32

Лекция 2. Основы гидростатики

2.1. Физические свойства жидкостей и газов

В технических расчетах однофазные жидкости и газы рассматриваются как сплошные среды с непрерывно распределенной плотностью, кг/м³, определяемой отношением

(2.1)

где - элементарный объем среды, м³; заключенная в нем масса, кг.

Сжимаемость среды определяется изменением ее плотности ,кг/м³, отнесенной к единице приложенного давления, , Н/м². Обратная величина равна квадрату скорости звука, м/с,

(2.2)

В практических случаях обычно используется относительная характеристика сжимаемости – число Маха

(2.3)

где скорость потока м/с.

Сжимаемость жидкостей и газов характеризуется также изотермическим коэффициентом сжимаемости, м²/Н,

(2.4)

где давление сплошной среды, Па;

абсолютная температура, К.

Для идеальных газов Капельные жидкости в гидродинамических расчетах обычно рассматриваются как несжимаемые. Сжимаемость сплошных сред может быть описана обобщенным законом Гука

(2.5)

где изотермический объемный модуль упругости среды, связанный с коэффициентом сжимаемости соотношением, Па. Тепловое расширение жидкостей и газов характеризуется изобарным коэффициентом расширения, 1/К,

(2.6)

Для идеальных газов . Для капельных жидкостей изобарный коэффициент расширения в большинстве случаев имеет порядокК^-1.

Вязкостью называется свойство среды оказывать сопротивление сдвигающим усилиям при вынужденном движении слоев. У большинства жидкостей и всех газов сопротивление сдвигу в состоянии покоя равно нулю. Между слоями жидкости и газа при их относительном движении возникает сила вязкости или внутреннего трения, определяемая формулой Ньютона

(2.7)

где динамическая вязкость. Пас; площадь соприкосновения слоев;скорость движения среды м/с;координата нормали к направлению скорости, м.

Коэффициент кинематической вязкости, м²/с, определяется в виде

(2.8)

Напряжение силы вязкости, Па, определяется формулой

(2.9)

Жидкости и газы, для которых справедлива эта зависимость, называются ньютоновскими.

Рис.2.1. Зависимость кинематической вязкости воды, масла и воздуха от температуры

Вязкости изависят от температуры (рис.2.1) и давления. Зависимостьот давления в жидкостях становится существенной при давлениях около 103 МПа и более (табл.2.1).

Таблица 2.1

Зависимость вязкости воды от давления при различных температурах

°		°
18	-1,6	51	+1,6
29	-0,3	56	+2,1
31	0,0	70	+2,5
32	0,0	80	+2,6
33	0,0	90	+3,4
36	0,0	98	+3,6
40	+0,7

Примечание: - значения динамической вязкости воды при атмосферном давлении (101,337 кПа) и при давлении, в 400 раз большем.

2.2. Силы, действующие в жидкости. Гидростатическое давление

Гидростатика изучает теорию равновесия и относительного покоя жидкостей и газов. Исходным пунктом условий равновесия является изучение сил, действующих на некоторый объем жидкости.

Силы, приложенные к частицам сплошных сред по характеру действия, могут быть разделены на массовые (объемные) и поверхностные.

В зависимости от области приложения силы подразделяются на внутренние и внешние.

Массовые силы пропорциональны массе выделенного объема и действуют на все частицы этого объема. К массовым силам могут быть отнесены силы различного физического происхождения: силы веса, электромагнитные (силы Лоренца, электростатические и силы, действующие на магнитные жидкости) и различные силы инерции (кориолисова сила, центробежная и др.). Это силы дальнодействия.

Поверхностные силы действуют локально на поверхность выделенного объема. В общем случае поверхностные силы могут иметь составляющие, направленные по нормали и по касательной к площадке действия.

В покоящейся жидкости поверхностные силы направлены по нормали к поверхности выделенного объема жидкости. В движущейся жидкости дополнительно возникают касательные составляющие поверхностных сил, наиболее важными из которых являются силы трения.

В некотором объеме распределение массовых силзадается вектором плотности массовых сил, приложенных к частицам этого объема массойпри ее стремлении к нулю, т.е.

(2.10)

Среднее значение вектора плотности массовых сил равно отношению главного вектора массовых сил к величине массы

(2.11)

Размерность плотности массовой силы совпадает с размерностью ускорения

(2.12)

Величина поверхностной силы в общем случае зависит от выбора направления элементарной площадки, поэтому обычно рассматриваются не сами силы, а их напряжения

(2.13)

где главный вектор поверхностных сил, приложенных к площадке.

Размерность напряжений

(2.14)

В практике используется единица измерения напряжений, называемая технической атмосферой, которая равна 1 т.а.=1 кг с/см²=736 мм рт. ст.=10 м вод. ст.=10⁵ Па.

Отметим, что величина 1 Па=1 бар=10^-5 кг с/см²=0,1 мм вод. ст.

Рассмотрим равновесие элементарного жидкого объема под действием поверхностных и объемных сил.

Выделим в жидкости элементарный тетраэдр с ребрами (рис.2.2).

Рис. 2.2. Силы, действующие на элементарный тетраэдр

Обозначим площадки действия элементарных сил соответственно и

Поверхностные силы, действующие на элементарный тетраэдр, пропорциональны второй степени его размеров и имеют второй порядок малости, а объемные - пропорциональны третьей степени размеров и являются величинами третьего порядка малости.

Выделение произвольно ориентированной площадки внутри жидкости (рис.2.3) показывает, что в покоящейся жидкости касательная составляющаяи, следовательно, полная величина напряжения или элементарной поверхностной силы совпадает с ее нормальной составляющей.

Рис. 2.3. Составляющие силы , действующей на ориентированную площадку

Для равновесия выделенного элементарного объема необходимо, чтобы сумма проекций всех сил на оси декартовой системы координат была равна нулю:

;

; (2.15)

,

где - орт нормали к наклонной грани.

Относя величины элементарных сил к площади граней, на которые они действуют, получим

;

; (2.16)

.

Поскольку ,,являются проекциями наклонной грани на плоскости, получим

;

; (2.17)

.

Подстановка с учетом позволяет записать

. (2.18)

Этот вывод носит название закона Паскаля и гласит, что давление на поверхность жидкости, произведенное внешними силами, передается жидкостью одинаково во всех направлениях.

Иначе, давление в жидкости, определенное в заданной точке, не зависит от ориентации площадки действия и является функцией только координат

. (2.19)

Рассмотрим равновесие элементарного прямоугольного параллелепипеда со сторонами , выделенного в покоящейся жидкости (рис. 2.4).

На единицу массы жидкости действует массовая сила плотностью с составляющими. В ряде случаев для составляющих массовых сил используются обозначения,,. Если величина давления является возрастающей функцией координат, а в точке параллелепипедадействует давление, то на соответственно противоположных гранях давления равны

и ;и;и(2.20)

при смещениях на ,исоответственно.

Рис. 2.4.Силы, действующие на элементарный параллелепипед

Уравнение равновесия в проекции на ось с учетом величины элементарного объемаимеет вид

(2.21)

или

. (2.22)

Аналогично, в проекциях на оси координат иполучим

; (2.23)

. (2.24)

Это уравнения Эйлера или основные уравнения гидростатики.

Эту систему переписывают в виде

(2.25)

или

(2.25а)

Поскольку

(2.26)

и , (2.27)

то система может быть переписана в векторной форме

(2.28)

Умножая последовательно систему уравнений в проекциях на дифференциалы координат ,,и складывая, получим

(2.29)

Правая часть уравнения является полным дифференциалом, поэтому и левая часть есть полный дифференциал, следовательно,

(2.30)

где

(2.31)

В случае изотропной жидкости ()

, (2.32)

где - потенциал массовых сил и

(2.33)

В этом случае

(2.34)

Следовательно, жидкость может находиться в равновесии в случае, когда массовые силы, действующие в ней, имеют потенциал.

Поверхность, в каждой точке которой давление постоянно, называется поверхностью уровня. При уравнение поверхности уровня будет

(2.35)

или .

Следовательно, поверхность уровня это одновременно и эквипотенциальная поверхность.

Для тяжелой несжимаемой жидкости при отсутствии других массовых сил, кроме сил тяжести, имеем

и (2.36)

поэтому уравнения равновесия принимают вид

(2.37)

Первые два уравнения выражают независимость давления от координат и, поэтому поверхность уровня являются горизонтальными плоскостями.

Интегрирование последнего уравнения дает при постоянных ивыражение

(2.38)

Если начало координат совмещено со свободной поверхностью покоящейся жидкости, на которой действует постоянное давление , то при(рис.2.5).

Рис. 2.5. Связь между направлением оси

и глубиной погружения под свободную поверхность

При получим

(2.39)

где - глубина погружения под свободную поверхность, направленная против направления оси.

Основной закон гидростатики, следовательно, гласит: давление в любой точке жидкости, находящейся в покое, равно внешнему давлению, сложенному с весом столба жидкости высотой от поверхности до данной точки и с площадью основания равной единице.

Примером использования основного закона гидростатики является работа сообщающихся сосудов (рис. 2.6.).

Рис. 2.6. Сообщающиеся сосуды

Давление в плоскости 0-0 следует считать одинаковым из условия сохранения равновесия жидкости, поэтому

(2.40)

что дает

(2.41)