Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Курс высшей математики

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.03.2016

Размер:

6.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 185 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Определение. Выражение Ф x, y 0, или Ф x, y,C 0 в этом случае называют интегралом (частным, общим) дифференциального уравнения.

При решении конкретных задач часто необходимо выделить из всей совокупности решений дифференциального уравнения то частное решение, которое является ответом на поставленный вопрос. Для того, чтобы из всей совокупности решений выделить отдельную интегральную кривую, задают так называемое начальное условие.

В случае дифференциальных уравнений первого порядка (2.5) под начальными условия-

ми для его решения y y x понимают условия, состоящие в том, что			y y0	при x x0 , т.е.
		y x0 y0,		(2.9)
где x0 и y0 – заданные числа (начальные данные)		такие, что при	x x0	и y y0 функция
имеет смысл, т.е. существует	f x0, y0 .
Определение. Задача	нахождения частного	решения дифференциального уравнения,

удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется задачей Коши.

В случае дифференциального уравнения первого порядка задача Коши формулируется следующим образом: найти решение y y x уравнения y f x, y , удовлетворяющее при за-

данных начальных данных x0, y0 начальному условию			y x0 y0 , или,	в другой записи,
yx x	y0, где x0, y0 – заданные числа.
	0
	Пусть даны начальные данные x0 2, y0	3, и	требуется найти	частное решение

y y x уравнения (2.7), удовлетворяющее начальному условию y 2 3. Выше показано, что функция (2.6) при любом C является решением уравнения (2.7).

Подставим в формулу (2.6) начальные данные x 2, y 3, найдем 3 C/2, т.е. C 6. Таким образом, искомым частным решением уравнения (2.7) является функция y 6/2.

Геометрически решение, удовлетворяющее начальному условию y x0 y0 , представляет ин-

тегральную кривую, проходящую через данную точку x0,y0 .

Так, общее решение y C/x уравнения y y/x определяет семейство равносторонних гипербол (см. рис.28). Частное решение y 6/x определяет гиперболу, проходящую через точку (2;3).

Рассмотрим различные типы дифференциальных уравнений первого порядка.

1. Дифференциальные уравнения

с разделяющимися переменными

Определение. Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если имеет следующий вид:

	y f1 x f2 y .		(2.10)
Для уравнения (2.10) теорема Коши о существовании и единственности решения может
быть сформирована следующим образом.
Теорема. Если функция f1 x непрерывна в интервале a;b , функция		f2 y и ее про-
изводная по y непрерывна в интервале c;d , то для любых начальных данных			x0 a;b ,
y0 c;d существует, причем единственное, решение	y x уравнения (2.10),		удовлетво-
ряющее начальному условию x0 y0.
Другими словами, при указанных условиях	через любую точку	прямоугольника

a x b, c y d проходит, и при том единственная, интегральная кривая уравнения (2.1).

Если f2 y 0, то уравнение с разделяющимися переменными (2.10) можно переписать в виде

(разделить переменные)

dy	f x dx.	(2.11)
f2 y
	1

Определение. Уравнение вида (2.11) называется уравнением с разделяющимися переменными.

Теорема. Если существуют интегралы fdy(y) и f1 x dx , то общий интеграл уравне-

ния с разделенными переменными (2.11) задается уравнением

F2 y F1 x C,


где F y и	F x – некоторые первообразные соответственно функций -	1		и	1	.
2	1	f2	y		f1 x
		f2	y		f1 x

Доказательство. Допустим, что функция y x является решением уравнения (2.11). Подставляя в (2.11), получим тождество относительно переменной x:

x dx

f1 x dx. f2 x

Интегрируя это тождество по x, найдем:

x dx

f2 x f1 x dx C

или, учитывая, что y x и dy x dx, по правилу подстановки в неопределенном интеграле имеем

		dy	f1 x dx C				(2.12)
или		f2 y	f1 x dx C				(2.12)
		f2 y
		F2 y F1 x C,					(2.13)
		F2 y F1 x C,		1			(2.13)
где F y и F x – некоторые первообразные соответственно функций				1	и f		x .
				f2 y	и f		x .
2	1			f2 y		1

Итак, любое решение дифференциального уравнения (2.11) удовлетворяет уравнению (2.13). Обратно, если некоторая функция y x удовлетворяет равенству (2.13), то она удовлетворяет и равенству (2.12), но тогда имеет место все предыдущие равенства, включая и (2.11). Таким образом, равенство (2.13) определяет общий интеграл уравнения (2.11).

При решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными (2.10) можно руководствоваться следующим алгоритмом:

1)разделить переменные;

2)интегрируя почленно полученное уравнение с разделяющимися переменными (2.11), найти его общий интеграл (2.13);

3)выяснить, имеет ли уравнение (2.10) решения, не получающиеся из общего интеграла

(2.13);

4)найти частный интеграл (или решение), удовлетворяющий начальным условиям (если это требуется).

Пример 2. Найти частное решение уравнения

2yy 1 3x2 ,если	y0 3 при			x0 1.
Решение. Заменяем y на		dy	,	получим2y	dy	1 3x2,
		dx			dx

отсюда 2ydy 1 3x2 dx.

Интегрируя обе части последнего неравенства,

найдем

2ydy

1 3x2

dx, или 2

ydy

dx 3 x2 dx,

или 2

3x2

C ,

т.е. y2 x x2 C.

Подставив начальное значение x0 1, y0

3, найдем C: 9 1 1 C, т.е. C = 9.

Следовательно,

искомый

частный

интеграл будет

y2 x x3 9, или

x3 y2 x 9 0.

Пример 3. Найти общее решение уравнения

x2 y2 x2 y dy xy2 dx 0, x 0,

y 0.

Решение. Разделим переменные. Для этого преобразуем данное уравнение, вынося об-

щий множитель слева x2: x2 y2 y dy xy2 dx.

Разделим правую и левую части уравнения на x2 y2:

y2 y dy

xy2

dx, или

y y 1

x2 y2

или

y 1

. Проинтегрируем обе части последнего равенст-

y 1

ва:

, или

, откуда y ln

- общий

интеграл данного уравнения.

2.Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Функция g x, y	называется однородной функцией го порядка, если
при любом t имеет место тождество	g tx,ty tkg x,y .
	g tx,ty tkg x,y .	(2.14)

Например, g x, y 2x3 5xy2 - однородная функция третьего порядка, т.к. g tx,ty 2 tx 3 5tx ty 2 2t3x3 5t3xy2

t3 2x3 5xy2 t3g x, y .

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка y f x, y называется

однородным, если f x, y – однородная функция нулевого порядка.

Однородное дифференциальное уравнение приводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными подстановкой y z x , где z z(x) – новая неизвестная функция.

Пример 4. Найти решения уравнения

x2 2y2 dx 2xydy 0.

Решение. В данном уравнении функция P x, y x2

2y2,

Q x,y 2xy - однородные

второго порядка,

тогда

x2 2y2 2xy

2y2

- однородная нулевого по-

2xy

рядка.

Положим y z x , откуда y zx x z xx zx x z . Подставим эти выражения в дан-

ное уравнение zx x z

2z2

, т.е.

2x z x

zx x z

2z2 1

2z2

, или

z , приведем правую часть к общему знаменателю, по-

2z2

1 2z

лучим

, или

Умножим правую и левую части на dx:

dz x

dx.

Умножим правую и левую части на 2z и разделим на x, получим:

2zdz

Проинтегрируем почленно это уравнение:

2zdz

, откуда z2

, т.е. z2 ln

,или

ez2

,откуда x c e z2 .

Возвращаясь к прежней функции y , находим общий интеграл x C e x2 .

Пример 5. Найти частное решение уравнения

2xyy x2 y2,

если y 2 при x 1.

Решение. Запишем данное уравнение в виде

x2 y

(2.15)

2xy

Пусть x,y

x2 y2

Тогда tx,ty

t2x2

t2y2

x2 y2

x,y ,

т.е. оно однородное.

2xy

2t2xy

2xy

Положим

y zx , откуда

y z x z. Подставляя значение

и y в уравнение (2.15), имеем

z x z

x2 z2x2

,откуда после сокращения на

x2 z x z

1 z2

2zx2

1 z2 2z2

1 z2

Умножим на

dx правую и левую части, получим xdz

1 z

dx .

1 z

Разделим правую и левую части уравнения на

x и

. Получаем

Интегрируем почленно это уравнение:

dz x 1 z2 z , dx 2z

2z dz	dx	.
1 z2
	x

2z dz

d 1 z2

, т.к.

1 z

1 z2

d 1 z2 1 z2 dz 2zdz .

, или x1 z2 C .

Получаем: ln

1 z2

, ln1 z2

,откуда

1 x2

Возвращаясь к прежней функции y , находим общий интеграл x 1

C .

C , т.е. 1 4 C ,

Подставив в найденное решение начальное условие, найдем 1 1

или C 3.

Итак, искомое частное решение будет

x 1

3, или x2 y2 3x 0.

3.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка y f x, y называется линейным, если имеет следующий вид:

y P x y Q x ,

(2.16)

где P x и Q x – заданные функции от x. Приведем теорему Коши для линейных уравнений первого порядка.

Теорема Коши. Пусть a;b интервал, в котором функция P x и Q x непрерывна. То-

гда для любых x0 a;b и y0 ; задача Коши с начальными значениями x0; y0 име-

ет единственное решение, т.е. существует единственное решение y y x уравнения (2.16),

удовлетворяющее начальному условию y x0 y0 .

Нахождение общего решения линейного дифференциального уравнения первого порядка (2.16) сводится к решению двух дифференциальных уравнений с разделенными переменны-

ми с помощью подстановки

y u v,

(2.17)

где u и v – неизвестные функции от x. Из (2.17) находим

y uxv uvx или

v u

(2.18)

Подставив значения y и y

в уравнение (2.16), получаем

P x u v Q x , или

P x u

Q x .

(2.19)

Так как искомая функция y подстановкой (2.17) представлена в виде произведения двух функций u и v, то одну из них, например u, мы можем выбрать по нашему усмотрению, кроме u 0. Выберем функцию так, чтобы

du	P x u 0,	(2.20)

dx

т.е. в качестве функции возьмем одно из частных решений u уравнения (2.20). Решая уравнение (2.20) как уравнение с разделяющимися переменными, найдем отличную от нуля функ-

циюu e P x dx .

Так как функция u*

является решением уравнения (20.2), то после ее подстановки в

уравнение (2.19) получим

Q x

Q x , т.е. dv

dx.

(2.21)

u* x

Решив уравнение (2.21) как уравнение с разделенными переменными, в котором u* из-

вестна, найдем функцию v v x,C ,

содержащую произвольную постоянную C и являющуюся

общим решение уравнения (2.21).

функции u и v найденными значениями,

Заменив в равенстве

y u v

получим реше-

ние y u* x v x,C

уравнения (2.16), содержащее вместе с функцией v

и произвольную по-

стоянную C.

Пример 6. Найти общее решение уравнения

1 x2 y xy 2x.

Решение. Разделив все члены данного уравнения на 1 x2 0,

приведем его к виду

(2.16)

1 x2

1 x2 .

(2.22)

Здесь P x

Q x

1 x2

Положим y u v, откуда y u

Подставим эти значения y

и y в уравнение (2.22):

xuv

1 x2

Сгруппируем члены, содержащие, например v, и вынесем v за скобку

x u

(2.23)

1 x2

Выберем функцию u 0 так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, т.е.


	du		xu	0.		(2.24)

	dx 1 x2
Тогда уравнение (2.23) примет вид
u		dv	2x		.	(2.25)
			1 x2
		dx

Решаем уравнение (2.24) как уравнение с разделяющимися переменными (при u 0):

du		xu	0, т.е.	du		xdx	.
dx 1 x2				u 1 x2

Интегрируем почленно это уравнение :

xdx

,или

d 1 x2

1 x2

1 x

d 1 x2

т.к.

d 1 x2 1 x2 dx 2xdx, откуда xdx

т.е.

1 x2

, откуда

1 x2.

(2.26)

Подставив значение функции u в уравнение (2.25), найдем

									1 x2		dv		2x		, т.е.		dv			2xdx		.
											dx	1 x2						3
																				1 x2
																				1 x2	2
Интегрируя почленно												3
	2xdx			, или dv 1 x2								3	d 1 x2 ,
dv	2xdx											2
dv	3											2
	1 x2
	1 x2	2
т.к. d 1 x2 2xdx .
			3											1 x		2		1
				1 x2				1
							2
							2					v						2	C или
Откуда v										C, или
Откуда v					3	1				C, или						1
					3											1
																2
			2													2

v		2	C .	(2.27)

	1 x2

Заменив в подстановке y u v функции u и v их выражениями из равенств (2.26) и (2.27), получим искомое общее решение данного уравнения:

1 x

, или y

C 1 x

1 x

Пример 7. Найти частное решение уравнения

xy y x3, если

y 1/2

при x 1.

Решение. Разделив все члены данного уравнения на x 0, приведем его к виду (2.16)

y y

x2.

(2.28)

Здесь P x 1 , Q x x2. x

Положим y u v, откуда y u dv v du . dx dx

Подставим эти значения в уравнение (2.28):

u dv v du u v 1 x2. dx dx x

Сгруппируем члены, содержащие, например v, и вынесем v за скобку

	dv	du	u		2
u		v		x		.	(2.29)
	dx
		dx	x

Выберем функцию u так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, т.е. чтобы

(2.30)

Тогда уравнение (2.29) примет вид

x2 .

(2.31)

Решаем уравнение (2.30) как уравнение с разделяющимися переменными (при u 0 ):

Интегрируя почленно уравнение

, или ln u ln x,или u x .

(2.32)

Подставим это значение в уравнение (2.31), найдем

x2, т.е. dv xdx .

Интегрируя почленно dv xdx или

C .

(2.33)

Заменив в подстановке y u v функциями u и v их выражениями из равенств (2.32) и

(2.33), получим искомое общее решение данного уравнения:

, или y

Cx .

y x

(2.34)

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным данным

при

x 1. Для

этого подставим в (2.34) y

и x 1, получим

C 1 или 0 C .

Искомое частное решение данного уравнения y x3 . 2

Задачи для контрольных заданий

Найти решения уравнений

5.01а) xy2 x dx y x2 y dy ;

б) x y ydx x2dy 0;

в) 1 x2 y xy 2x, если y 0 при x 0.

5.02а) 1 x2 dy 1 y2 dx 0;

б) x2 y y2 xy x2;

в) y	3	y x, если	y 1	при x 1.

	x

5.03а) cos xsin y dy cos ysin x dx;

б) x2 2xy dy xy y2 dx 0;

в) 2y y ex , если y 5 при x 0.

5.04

а) ex 1 ey dx ey 1 ex dy 0;

б) x3dy y(x2 y2) ;

в)

2xy ex2

, если y o при x 2.

5.05

а) xy x

б) 2

y dx xdy 0;

в) xy y x2 cos x, если

при x

5.06а) 1 x2 dy xy x dx 0; б) xyy x2 y2;

в) xy y sin x, если	y	1	при x		.
			2

5.07а) x2 y 3y 2xy ;

б) 2xyy x2 2y2 0;

в)

x2 y 2xy 4, если

при x 1.

5.08

а)

y tgx 1 y , если y

при x

;

б) xy y

x2 y2

;

в) xy2y x3 y3.

5.09

а) 1 y2 dx xydy, если

y 1

при x 1;

б) x2 y2 dx 2xydy 0;

в) xy 3y x4.

5.10

а) 1 x2 y xy 0, если y 4 при x 0;

б) x y y y 0;

в)

2y ex.

5.11

а)

dy y tgx dx 0, если

y 1

при x 0;

б)

xy y x ctg

;

в) y 3y e x .

5.12

а) cos xsin y dy cos ysin x dx, если y при x ;

б)

2xydy (x2

y2)dx 0;

в) y 2xy 2xex2 .

1 x2

5.13

а) 3y

;

б)

xy2 y x3

y3, если

y 3

при x 1;

в)

2y 1 x2 ex2 .

5.14

а)

dx x2 dy 0;

б)

x y dx x dy 0, если

y 0

при x 1;

в)

y cosx ysin x 1.

5.15

а)

y xe y , если y 0 при x 1;

б)

(x y)dx xdy 0, если y 0 при x 1;

в)

x 1

2y x 1 4.

5.16

а)

y 2x y 1 3;

б)

y2 dx x2 xy dy 0, если y 1 при x 1;

в)

x 1 y y cos x.

5.17

а)

x2 x2 y y2 y ;

б)

xy y2 2x2 xy y 0, если

y 1 при x 1;

в)

y x.

dy 0;

5.18

а) x

5 y2

dx y

4 x2

б)

x2 y xy y2, если y 1

при x 1;

в) y y e x .

5.19

а)

xyy 1 x2;

б)

y x2 xy y2 , если y 2 при x 2;

в)

xy y sin x .

5.20а) xy2 x dx y x2y dy 0; б) y2 2xy x2 y 0;

	в)	xy y sin x, если	y 1		при x		;
	в)	xy y sin x, если	y 1		при x		;
		yy xey 0, если				2
5.21	а)	yy xey 0, если	y 1		при x 0;
	б)	x2 y2 y 2xy ;
	в)	y y ctgx ctgx .
5.22	а)	x(y2 1)dx (1 x2 ) 0 , если				y 1 при x 0;
	б) x2 3xy y2 x2 y 0;
	в) x2y 2xy 3.
5.23	а) x2 1 y 4xy 0, если			y 1		при x 0;
	б)	x y dx x y dy 0;

в) xy xy 1 x2 ex.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 185 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.11.20191.57 Mб7кратные интегр..doc
#
02.05.2015202.24 Кб5кредит.doc
#
02.05.20156.95 Mб256КСС 2013 - на рецензию.doc
#
17.12.2018113.57 Кб6Культурология,родненькая.docx
#
02.05.2015828.18 Кб20культурология.rtf
#
10.03.20166.64 Mб35Курс высшей математики.pdf
#
02.05.201514.85 Mб213Курс лекций по начерталке.doc
#
29.07.2019218.62 Кб4Курс моих лекций по психологии и пед.doc
#
26.11.2019229.89 Кб13курс. глина.doc
#
02.05.2015511.49 Кб20курсавик 1.doc
#
01.03.202547.12 Кб0курсач по метрологии.docx