5.4. Безвихревое движение жидкости. Интегралы Коши-Лагранжа и Бернулли для потенциального движения

Если во всей области движения жидкости

или (5.16)

где величины ротора скорости определяется с применением оператора набла () в виде

= (5.17)

где - орты (единичные векторы) осей декартовой системы координат в направлениях X, Y, Z соответственно, то существует потенциал скорости и скорость имеет компоненты, определяемые по формуле

(5.18)

или

Уравнение Эйлера в форме Громеки - Ламба имеет вид

(5.19)

или в векторной форме

(5.20)

Условие потенциальности позволяет записать

(5.21)

Следовательно, выражение в скобках зависит только от времени, поэтому интеграл уравнения будет

(5.22)

где - определяется из краевых условий. Этот интеграл уравнения Эйлера называется интегралом Коши - Лагранжа для потенциального движения идеальной несжимаемой жидкости.

Когда массовые силы сводятся силами тяжести, потенциал которых , то интеграл Коши - Лагранжа принимает вид

(5.23)

В этом уравнении имеются два неизвестных и , поэтому следует использовать уравнение неразрывности

(5.24)

или

(5.25)

Решение последнего уравнения Лапласа позволяет найти потенциал скорости , что с учетом равенства

(5.26)

определяет давление . Произвольная функция будет найдена по величине в некоторой точке.

Для стационарного движения и с учетом выражения потенциала массовой силы тяжести получим

Это интеграл Бернулли для потенциальной струйки идеальной несжимаемой жидкости.

Наиболее употребительна его форма вида

(5.27)

где – геометрическая высота (удельная потенциальная энергия) положения сечения струйки; - пьезометрический напор в сечении (удельная потенциальная энергия давления); - скоростной напор (удельная кинетическая энергия).

5.5. Кинематика вихревых колец

Для модели циркуляционного течения (рис.5.5) по любой из концентрических окружностей с центром в начале координат циркуляция скорости равна

(5.28)

где радиус соответствующей окружности.

Рис.5.5. Кинематика плоского вихря

Отсюда скорость, индуцируемая прямолинейным вихрем в плоскости, расположенной по нормали к его оси, будет

(5.29)

Для вихревого кольца радиусом R (рис.5.6) индуцированная скорость в идеальной жидкости по закону Био - Савара направлена по оси аппликат и имеет вид

(5.30)

а компоненты и равны нулю.

Рис.5.6. Кинематика вихревого кольца

В вязкой среде происходит диссипация энергии и величина завихренности во времени равна

(5.31)

где коэффициент кинематической вязкости.

Вектор угловой скорости вращения частицы имеет вид

, (5.32)

а его проекции на оси координат равны

(5.33)