zolotyh_n_yu_lekcii_po_algebre

ЛЕКЦИИ ПО АЛГЕБРЕ

Н. Ю. Золотых1

30 декабря 2005 г.

1Факультет вычислительной математики и кибернетики Нижегородского государственного университета.

2

Это рабочий вариант записок лекций по курсу геометрии и алгебры, который читает автор на факультете вычислительной математики и кибернетики Нижегородского государственного университета c 1998 г.

Лекции содержат огромное количество опечаток. Однако надеюсь, что они (лекции) все равно будут полезны.

Несмотря на то, что за все многочисленные ошибки, неточности и опечатки отвечает автор, на экзамене претензии насчет качества этого документа не принимаются.

Последнюю версию лекций Вы всегда найдете по адресу http://www.uic.nnov.ru/ zny/algebra/algebra.html

Оглавление

5.5.Описание подпространства и линейного многообразия . . 108

5.6.Матричные операции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.2.Перестановки и подстановки . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.3.Определитель. Комбинаторное определение . . . . . . . . 126

6.4.Свойства определителя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6.5.Миноры. Теорема Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.6.Полилинейные знакопеременные функции . . . . . . . . . 144

6.7.Минорный ранг матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

6.8. Обратная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.9. Формулы Крамера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 6.10.Сумма определителей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

7.4.Изменение матрицы оператора при замене базисов . . . . 175

7.5.Ядро и образ оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

7.6.Линейные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

7.7.Собственные числа и собственные векторы преобразования178

7.7.1.Выражение коэффициентов характеристического многочлена через главные миноры матрицы . . . . 181

7.7.2.Матрица Фробениуса . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

7.8.Диагонализируемость линейного преобразования . . . . . 183

7.9. Аннулирующий многочлен . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

7.9.1.Метод Крылова построения минимального многочлена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

7.10.Жорданова форма линейного преобразования . . . . . . . 191

7.10.4.Построение Жорданова базиса . . . . . . . . . . . 195

7.10.5.Единственнось Жордановой формы . . . . . . . . . 199 7.11.Матричные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

7.11.1.Значение многочлена от матрицы . . . . . . . . . . 200

7.11.2.Функции от матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

10.1.Сопряженные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . 207 10.2.Теорема Ш´ура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 10.3.Нормальные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

10.5.Эрмитовы (самосопряженные) и симметрические преоб-

Глава 1

Счетные и континуальные множества

1.1.Множества

Множество — неопределяемое понятие, поэтому оперирование с ним, как и всегда в математике с неопределяемыми понятиями, регулируется рядом аксиом. Мы не будем на них останавливаться: это увело бы нас слишком далеко в теорию множеств, а примем так называемую “наивную” точку зрения на понятие множества. Просто уясним для себя, что под множеством мы будем понимать произвольную совокупность объектов.

Конечные множества можно задать перечислив все его элементы, например: A {a1, a2, , an}. Под мощностью конечного множества мы будем понимать число элементов в этом множестве. Мощность множества A обозначается A . Для нашего примера A n.

Со школьного курса математики вам известны некоторые бесконечные числовые множества: натуральных чисел N, целых чисел Z, рациональных чисел Q, действительных чисел R. Если перенести определение мощности как числа элементов также и на бесконечные множества, то все бесконечные множества окажутся равномощными: все будут иметь “мощность бесконечность”. Ниже мы познакомимся с более продуктивным способом определить мощность для бесконечных множеств.

Говорят, что множество B включено в множество A и записывают B A, если любой элемент из B принадлежит также A. В этом случае B называют подмножеством множества A. В курсе дискретной математики, вы узнаете, что всего в любом конечном множестве A содержится 2 A его подмножеств (разумеется, считается также пустое множество и все множество A). Совокупность всех подмножеств произвольного множества A обычно обозначается 2A, поэтому справедлива

Пусть A {1, 2, 3}, тогда 2A { , {1} , {2} , {3} , {1, 2} , {1, 3} , {2, 3} , {1, 2, 3}}. Легко видеть, что A 3, 2A

1.2.Отображения

Правило, или закон, по которому каждому элементу x множества A ставится в соответствие единственный элемент y множества B называется отображением. Элемент y называется образом элемента x, а x

— прообразом элемента y. Тот факт, что отображение действует из множества A в множество B, обозначают : A B. Для отображенияобраз элемента x обозначают x или (x).

Если A и B — некоторые подмножества множества R, то отображение называется (числовой) функцией. Отображение N R называется последовательностью.

Отображение называется инъективным, или просто инъекцией, если образы любых двух отличных друг от друга элементов x и y из A различны, т.е. x, y x y, x A, y A x y.

Отображение называется сюръективным, или просто сюръекцией, если для произвольного элемента их B найдется по крайней мере один прообраз.

Отображение называется биективным (биекцией), или взаимно однозначным, если оно одновременно и инъективно, и сюръективно. Как легко видеть, это условие эквивалентно тому что, любой элемент из B имеет ровно один прообраз.

Упражнение 1.1. Докажите, что для существования инъекции A B необходимо и достаточно существование сюръекции B A.

Заметим, что если существуют инъекция A B и сюръекция A B, то существует и биекция A B. Это интуитивно ясное утверждение, между тем, имеет достаточно сложное доказательство и мы на нем не останавливаемся.

Пусть множества A и B конечны. Легко видеть, что тогда

•для существования инъекции A B необходимо и достаточно, чтобы A B ;

•для существования сюръекции A B необходимо и достаточно, чтобы A B ;

•для существования биекции A B необходимо и достаточно, чтобы A B .

Эти утверждения позволяют теперь дать следующие определения. Для произвольных множеств A и B (в том числе бесконечных) будем говорить, что мощность A меньше или равна мощности B, и записывать A B , если существует инъекция A B. Будем говорить, что мощность A больше или равна мощности B, и записывать A B , если существует сюръекция A B. И наконец, будем говорить, что мощности множеств A и B равны (множества A и B равномощны), и записывать A B , если существует биекция A B.

Докажем теперь, что Z 2Z , где 2Z — множество четных целых чисел. Действительно, биекция : Z 2Z задается, например, формулой (x) 2x. Легко видеть, что любое четное число имеет при этом отображении единственный прообраз. Также нетрудно установить равномощность множеств Z и N:

5.0010.00185.0010.00240.0010.00340дой такой.0065.точке00440поста.0020.вим00550в .соответ0020.00650.0020.00750.0030.00850.0030.009

p

ствие рациональное число q . Это (вспомогательное) отображение будет сюръективным, но не будет инъективным: например, точкам (2, 1) и

по кривой по направлению, указанному стрелкой, и каждой встретившейся точке (p, q) присваивать порядковый номер (p, q): (0, 1) 1,(1, 1) 2, (1, 2) 3, (0, 2) 4, ( 1, 1) 5 и т. д.

Упражнение 1.3. Привести явную формулу для (p, q).

Для построения биекции Q N осталось лишь чуть-чуть скорректировать отображение : при обходе кривой будем нумеровать лишь точки, для которых НОД(p, q) 1, оставляя без номера все остальные.

Покажем, что множество R равномощно множеству точек произвольно выбранного на числовой прямой интервала (a, b): равномощность множеств R и (0, 1) устанавливается, например, взаимно одно-

1

значным отображением (x) arcctg x, а равномощность множеств

(0, 1) и (a, b) (а так же [0, 1] и [a, b]) — биекцией (x) a (b a)x (см. рис. ??). Функции (x) и (x) — строго монотонные и, следовательно, как известно из математического анализа, — взаимно однозначные.

Q и R (a, b) , однако пока не решен вопрос

“ N ? R ”. Так как N R, то, конечно, N R . Скоро мы увидим, что биекции N R не существует и, таким образом, N R . Множества, равномощные множеству натуральных чисел называются счетными, или множествами мощности 0 (читается ‘алеф-0’). Множества, равномощные множеству действительных чисел называются континуальными (мощности континуума), или множествами мощности 1 (читается ‘алеф-1’).

1.3.Свойства счетных множеств

Теорема 1.5. Любое бесконечное множество A содержит счетное подмножество B.