Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Курс высшей математики

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.03.2016

Размер:

6.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 188 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

1. Дифференциальные уравнения

с разделяющимися переменными

Определение. Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если имеет следующий вид:

	y f1 x f2 y .		(2.10)
Для уравнения (2.10) теорема Коши о существовании и единственности решения может
быть сформирована следующим образом.
Теорема. Если функция f1 x непрерывна в интервале a;b , функция		f2 y и ее про-
изводная по y непрерывна в интервале c;d , то для любых начальных данных			x0 a;b ,
y0 c;d существует, причем единственное, решение	y x уравнения (2.10),		удовлетво-
ряющее начальному условию x0 y0.
Другими словами, при указанных условиях	через любую точку	прямоугольника

a x b, c y d проходит, и при том единственная, интегральная кривая уравнения (2.1).

Если f2 y 0, то уравнение с разделяющимися переменными (2.10) можно переписать в виде

(разделить переменные)

dy	f x dx.	(2.11)
f2 y
	1

Определение. Уравнение вида (2.11) называется уравнением с разделяющимися переменными.

Теорема. Если существуют интегралы fdy(y) и f1 x dx , то общий интеграл уравне-

ния с разделенными переменными (2.11) задается уравнением

F2 y F1 x C,


где F y и	F x – некоторые первообразные соответственно функций -	1		и	1	.
2	1	f2	y		f1 x
		f2	y		f1 x

Доказательство. Допустим, что функция y x является решением уравнения (2.11). Подставляя в (2.11), получим тождество относительно переменной x:

x dx

f1 x dx. f2 x

Интегрируя это тождество по x, найдем:

x dx

f2 x f1 x dx C

или, учитывая, что y x и dy x dx, по правилу подстановки в неопределенном интеграле имеем

		dy	f1 x dx C				(2.12)
или		f2 y	f1 x dx C				(2.12)
		f2 y
		F2 y F1 x C,					(2.13)
		F2 y F1 x C,		1			(2.13)
где F y и F x – некоторые первообразные соответственно функций				1	и f		x .
				f2 y	и f		x .
2	1			f2 y		1

Итак, любое решение дифференциального уравнения (2.11) удовлетворяет уравнению (2.13). Обратно, если некоторая функция y x удовлетворяет равенству (2.13), то она удов-

летворяет и равенству (2.12), но тогда имеет место все предыдущие равенства, включая и (2.11). Таким образом, равенство (2.13) определяет общий интеграл уравнения (2.11).

При решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными (2.10) можно руководствоваться следующим алгоритмом:

1)разделить переменные;

2)интегрируя почленно полученное уравнение с разделяющимися переменными (2.11), найти его общий интеграл (2.13);

3)выяснить, имеет ли уравнение (2.10) решения, не получающиеся из общего интеграла

(2.13);

4)найти частный интеграл (или решение), удовлетворяющий начальным условиям (если это требуется).

Пример 2. Найти частное решение уравнения

2yy 1 3x2 ,если y0

3 при x0

Решение. Заменяем y

на

, получим2y

1 3x2,

отсюда 2ydy 1 3x2 dx.

Интегрируя обе части последнего неравенства,

найдем

2ydy

1 3x2

dx, или 2

ydy

dx 3 x2 dx,

или 2

3x2

C , т.е.

y2 x x2

Подставив начальное значение x0 1, y0

3, найдем C: 9 1 1 C, т.е. C = 9.

Следовательно,

искомый

частный

интеграл будет

y2 x x3 9, или

x3 y2 x 9 0.

Пример 3. Найти общее решение уравнения

x2 y2 x2 y dy xy2 dx 0,

x 0,

y 0.

Решение. Разделим переменные. Для этого преобразуем данное уравнение, вынося об-

щий множитель слева x2: x2 y2 y dy xy2 dx.

Разделим правую и левую части уравнения на x2 y2:

y2 y dy

xy2

dx, или

y y 1

x2 y2

или

y 1

. Проинтегрируем обе части последнего равенст-

y 1

ва:

, или

, откуда y ln

- общий

интеграл данного уравнения.

2.Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Функция g x, y	называется однородной функцией го порядка, если
при любом t имеет место тождество	g tx,ty tkg x,y .
	g tx,ty tkg x,y .	(2.14)

Например, g x, y 2x3 5xy2 - однородная функция третьего порядка, т.к. g tx,ty 2 tx 3 5tx ty 2 2t3x3 5t3xy2

t3 2x3 5xy2 t3g x, y .

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка y f x, y

называется

однородным, если

f x, y – однородная функция нулевого порядка.

Однородное дифференциальное уравнение приводится к дифференциальному уравне-

нию с разделяющимися переменными подстановкой

y z x , где

z z(x)

– новая неизвестная

функция.

Пример 4. Найти решения уравнения

x2 2y2 dx 2xydy 0.

Q x,y 2xy -

Решение. В данном уравнении функция P x, y x2

2y2,

однородные

второго порядка,

тогда x2 2y2 2xy

2y2

- однородная нулевого по-

2xy

рядка.

Положим y z x , откуда y zx x z xx zx x z . Подставим эти выражения в дан-

ное уравнение zx x z

2z2 x2

, т.е.

2x z x

zx x z

2z2 1

2z2

, или

z , приведем правую часть к общему знаменателю, по-

2z2

1 2z

лучим

, или

Умножим правую и левую части на dx:

dz x

dx.

Умножим правую и левую части на 2z

и разделим на x, получим:

2zdz

Проинтегрируем почленно это уравнение:

2zdz

, откуда z2

, т.е. z2 ln

,или

ez2

,откуда x c e z2 .

Возвращаясь к прежней функции y , находим общий интеграл x C e x2 .

Пример 5. Найти частное решение уравнения

2xyy x2

y2, если

y 2 при x 1.

Решение. Запишем данное уравнение в виде

x2 y2

(2.15)

2xy

Пусть x,y

x2 y2

Тогда tx,ty

t2x2

t2y2

x2 y2

x,y ,

т.е.

оно однородное.

2t2xy

2xy

Положим

y zx , откуда

y z x z. Подставляя значение

в уравнение (2.15), имеем

z x z

x2 z2x2

,откуда после

сокращения на

x2 z x z

1 z2

z ,

2zx2

1 z2 2z2

1 z2

Умножим на dx правую и левую части, получим xdz

1 z

dx .

1 z2

2z dz

Разделим правую и левую части уравнения на

x и

. Получаем

Интегрируем почленно это уравнение:

1 z2

d 1 z2

2z dz

, т.к.

1 z2

d 1 z2 1 z2 dz 2zdz .

или x1 z2 C .

1 z2

ln1 z2

Получаем:

,откуда

1 x2

Возвращаясь к прежней функции y , находим общий интеграл x

C .

C , т.е. 1 4 C ,

Подставив в найденное решение начальное условие, найдем 1 1

или C 3.

Итак, искомое частное решение будет

x 1

3, или x2 y2 3x 0.

3.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка y f x, y называется линейным, если имеет следующий вид:

y P x y Q x ,

(2.16)

где P x и Q x – заданные функции от x. Приведем теорему Коши для линейных уравнений первого порядка.

Теорема Коши. Пусть a;b интервал, в котором функция P x и Q x непрерывна. То-

гда для любых x0 a;b и	y0 ; задача Коши с начальными значениями x0; y0 име-
ет единственное решение,	т.е. существует единственное решение y y x уравнения (2.16),

удовлетворяющее начальному условию y x0 y0 .

Нахождение общего решения линейного дифференциального уравнения первого порядка (2.16) сводится к решению двух дифференциальных уравнений с разделенными переменными с помощью подстановки

y u v,

(2.17)

где u и v – неизвестные функции от x. Из (2.17) находим

y uxv uvx или

v u

(2.18)

Подставив значения y и y

в уравнение (2.16), получаем

P x u v Q x , или

P x u

Q x .

(2.19)

Так как искомая функция y подстановкой (2.17) представлена в виде произведения двух функций u и v, то одну из них, например u, мы можем выбрать по нашему усмотрению, кроме u 0. Выберем функцию так, чтобы

du	P x u 0,	(2.20)

dx

т.е. в качестве функции возьмем одно из частных решений u уравнения (2.20). Решая уравнение (2.20) как уравнение с разделяющимися переменными, найдем отличную от нуля функ-

циюu e P x dx .

Так как функция u* является решением уравнения (20.2), то после ее подстановки в уравнение (2.19) получим

Q x , т.е.

Q x

dx.

(2.21)

u* x

Решив уравнение (2.21) как уравнение с разделенными переменными, в котором u* из-

вестна, найдем функцию v v x,C ,

содержащую произвольную постоянную C и являющуюся

общим решение уравнения (2.21).

функции u и v найденными значениями, получим реше-

Заменив в равенстве y u v

ние y u* x v x,C

уравнения (2.16), содержащее вместе с функцией v

и произвольную по-

стоянную C.

Пример 6. Найти общее решение уравнения

1 x2 y xy 2x.

Решение. Разделив все члены данного уравнения на 1 x2 0, приведем его к виду

(2.16)

(2.22)

1 x2

Здесь P x

, Q x

1 x2

Положим y u v, откуда y u

Подставим эти значения y

и y в уравнение (2.22):

xuv

1 x2

Сгруппируем члены, содержащие, например v, и вынесем v за скобку

x u

(2.23)

1 x2

Выберем функцию u 0 так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, т.е.

(2.24)

1 x2

Тогда уравнение (2.23) примет вид

(2.25)

1 x2

Решаем уравнение (2.24) как уравнение с разделяющимися переменными (при u 0):

0, т.е.

xdx

1 x2

Интегрируем почленно это уравнение :

d 1 x2

xdx

,или

1 x

d 1 x2

т.к.

d 1 x2 1 x2 dx 2xdx,

откуда xdx

т.е.

1 x2

, откуда

1 x2

(2.26)

Подставив значение функции u в уравнение (2.25), найдем

, т.е. dv

2xdx

1 x2

Интегрируя почленно

2xdx

, или dv 1 x2

d 1 x2 ,

1 x2

т.к. d 1 x2 2xdx .

1 x2

Откуда v

C, или v

C или

C .

(2.27)

1 x2

Заменив в подстановке y u v функции u и v их выражениями из равенств (2.26) и (2.27), получим искомое общее решение данного уравнения:

				2
		2							2
y	1 x	2	C			, или	y C	1 x	2	2.

				1 x	2
					2

Пример 7. Найти частное решение уравнения xy y x3, если y 1/2 при x 1.

Решение. Разделив все члены данного уравнения на x 0, приведем его к виду (2.16)

y y	1	x2.	(2.28)
	x

Здесь P x 1 , Q x x2. x

Положим y u v, откуда y u dv v du . dx dx

Подставим эти значения в уравнение (2.28):

u v

x2.

Сгруппируем члены, содержащие, например v, и вынесем v за скобку

(2.29)

Выберем функцию u так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, т.е. чтобы

(2.30)

Тогда уравнение (2.29) примет вид

dx x

x2 .

(2.31)

Решаем уравнение (2.30) как уравнение с разделяющимися переменными (при u 0 ):

Интегрируя почленно уравнение

, или ln u ln x,или u x .

(2.32)

Подставим это значение в уравнение (2.31), найдем

x dv x2, т.е. dv xdx . dx

Интегрируя почленно dv xdx или

C .

(2.33)

Заменив в подстановке y u v функциями u и v их выражениями из равенств (2.32) и

(2.33), получим искомое общее решение данного уравнения:

, или y

Cx .

y x

(2.34)

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным данным

при

x 1. Для

этого подставим в (2.34) y

и x 1, получим

C 1 или 0 C .

Искомое частное решение данного уравнения y x3 . 2

Задачи для контрольных заданий

Найти решения уравнений

5.01а) xy2 x dx y x2 y dy ;

б) x y ydx x2dy 0;

в) 1 x2 y xy 2x, если y 0 при x 0.

5.02а) 1 x2 dy 1 y2 dx 0;

б) x2 y y2 xy x2;

в) y	3	y x, если	y 1	при x 1.

	x

5.03а) cos xsin y dy cos ysin x dx;

б) x2 2xy dy xy y2 dx 0;

в)

2y y ex , если y 5

при x 0.

5.04 а) ex 1 ey dx ey 1 ex dy 0;

б) x3dy y(x2 y2) ;

в)

2xy ex2

, если y o при x 2.

5.05 а) xy x

б) 2

y dx xdy 0;

в)

xy y x2 cos x, если

при x

5.06а) 1 x2 dy xy x dx 0; б) xyy x2 y2;

в) xy y sin x, если y 1 при x .

5.07а) x2 y 3y 2xy ;

б) 2xyy x2 2y2 0;

в)	x2 y 2xy 4, если			y			1	при x 1.

					1	2
5.08 а)	y tgx 1 y , если y					при x			;
				2		6
б) xy y		x2 y2	;
в) xy2y x3 y3.
5.09 а) 1 y2 dx xydy, если				y 1 при x 1;
б) x2 y2 dx 2xydy 0;

в) xy 3y x4.

5.10

а) 1 x2 y xy 0, если

y 4 при x 0;

б) x y y y 0;

в)

2y ex.

5.11

а)

dy y tgx dx 0, если

y 1

при x 0;

б)

xy y x ctg

;

в) y 3y e x .

5.12

а) cos xsin y dy cos ysin x dx, если y при x ;

б)

2xydy (x2

y2)dx 0;

в) y 2xy 2xex2 .

1 x2

5.13

а) 3y

;

б)

xy2 y x3

y3, если y 3

при x 1;

в)

2y 1 x2 ex2 .

xdx

5.14а) y dx x2 dy 0;

б)

x y dx x dy 0, если

y 0

при x 1;

в)

y cosx ysin x 1.

5.15

а)

y xe y , если y 0 при x 1;

б)

(x y)dx xdy 0, если y 0 при x 1;

в)

x 1

2y x 1 4.

5.16

а)

y 2x y 1 3;

б)

y2 dx x2 xy dy 0, если y 1 при x 1;

в)

x 1 y y cos x.

5.17

а)

x2 x2 y y2 y ;

б)

xy y2 2x2 xy y 0, если

y 1 при x 1;

в)

y x.

dy 0;

5.18

а) x

5 y2

dx y

4 x2

б)

x2 y xy y2, если y 1

при x 1;

в) y y e x .

5.19

а)

xyy 1 x2;

б)

y x2 xy y2 , если y 2 при x 2;

в)

xy y sin x .

5.20а) xy2 x dx y x2y dy 0; б) y2 2xy x2 y 0;

в)

xy y sin x, если

y 1

при x

;

yy xey 0, если

5.21

а)

y 1

при x 0;

б)

x2 y2 y 2xy ;

в)

y y ctgx ctgx .

5.22

а)

x(y2 1)dx (1 x2 ) 0 , если

y 1 при x 0;

б) x2 3xy y2 x2 y 0;

в) x2y 2xy 3.

5.23

а) x2 1 y 4xy 0, если y 1

при x 0;

б) x y dx x y dy 0;

в) xy xy 1 x2 ex.

dy 0, если y 0

5.24

а)

9 y2

dx y

4 x2

при x 0;

б) xy y xex ;

в) x 1 y 2y x 1 4.

5.25

а)

dy xy dx 0, если y 1 при x 1;

1 ln y

y e

;

б)

в) 1 x2 y 2xy 1 x2 2 .

§2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Определение. Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

y py qy 0,

(2.35)

где p и q– постоянные величины.

Теорема Коши для линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами (2.35) формируется следующим образом.

Теорема Коши. При любых начальных данных x0; y0; y0 задача Коши имеет, причем единственное, решение, т.е. при любых начальных данных x0, y0, y0 существует, причем един-

ственное, решение уравнения (2.35), удовлетворяющее начальным условиям y x0 ` x0, y x0 y0.

Определение. Два частных решения y1(x) и y2 x уравнения (2.35) образуют фунда-

ментальную систему решений, если для любого x

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 188 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.11.20191.57 Mб7кратные интегр..doc
#
02.05.2015202.24 Кб5кредит.doc
#
02.05.20156.95 Mб259КСС 2013 - на рецензию.doc
#
17.12.2018113.57 Кб6Культурология,родненькая.docx
#
02.05.2015828.18 Кб21культурология.rtf
#
10.03.20166.64 Mб37Курс высшей математики.pdf
#
01.07.20252.06 Mб0Курс лекций по МК.doc
#
02.05.201514.85 Mб214Курс лекций по начерталке.doc
#
29.07.2019218.62 Кб4Курс моих лекций по психологии и пед.doc
#
26.11.2019229.89 Кб13курс. глина.doc
#
01.07.20252.36 Mб0курс.работа.doc