полностью локализована в соответствующем слое, то энергии связанных состояний, определяемые из решения стационарного уравнения Шредингера, имеют вид

, (1)

где

, n = 1, 2, 3... (2)

а k_x , k_y - компоненты волнового вектора в плоскости, параллельной стенкам ямы. Движение частицы в z- направлении квантовано, а в x- и y- направлениях носит классический характер. Из последнего выражения можно видеть, что для частицы, помещенной в квантовую яму, характерен так называемый квантовый размерный эффект, т.е. зависимость энергий E_n от ширины ямы L_z. Этот эффект играет важную роль в сверхрешетках, определяя эффективную ширину запрещенной зоны для этих структур.

Реально потенциальные ямы в СР типа 1 имеют конечную глубину, и приведенное выше решение уравнения Шредингера непригодно для количественного анализа энергий квантовых состояний частиц в яме.

Рис.4. Одномерный периодический потенциал Кронига - Пенни, иллюстрирующий ход края зоны проводимости в СР GaAs/AlGaAs (a), рассчитанная зависимость энергий подзон от k_z при k_x = k_y = 0 для СР GaAs/Al_0.1Ga_0.9As с d_А = d_B = 9нм и V_SL = 0,1эВ.

В компенсированных СР потенциал, действующий на электроны и дырки, обычно имеет прямоугольную форму. Поэтому параметры сверхрешеточных подзон можно определить из решения уравнения Шредингера для простой одномерной модели Кронига-Пенни с прямоугольным периодическим потенциалом. В качестве эффективной массы электронов в СР при этом в первом приближении можно брать соответствующее среднее значение от эффективных масс в материалах, составляющих СР - рис.4.

Рассмотрим движение частицы массы m в прямоугольной яме (рис.5), потенциал V(x) которой может быть записан в виде:

Рис.5. Одиночная потенциальная яма

Задача об энергиях связанных состояний сводится к нахождению волновой функции , удовлетворяющей уравнению Шредингера и граничным условиям в точках x = 0 и x = d. В областях I и III уравнение Шредингера записывается в виде:

. (4)

Его общее решение дается формулой

, (5)

где , A и C - постоянные.

Т.к. волновая функция ограничена на бесконечности, в области I необходимо положить C = 0, в области III - A = 0.

Тогда

(6)

(7)

В области II уравнение Шредингера имеет вид:

, (8)

и его общее решение есть

, (9)

где , B и - постоянные.

На границах потенциальной ямы должны выполняться условия непрерывности и d/dx:

(10)

.

Система уравнений (10) сводится к дисперсионному уравнению:

, (11)

где , .

Рис.5. Графическое решение дисперсионного уравнения (11), соответствующее точкам пересечения кривых Y₁ () и Y₂ () для электронных уровней в одиночной квантовой яме Al_0.3Ga_0.7As/GaAs/Al_0.3Ga_0.7As, шириной 120 . Значения , Y₁ и Y₂ даны в безразмерных единицах.

Уровни энергии находятся путем численного или графического решения уравнения (11). Графическое решение (11) изображено на рис.5, где Y₁ () и Y₂ () соответствуют левой и правой частям уравнения.

Количество n дискретных собственных значений энергии, соответствующих точкам пересечения Y₁ () и Y₂ (), зависит от отношения E_d /V₀ и лежит в пределах

. (12)

С уменьшением E_d /V₀ уменьшается как число связанных состояний, так и расстояние между ними, но состояние n = 1 существует при любом значении E_d /V₀.

Для одиночной квантовой ямы GaAs, окруженной толстыми слоями Al_xGa_1-xAs с более широкой запрещенной зоной с помощью уравнения (11) можно определить спектры собственных значений энергии как электронов в зоне проводимости, так и легких и тяжелых дырок в валентной зоне.