alekseev дискретная математика 2012

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ. Алексеев В.Е., Киселева Л.Г.,

Смирнова Т.Г. Электронное учебно-методическое пособие. – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2012. – 80 с.

В сборнике задач содержится краткий теоретический материал и предлагаются задачи различной степени сложности по основным разделам курса ―Дискретная математика‖: теории множеств, бинарным отношениям, комбинаторике, теории графов, алгебре логики и основам алфавитного кодирования. Раздел "Контрольные задания" представлен контрольными работами по теории множеств и комбинаторике.

Электронное учебно-методическое пособие предназначено для студентов первого курса дневного и вечернего отделений факультета ВМК, обучающихся по направлениям подготовки 010400 «Прикладная математика и информатика» и 010300 «Фундаментальная информатика и информационные технологии», изучающих курс «Дискретная математика».

2

1. Множества и операции над ними

Терминология и обозначения

{a1 , a2 ,..., an } – множество, состоящее из n элементов a1 , a2 ,..., an .

{x | P( x)} – множество, состоящее из таких элементов x , которые обладают свойством P .

x A – элемент x принадлежит множеству A .

x A – элемент x не принадлежит множеству A .

– пустое множество (не содержащее ни одного элемента).

U – универсальное множество (универс), т. е. множество всех элементов.

A B – множество A является подмножеством множества B ( A включено

A U A — дополнение множества A .

A B {x | x A или x B} – объединение множеств A и B .

A B A B {x | x A и x B} – пересечение множеств A и B .

A B {x | x A и x B} – разность множеств A и B .

A B ( A B) (B A) – симметрическая разность множеств A и B .

Некоторые свойства операций над множествами

5.A A;

6.коммутативные законы:

12.A B A B .

13.A B A B A B .

Операцию пересечения считаем более сильной, чем другие. Это означает, что при отсутствии скобок она выполняется первой. Например, формула ( AB C) CD эквивалентна (( A B) C) (C D).

1.1.Какие из следующих утверждений верны:

1.2.Сколько элементов в каждом из множеств:

1.3.Известно, что A B и a A. Какие из следующих утверждений верны:

1.7.Пусть M 2 , M 3 , M 5 обозначают подмножества универса , состоящие

соответственно из всех чисел, кратных 2, 3, 5. С помощью операций над множествами выразить через них множества всех чисел:

1)делящихся на 6;

2)делящихся на 30;

3)взаимно простых с 30;

4)делящихся на 10, но не делящихся на 3.

Используя теоретико-множественную символику, записать утверждения:

1) 45 делится на 15;

5

2)42 делится на 6, но не делится на 10;

3)каждое число из множества {8, 9, 10} делится хотя бы на одно из чисел 2, 3, 5, но не делится на 6.

1.8.Для каждого i 1,2,..., n даны множества

Выразить через них с помощью операций , ,– множества:

1){(i, j) |1 i k, 1 j k, k n};

2){(i,i) | i 1,2,..., n};

3){(i, j) |1 i j n}.

1.9.Выяснить, обладают ли операции – , свойствами коммутативности и ассоциативности.

1.10.Выяснить, какие из следующих дистрибутивных законов справедливы для любых множеств A, B,C :

1)A (B C) ( A B) ( A C);

2)A (B C) ( A B) ( A C) ;

3)A (B C) ( A B) ( A C) ;

4)A B C ( A B)( A C) ;

5)A (B C) ( A B) ( A C) ;

6)A B C ( A B)( A C) ;

7)A (B C) ( A B) ( A C) ;

8)A(B C) A B AC ;

9)A (B C) ( A B) ( A C) ;

10)A (B C) A B AC ;

11)A (B C) ( A B) ( A C) ?

1.11.Доказать тождества:

1) A A B A; 10) A B A B A B ;

2. Бинарные отношения

Терминология и обозначения

A B a,b a A, b B – (множество всех упорядоченных пар) прямое

(декартово) произведение множеств A и B .

Любое R A B называется бинарным отношением, определенным на паре множеств А и В (далее просто отношением).

A2 A A (декартов квадрат множества А). Если R A2 , то R называется

отношением на множестве А.

x R y означает, что ( x, y) R ( x и y находятся в отношении R).

R 1 {(a,b) | (b, a) R} – отношение, обратное к R .

Важнейшие свойства отношений

Отношение R на множестве A называется

(1)рефлексивным, если для любого x A справедливо xR x ;

(2)симметричным, если из xR y следует yR x ;

(3)антисимметричным, если из xR y и yR x следует x y ;

(4)транзитивным, если из xR y и yR z следует xR z .

B B, C C , 2 A , 2 B , 2C , B 2 B , B 2C , C 2 B .

10