3.11. Теорема изменения количества движения для потока жидкости

При решении некоторых гидравлических задач использования уравнения Бернулли недостаточно, и в этих случаях применяется теорема об изменении количества движения материальной точки.

Количеством движения материальной точки называется произведение ее массы на скорость ее движения . Количество движения является вектором, направление которого совпадает с направлением движения, т.е. со скоростью. Количество движения, зависящее от массы и ее скорости, является мерой механического движения. Понятие количества движения (КД) положено в основу механики Ньютона.

Тело массой под действием сил переместится в другое положение за определенное время , и скорость тела изменится до.

Изменение количества движения

. (3.92)

За этот промежуток времени на тело будет действовать импульс сил

. (3.93)

Теорема количества движения сформулирована следующим образом. Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов сил, приложенных к точке, за этот же промежуток времени, :

. (3.94)

Теорема количества движения называется также теоремой импульсов.

Применим данную теорему к участку потока между сечениями 1-1 и 2-2 при установившемся движении потока жидкости расходом в определенный промежуток времени (рис. 3.12). За времяучасток между сечениями1-1 и 2-2 переместится в положение, определяемое сечениями 1'-1' и 2'-2'. Изменение количества движения

(3.95)

Масса элементов участков 1-1' и 2-2' на рисунке заштрихованы. Так как стенки потока непроницаемы, то согласно уравнению неразрывности массы этих элементов одинаковы:

. (3.96)

Масса, проходящая через сечения,

.

Рис. 3.12. К теореме количества движения для потоков жидкости

Если в живом сечении местные скорости в разных его точках различны, то количество движения

, (3.97)

где - скорость в определенной точке сечения, местная скорость.

При предположении, что скорости во всех точках живого сечения равны средней скорости , вводится коэффициент Буссинеска (коэффициент количества движения)

. (3.98)

Коэффициент Буссинеска - отношение фактического количества движения к условному .

Количество движения, выраженное через среднюю скорость,

. (3.99)

Для турбулентных потоков на основании опытных исследований .

На практике при решении гидравлических задач обычно коэффициент Буссинеска не учитывается, т.е. принимается .

Средние скорости в сечениях равны, и, тогда количество движений для массы элементов участков:

;

. (3.100)

Изменение количества движения

. (3.101)

Относительно оси

. (3.102)

Рассмотрим все внешние силы и импульс, действующие на объем жидкости, находящийся между сечениями 1-1 и 2-2.

• Силы давления, действующие на торцы сечений 1-1 и 2-2,определяются силами и. Проекция импульса сил давления на ось

. (3.103)

• Сила тяжести выделенного объема жидкости . Проекция импульса сил давления на ось

. (3.104)

• Силы реакции боковых стенок, ограничивающих рассматриваемый объем жидкости, равны . Проекция импульса сил реакций стенок на ось

. (3.105)

• Сила внешнего трения, воздействующая на внутренние стороны боковых стенок, - . Проекция импульса сил внешнего трения на

. (3.106)

Таким образом, импульс на ось

. (3.107)

Уравнение изменения количества движения в гидравлической форме согласно (3.102) и (3.107) имеет следующий вид:

. (3.108)

Уравнение изменения количества движения в гидравлическом виде можно сформулировать следующим образом.

Изменение количества движения потока жидкости при переходе от плоского живого сечения 1-1 к плоскому живому сечению 2-2 за единицу времени относительно выбранной координатной оси равно сумме проекции внешних сил на ось, действующих на объем жидкости между сечениями 1-1 и 2-2.