Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Задание

Дано дифференциальное уравнение , удовлетворяющее начальным условиямпри.

1. Найти точное решение задачи Коши.

2. Разработать алгоритм, написать программу и найти приближённое решение дифференциального уравнения методами Эйлера, Эйлера-Коши и Рунге-Кутта на отрезке [a, b]с шагомh.

3. Построить графики полученных решений.

Варианты:

Таблица 9

№	f(x,y)	Условие	Отрезок	Шаг h
5		(1,2)	[1, 1.8]	0.08

Решение.1. Решим данное дифференциальное уравнение, представим производную в видеи разделим переменные:

;

.

Преобразуем дробь и проинтегрируем обе части уравнения:

;;;

;.

Чтобы получить решение задачи Коши, подставим в полученное уравнение функции начальные условия и выразим константу С:

.

Таким образом, решение задачи Коши имеет вид:

2. Решим задачу Коши методами Эйлера, Эйлера-Коши и Рунге кута на отрезке [1, 1.8] с шагом h= 0.08 и начальными условиями.

Численное решение задачи Коши сводится к отысканию значений сеточной функции в узлах сетки по формулам:

- метод Эйлера ;

- метод Эйлера-Коши , где;

- метод Рунге-Кутта третьего порядка , где,,.

Для данной задачи Коши значения сеточной функции по методу Эйлера получим по формуле

.

Значения сеточной функции в каждой точке по методу Эйлера-Коши получим в два шага. Вначале определим , затем уточним значение по формуле.

Значение сеточной функции по методу Рунге-Кутта получим по формуле , где,,.

Все вычисления и значения полученных сеточных функций оформим в виде таблицы:

i	xi	yi
		Точное решение	Метод Эйлера	Метод Эйлера-Коши	Метод Рунге-Кутта
0	1	2	2	2	k1	k2	k3	2
1	1,08	2,173913	2,16	2,1728	0,16	0,1728	0,191944	2,173857
2	1,16	2,380952	2,3456	2,376016	0,189022	0,205509	0,230639	2,380807
3	1,24	2,631579	2,563272	2,618016	0,22672	0,248447	0,282369	2,631286
4	1,32	2,941176	2,821794	2,91044	0,276928	0,30636	0,353726	2,940635
5	1,4	3,333333	3,133353	3,269919	0,345861	0,387101	0,456059	3,332356
6	1,48	3,846154	3,515327	3,720967	0,444128	0,504416	0,610271	3,844367
7	1,56	4,545455	3,993283	4,301094	0,59107	0,684152	0,858338	4,542036
8	1,64	5,555556	4,606259	5,070309	0,825028	0,979651	1,294838	5,548447
9	1,72	7,142857	5,41657	6,130008	1,231064	1,515746	2,170097	7,125804
10	1,8	10	6,529251	7,663598	2,030292	2,64246	4,327686	9,947107

3. Построим полученные значения точного решения и сеточных функций по методам Эйлера, Эйлера-Коши и Рунге-Кутта на одной плоскости:

Видим, что наиболее близкой к точному решению оказалась сеточная функция, построенная по методу Рунге-Кутта.