- •Глава 3. Основы кинематики и динамики жидкости
- •3.1. Задачи кинематики и динамики
- •3.2. Аналитические методы исследования движения жидкости
- •3.3. Основные понятия и определения струйчатой модели движения жидкости
- •3.4. Параметры струйки и гидравлическое уравнение неразрывности
- •3.5. Поток жидкости и его параметры
- •3.6. Уравнение неразрывности для потока
- •3.7. Уравнение бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости
- •3.8. Уравнение бернулли для струйки реальной жидкости
- •3.9. Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости (уравнение эйлера)
- •3.10. Уравнение бернулли для потока реальной жидкости
- •3.11. Теорема изменения количества движения для потока жидкости
- •3.12. Некоторые приложения уравнения бернулли
- •3.13. Приборы для измерения скорости и расхода жидкости
- •1,2,3 - Отверстия в насадке; 4 - трубка-насадка; 5 - трубочки отверстий
3.4. Параметры струйки и гидравлическое уравнение неразрывности
Площадь поперечного элементарно малого сечения струйки жидкости называется живым сечением. Живое сечение нормально к линиям тока (рис. 3.2).
Рис. 3.2. Элементарная струйка
Скорость движения частиц в живом сечении - скорость струйки .
Расстояние вдоль струйки при известной скорости струйки .
За определенное время движущиеся частицы из сечения 1-1 переместятся в сечение 2-2, пройдя путь, равный .
Таким образом, за время через первое живое сечение площадью пройдет количество жидкости, равное объему элементарного цилиндра:
.
Объем жидкости, отнесенный к единице времени , - объемный расход (элементарный расход), который определяется по формуле, м3/с,
(3.9)
Количество жидкости, проходящей через живое сечение, можно представить через массу и вес жидкости.
Массовый расход струйки, кг/с,
(3.10)
Весовой расход струйки, Н/с,
(3.11)
Расходом жидкости называется количество жидкости, проходящей через живое сечение за единицу времени.
Рассмотрим элементарную струйку несжимаемой жидкости при установившемся движении (рис. 3.3). Выделим в элементарной струйке объем между двумя сечениями 1-1 и 2-2 в некоторый момент времени. Используем свойства элементарной струйки и закон сохранения вещества (массы).
Рис. 3.3. К выводу уравнения неразрывности
За время масса жидкости , находящаяся между сечениями 1-1 и 2-2, переместится в положение 1'-1' и 2'-2'.
Массы жидкости между сечениями
где и - элементарные массы жидкости, проходящие через сечения 1-1 и 2-2.
Масса жидкости остается неизменной при ее перемещении:
Следовательно, Масса жидкости, проходящая через любое сечение, равна
.
Масса жидкости, проходящая через первое и второе сечения струйки за время , составляет
где - плотность жидкости, находящейся в трубке тока.
Таким образом,
(3.12)
Аналогично можно получить соотношение скоростей и элементарных площадей для других сечений струйки.
Например,
Таким образом, для любого сечения струйки .
Уравнение неразрывности для элементарной струйки при установившемся движении утверждает, что элементарный расход во всех сечениях струйки постоянен.
Уравнение неразрывности записывается в следующем виде:
(3.13)
Скорости движения в разных сечениях струйки согласно (3.13) обратно пропорциональны элементарным площадям живых сечений струйки:
(3.14)
где - произвольное живое сечение струйки, скорость струйки в нем .
3.5. Поток жидкости и его параметры
Согласно струйчатой модели поток жидкости - совокупность элементарных струек. Сечение потока , ограниченного конечными поверхностями, равно сумме живых сечений струек . Это сечение называется живым сечением потока жидкости. Живое сечение должно быть нормальным к векторам скорости струи , т.е. нормально к линиям тока:
. (3.15)
Общий объемный расход жидкости для потока жидкости в целом будет представлять собой сумму элементарных расходов струек:
. (3.16)
Расход жидкости можно представить в виде объемной фигуры, ограниченной, например, параболой, основание которой будет площадь живого сечения (рис. 3.4).
Рис. 3.4. К определению средней скорости
Объем этой фигуры .
Чтобы определить расход, необходимо иметь аналитическую зависимость значения скорости от конечного положения элементарной площади струйки . Скорость струйки является функцией координат : . В связи с этим представляется весьма сложным произвести интегрирование уравнения расхода (3.16).
Для упрощения определения расхода потока жидкости вводится понятие о средней скорости. Принимается условие, что скорости струек по всему живому сечению потока постоянны, . Таким образом, все частицы жидкости, проходящие через площадь , имеют одинаковую скорость .
Объему фигуры, ограниченной параболой вращения, соответствует объем цилиндра, высота которого равна средней скорости:
(3.17)
Если живое сечение струек будет нормальным к вектору скорости в сечении потока жидкости, тогда элементарные струйки (линии тока) представляются в виде системы прямых параллельных друг другу линий, а живые сечения являются плоскими.
Движение жидкости, при котором имеет место некоторое расхождение линии тока (струек), что характеризуется малым углом и незначительной кривизной, называется плавно изменяющимся движением.
В случае плавно изменяющегося движения можно считать живые сечения плоскими, нормальными к вектору скорости.
На рис. 3.5 показано живое сечение цилиндрической трубы, по которому движется поток воды со средней скоростью , вектор которой нормален к поперечному сечению.
Рис. 3.5. Гидростатический напор в плоскости живого сечения
К точкам 1, 2, 3 поперечного сечения трубы присоединены пьезометры. Положение точек относительно плоскости сравнения 0-0 - ,, и. Пьезометрические высоты - , , имеют разные значения.
Сумма величин и , определяющих гидростатический напор, постоянна, т.е.
Таким образом, для любой точки живого сечения гидростатический напор относительно выбранной плоскости сравнения постоянен:
Установившееся движение, при котором поперечные сечения потока и средняя скорость в них одинаковы, называется равномерным движением. Примерами равномерного движения могут служить движения воды в трубе постоянного диаметра или в канале с постоянной глубиной и формой поперечного сечения.
Неравномерным называют установившееся движение, при котором поперечное сечение и средняя скорость изменяются по длине потока. Движение воды в трубе переменного диаметра является неравномерным.
Движение потока жидкости может быть напорным или безнапорным. При напорном движении поток ограничен твердыми поверхностями и жидкость полностью заполняет поперечные сечения по его длине. Поток жидкости не имеет свободной поверхности, и движение происходит за счет перепада напоров по длине.
Безнапорным движением называют движение, когда поток частично ограничен твердой поверхностью и имеет свободную поверхность. В большинстве случаев свободная поверхность граничит с атмосферой. Давление на свободную поверхность в этом случае будет равно атмосферному - . Примером может служить движение в трубах с не полностью заполненными поперечными сечениями или поток в канале, реке.
Гидравлические элементы потока жидкости
Контур живого сечения, соприкасающегося с твердой поверхностью стенки, называется смоченным периметром . Для круглой трубы смоченный периметр равен периметру живого сечения.
Гидравлический радиус представляет собой отношение площади живого сечения к смоченному периметру :
(3.18)
Гидравлический радиус характеризует форму живого сечения потока жидкости.
Гидравлический диаметр
. (3.19)
Для круглой трубы диаметром при напорном движении
(3.20)
При напорном движении в трубе прямоугольного сечения (шириной , высотой )
(3.21)
Для безнапорного движения жидкости в прямоугольном канале с шириной по дну , глубиной жидкости