Практическая работа № 4 Моделирование динамики производственных процессов

Цель работы:

Освоить методику построения математической модели, описывающей развитие процесса во времени (тренда). Ознакомиться с особенностями прогнозирования будущего состояния системы.

Задание

Предположим, некоторое предприятие выпускает Y_ф тонн продукции в месяц. На основании наблюдений в течение 10 месяцев, ежемесячно фиксируя объем выпускаемой продукции, была сформирована таблица:

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Yф	3,2	5	6	8,5	10	11	13	14	14,5	16

Порядок выполнения работы:

1. Ввод исходных данных

											Сумма
t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	55
Yф	3,2	5	6	8,5	10	11	13	14	14,5	16	101,2

Исходные данные разместить в виде таблицы, в правом столбце которой вычислить значения сумм t и Y_ф (эти числа используются в решении далее):

2. Получение системы нормальных уравнений. Для того, чтобы найти неизвестные коэффициенты формулы тренда a0, a1, a2 нужно составить и решить систему уравнений вида:

где n- количество наблюдений (n=10)

Вычисление слагаемых уравнений системы оформить в виде таблицы, в правом столбце которой вычислить значения соответствующих сумм.

											Сумма
t2	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	385
t3	1	8	27	64	125	216	343	512	729	1000	3025
t4	1	16	81	256	625	1296	2401	4096	6561	10000	25333

Yфt	3,2	10	18	34	50	66	91	112	130,5	160	674,7
Yфt2	3,2	20	54	136	250	396	637	896	1174,5	1600	5166,7

Произведя необходимые вычисления, получим окончательный вид системы уравнений:

Полученную систему уравнений решить методом «обратной матрицы».

3. Решение системы нормальных уравнений

В полученном массиве коэффициентов нормальных уравнений правый столбец представляет собой столбец результатов, а левый- массив аргументов. Полученный массив аргументов должен получиться «квадратным» (в данном случае 3х3), иначе нахождение обратной матрицы будет невозможным.

Используя функцию МОБР, создать массив, представляющий собой обратную матрицу от матрицы аргументов. Используя функцию МУМНОЖ, умножить обратную матрицу на матрицу результатов нормальных уравнений системы. В результате получится массив, состоящий из одного столбца и содержащий искомые коэффициенты уравнения искомого тренда:

a₀=1,055

a₁=2,027

a₂=-0,054

С учетом полученных значений коэффициентов, уравнение тренда будет иметь вид:

Y=1,055+2,027t-0,054t²

4. Определение погрешностей моделирования

Основной частью данного этапа является создание таблицы. Для вычисления столбцов (Y_ф-Y_ср)² и (Y_m-Y_ср)² требуется среднее арифметическое значение фактических Y. Поэтому, перед созданием таблицы вычислить Y_ср с использованием функции СРЗНАЧ.

Значение Y_m вычисляется подставлением в полученное уравнение тренда соответствующих значений t и t².

t	Yср	Yф	Ym	(Yф-Yср)2	(Ym-Yср)2	(Yф-Ym)	(Yф-Ym)2
1	10.12	3.2	3.028182	47.8864	50.29389	0.171818	0.029521
2	10.12	5	4.89303	26.2144	27.32121	0.10697	0.011443
3	10.12	6	6.649545	16.9744	12.04405	-0.64955	0.421909
4	10.12	8.5	8.297727	2.6244	3.320678	0.202273	0.040914
5	10.12	10	9.837576	0.0144	0.079763	0.162424	0.026382
6	10.12	11	11.26909	0.7744	1.32041	-0.26909	0.07241
7	10.12	13	12.59227	8.2944	6.112132	0.407727	0.166242
8	10.12	14	13.80712	15.0544	13.59486	0.192879	0.037202
9	10.12	14.5	14.91364	19.1844	22.97895	-0.41364	0.171095
10	10.12	16	15.91182	34.5744	33.54516	0.088182	0.007776
			Сумма	171.60	170.61	0.00	0.98

При определении дисперсий S²_сист, S²_мод, S²_ост следует помнить, что совокупность исходных данных Y_ф имеет n случайных степеней свободы (по числу наблюдений, n=10), совокупность расчетных данных Y_m имеет 3 степени свободы (по числу постоянных коэффициентов формулы тренда a₀, a₁, a₂, совокупность Y_ср имеет 1 степень свободы.

Следовательно, совокупность (Y_ф-Y_ср) имеет 9 степеней свободы, (Y_m-Y_ср) имеет 2 степени свободы, (Y_ф-Y_m) имеет 7 степеней свободы .

Теперь можно определить дисперсии:

S²_сист=

S²_мод=

S²_ост=

Абсолютная погрешность составит: S_ост=

Коэффициент детерминации: D=1-

Индекс корреляции: I=

Критерий Фишера: F_расч=

Результат:

S2сист=	19.06622		Sост=	0.375099
S2мод=	85.30555		D=	0.992621
S2ост=	0.140699		I=	0.996303
			Fрасч=	606.2976

Примечание: Значение F_таб определяется по соответствующей таблице на основании степеней свободы S²_мод и S²_ост. Числа степеней свободы числителей расположены в столбцах таблицы, а числа степеней свободы знаменателей- в строках.

Вывод:

Качество модели приемлемое, т. к. индекс корреляции больше 0,7 и расчетный критерий Фишера больше табличного для данного случая (F_таб=4,7)

5. Построение графиков

По оси абсцисс откладываются номера наблюдений t, по оси ординат- фактические и теоретические значения наблюдаемого параметра. Таким образом, расположив на одном чертеже два графика, можно визуально проконтролировать качество полученной модели.

Построение графиков выполняется посредством Мастера диаграмм, в качестве диапазонов исходных данных указать столбцы Y_ф и Y_m вместе с заголовками.

6. Прогнозирование

Для того, чтобы предсказать состояние исследуемого параметра на 11 и 12 месяце развития процесса производства, нужно вычислить числовое значение Y_пр по полученному уравнению тренда.

При t=11 Y= 16.8016667

При t=12 Y= 17.5831818

Однако, данные значения предсказанных величин нельзя принимать за «чистую монету». Дело в том, что уравнение тренда, используемое при прогнозировании, построено на основании дискретных данных, имеющих определенную дисперсию (отклонения от строгого математического закона). Поэтому, данное уравнение описывает динамику процесса, в большей или меньшей степени приближенно. Следовательно, предсказываемое состояние изучаемого параметра должно характеризоваться не конкретным числом, а неким числовым диапазоном (интервалом прогноза).

В нашем случае число наблюдений меньше 30, значит ширина интервала прогноза определяется по таблице Стьюдента (_). В данном случае число наблюдений равно 10, поэтому интервал прогноза, обеспеченный вероятностью 0,95, определяется величиной 2,23х S_ост (т. к. _=2,23).

С учетом этого, результаты прогнозирования можно записать в виде:

При t=11

Y_пр=1,055+2,027х11-1,054х11²2,23х0,375

15,96≤Y_пр≤17,63

При t=12

Y_пр=1,055+2,027х12-1,054х12²2,23х0,375

16,74≤Y_пр≤18,42

Чем долгосрочнее прогноз, тем интервал предсказываемых значений шире, что приводит к потере точности прогнозирования, для учета ухудшения прогнозирования вводится дополнительный коэффициент k.

k=

где n- число наблюдений

i- номер шага (в данном случае принимает значения 1 и 2). Так как на предварительном этапе были рассчитаны значения и, необходимоправильно составить формулу расчета коэффициента учета ухудшения прогнозирования в строке формул.

Формула прогноза будет выглядеть:

при n<30

Y_пр=Y_*S_ост*k

Выполняя вычисления, находим k:

При i=1	k=	1.470323921
При i=2	k=	1.622649321

Таким образом, окончательное прогнозирование параметра:

При t=11

15,57≤Y_пр≤18,03

При t=12

16,23≤Y_пр≤18,94

Контрольные вопросы

1. Какие виды процессов можно моделировать?

2. В каком виде дается информация для моделирования процесса?

3. Как осуществляется прогнозирование? Почему нельзя абсолютно точно предсказать состояние исследуемого параметра?

4. Почему точность прогнозирования тем хуже, чем долгосрочнее прогноз?

Задание на л/р №5

Сделать общую оценку тенденции развития предприятия, спрогнозировать состояние предприятия в будущем (вариант задания выбрать по последней цифре номера зачетной книжки):

вар№1, вар№6 Предприятие выпускает Yф тонн продукции в месяц. На основании наблюдений в течение 15 месяцев, ежемесячно фиксируя объем выпускаемой продукции, была сформирована таблица: t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Yф 8.067 8.08 8.49 7.99 8.99 8.8 7.85 8.7 8.97 8.94 9.2 8.22 10 9.99 9.7 Спрогнозировать деятельность предприятия на 16-й, 17-й, 18-й месяцы

вар№2, вар№7 Автобусный парк выпускает Yф маршрутов в месяц. На основании наблюдений в течение 13 месяцев, ежемесячно фиксируя количество маршрутов, была сформирована таблица: t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Yф 7 7 6 7 6 5 7 7 5 4 2 1 5 Спрогнозировать деятельность предприятия на будущие месяцы с 14-го по 16-й

вар№3, вар№8 Завод металлоконструкций выпускает продукцию в объеме Yф тыс. тонн. На основании наблюдений в течение 25 месяцев, ежемесячно фиксируя объем выпущенной продукции, была сформирована таблица: t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Yф 0.167 0.193 0.184 0.356 0.184 0.43 0.107 0.089 0.444 t 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Yф 0.087 0.168 0.468 0.437 0.567 0.789 0.347 0.673 0.843 t 19 20 21 22 23 24 25 Yф 0.753 0.643 0.431 0.384 0.963 0.437 0.046 Спрогнозировать деятельность предприятия на 26-й, 27-й месяцы

вар№4, вар№9 Центр сервисного обслуживания населения ежемесячно обслуживает Yф человек в месяц. На основании наблюдений в течение 32 месяцев, ежемесячно фиксируя количество обслуженных клиентов, была сформирована таблица: t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Yф 123 136 154 148 136 128 164 138 139 t 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Yф 147 164 152 150 153 155 163 162 164 t 19 20 21 22 23 24 25 26 27 Yф 169 179 407 537 521 503 488 471 468 t 28 29 30 31 32 Yф 399 324 365 540 546 Спрогнозировать деятельность предприятия на 33-й, 34-й месяцы

вар№5, вар№10 АО «Связьремонт» ежемесячно выполняет заказы на сумму Yф тыс. тенге. На основании наблюдений в течение 11 месяцев, ежемесячно фиксируя суммы заказов, была сформирована таблица: t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Yф 8.069 7.9018 8.5896 7.46 8.81 8.92 7.89 8.6 9.19 9.99 9.284 Спрогнозировать деятельность предприятия на месяцы с 12-го по 16-й

Практические работы рейтинга 1