2.3. Равновесие весомого газа

При больших высотах столба газа величина плотности зависит от высоты. Записав уравнение

(2.42)

введем связь между давлением и плотностью. Эта зависимость дается, например законом Бойля-Мариотта, верным при постоянной температуре. По этому закону

. (2.43)

Подстановка позволяет записать

(2.44)

Распределение давления имеет вид

(2.45)

где

Отсюда следует барометрическая формула для двух высот и.

(2.46)

2.4. Равновесие жидкости при наличии негравитационных массовых сил

Рассмотрим действие силы инерции (рис.2.7) при движении сосуда с ускорением.

Рис. 2.7. Движение сосуда

Если сосуд движется равноускоренно с ускорением , то

(2.47)

поэтому

(2.48)

при идавление будет, поэтому

. (2.49)

Давление в любой точке жидкости равно

(2.50)

Уравнение поверхностей уровней имеет вид

(2.51)

При вращении сосуда (рис.2.8) со скоростью проекции сил на оси координат будут

и (2.52)

Рис. 2.8. Вращающийся сосуд

Уравнение равновесия имеет вид

(2.53)

при иполучим, поэтому

Поэтому гидростатическое давление равно

(2.54)

и уравнение поверхностей уровня

(2.55)

Это параболоид вращения.

2.5. Силы давления жидкости на твердые поверхности

При определении сил давления покоящейся жидкости и газа на твердую поверхность (стенку) следует рассматривать следующие случаи:

1) равномерное давление на плоскую поверхность (может быть создано газом, если весовая часть давления пренебрежимо мала при любой ориентации плоской стенки, или тяжелой жидкостью при горизонтальном расположении поверхности). Сила давления вычисляется по формуле

(2.56)

2) равномерное давление на криволинейную поверхность (может быть создано только газом при указанном предположении). Результирующая сила давления определяется через проекции, например проекция на ось х:

(2.57)

где площадь проекции криволинейной поверхностиSна плоскость, нормальную к осих(рис.2.9). Аналогично выражаются две другие проекции. Тогда

(2.58)

Линия действия силы определяется направляющими косинусами:

(2.59)

Рис.2.9. К вычислению силы равномерного давления на криволинейную поверхность

3) неравномерное давление на плоскую поверхность (создается тяжелой жидкостью при наклонном к горизонту положении стенки). Если на свободной поверхности жидкости избыточное давление , то сила избыточного давления на площадьS

(2.60)

где глубина погружения центра масс площадиSпод свободной поверхностью. ТочкаDприложения силы, называемая центром давления, определяется координатами

(2.61)

где центробежный момент инерции площадки относительно осей(рис.2.10);момент инерции той же площадки относительно оси ;координаты центра массС;

Рис.2.10. К вычислению силы неравномерного давления покоящейся жидкости

на плоскую стенку

4) неравномерное давление на криволинейную поверхность (создается тяжелой жидкостью). Систему элементарных сил давления в общем случае необходимо привести к равнодействующей и моменту. Результирующую величину сил избыточного давления определяют через составляющие. Горизонтальные составляющие (рис. 2.10) могут быть вычислены по формулам

(2.62)

где площади проекций криволинейной поверхностиSна плоскость, нормальную осихилиу; глубина погружения центров масс площадок под свободную поверхность.

Вертикальная проекция силы давления определяется внешним давлением и массой жидкости в объеме тела давления . Под телом давления подразумевается тело, образованное криволинейной поверхностьюи ее проекций на свободную поверхность и цилиндрической проектирующей поверхностью(рис. 2.11). Таким образом,

(2.63)

Рис. 2.11. К вычислению силы неравномерного давления

покоящейся жидкости на криволинейную поверхность