Сборник задач по дискретной математике_Алексеев_2010

УДК 519.95

ББК 518

А− 47

А− 47 Алексеев В.Е., Киселева Л.Г., Смирнова Т.Г. СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ: Задачник. – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2010. – 53 с.

Рецензент: к. ф.-м. н., доц. А.В. Баркалов

В сборнике задач содержится краткий теоретический материал и предлагаются задачи по важным разделам курса “Дискретная математика”: теории множеств, бинарным отношениям, комбинаторике и теории графов. Раздел "Контрольные задания" представлен контрольными работами по теории множеств и комбинаторике.

Задачник предназначен для студентов первого курса дневного и вечернего отделений факультета ВМК, обучающихся по направлениям подготовки «Прикладная математика и информатика» и «Информационные технологии».

Ответственный за выпуск: председатель методической комиссии ф-та ВМК ННГУ

д. ф.-м. н., проф. Л.П. Жильцова

УДК 519.95

ББК 518

© Нижегородский государственный

Университет им. Н.И. Лобачевского, 2010

2

1. Множества и операции над ними

Терминология и обозначения

{a1,a2 ,...,an} – множество, состоящее из n элементов a1 ,a2 ,...,an .

– множество, состоящее из таких элементов x, которые обладают свойством P.

x A – элемент x принадлежит множеству A. x A – элемент x не принадлежит множеству A.

– пустое множество (не содержащее ни одного элемента).

U – универсальное множество (универс), т. е. множество всех элементов.

A B – множество A является подмножеством множества B (A включено в

B, A содержится в B), это означает, что каждый элемент множества A явля-

ется элементом множества B.

A B означает, что A B и A B, т.е. A является собственным подмноже-

ством B.

2A {X | X A} — множество всех подмножеств A.

A U A — дополнение множества A.

A B {x| x A или x B} – объединение множеств A и B.

A B AB {x | x A и x B} – пересечение множеств A и B.

A B {x | x A и x B} – разность множеств A и B.

A B (A B) (B A) – симметрическая разность множеств A и B.

Некоторые свойства операций над множествами

5.A A;

6.коммутативные законы:

3

Операцию пересечения считаем более сильной, чем другие. Это означает, что при отсутствии скобок она выполняется первой. Например, формула (AB C) CD эквивалентна ((A B) C) (C D).

1.1.Какие из следующих утверждений верны:

1.2.Сколько элементов в каждом из множеств:

1.3.Известно, что A B и a A. Какие из следующих утверждений верны:

1.4.Известно, что B A C, a A и a B. Какие из следующих утвер-

ждений верны:

4

1.7.Пусть M2 , M3, M5 обозначают подмножества универса , состоящие

соответственно из всех чисел, кратных 2, 3, 5. С помощью операций над множе-

ствами выразите через них множества всех чисел:

1)делящихся на 6;

2)делящихся на 30;

3)взаимно простых с 30;

4)делящихся на 10, но не делящихся на 3.

Используя теоретико-множественную символику, запишите утверждения:

1)45 делится на 15;

2)42 делится на 6, но не делится на 10;

3)каждое число из множества {8, 9, 10} делится хотя бы на одно из чисел

2, 3, 5, но не делится на 6.

5

1.8.Для каждого i 1,2,...,n даны множества

Выразите через них с помощью операций , ,– множества: 1) {(i, j)|1 i k,1 j k, k n};

2){(i,i)|i 1,2,...,n};

3){(i, j)|1 i j n}.

1.9.Выясните, обладают ли операции – , свойствами коммутативности и ассоциативности.

1.10.Выясните, какие из следующих дистрибутивных законов справедливы для любых множеств A,B,C :

1)A (B C) (A B) (A C);

2)A (B C) (A B) (A C);

3)A (B C) (A B) (A C);

4)A BC (A B)(A C);

5)A (B C) (A B) (A C);

6)A BC (A B)(A C);

7)A (B C) (A B) (A C);

8)A(B C) AB AC;

9)A (B C) (A B) (A C);

10)A(B C) AB AC;

11)A (B C) (A B) (A C)?

1.11.Докажите тождества:

19)(A B) C (A C) (B C) A (B C);

20)A (B C) (A B) AC (A B) (A C);

21)(A B) C (A C) (B C);

22)A B C (A B) (B C) (C A) ABC;

23)A BC (A B) (A C) ABC A;

24)A(B C) AB C ABC AB;

25)(AB A) (BC C) (AB BC) (A C);

26)(A B) (B C) (A C) B (AB BC) (A C).

1.12.Выразите:

1)через , ;

2)через , ;

3)и через , – .

1.13.Решите уравнение:

7

2. Бинарные отношения

Терминология и обозначения

A B {(a,b)| a A,b B} – (множество всех упорядоченных пар) прямое

(декартово) произведение множеств A и B.

Любое R A B называется бинарным отношением, определенным на паре

множеств А и В (далее просто отношением).

A2 A A (декартов квадрат множества А). Если R A2 , то R называется

отношением на множестве А.

xR y означает, что (x, y) R ( x и y находятся в отношении R).

R 1 {(a,b)|(b,a) R} – отношение, обратное к R.

Важнейшие свойства отношений

Отношение R на множестве A называется

(1)рефлексивным, если для любого x A справедливо xRx;

(2)симметричным, если из xR y следует yRx;

(3)антисимметричным, если из xR y и yRx следует x y;

(4)транзитивным, если из xR y и yRz следует xRz.

Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение называется от-

ношением эквивалентности (или просто эквивалентностью).

Рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение называется

отношением порядка (или просто порядком). Порядок R на множестве A назы-

вают линейным, если для любых x,y A имеет место xR y или yRx.

B B, C C, 2A , 2B , 2C , B 2B , B 2C ,C 2B .

9

2.3.Выясните, какие из следующих равенств справедливы для любых мно-

жеств A, B, C, D:

1)A B B A;

2)(A B) C (A C) (B C);

3)(A B) (C D) (A C) (B D);

4)(A B) (C D) (A C) (B D);

5)(A B) C (A C) (B C)?

2.4.Определите, какими из свойств (1) – (4) обладают следующие отношения на множестве {1, 2,3, 4,5}:

2.5.Выясните, какие из следующих утверждений верны:

1)всякое отношение на множестве либо симметрично, либо антисимметрично;

2)никакое отношение не может быть одновременно симметричным и антисим-

метричным;

3)для любого отношения R отношения R R 1 и R R 1 симметричны;

4)для любого отношения R отношение R (R R 1 ) антисимметрично;

5) если отношение R обладает одним из свойств (1)–(4), то R 1 обладает тем

же свойством;

6)для любого отношения R отношение R R 1 симметрично;

7)для любого отношения R отношение R R 1 рефлексивно;

лентности;

10