Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Курс высшей математики

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.03.2016

Размер:

6.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 182 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

где P x многочлен относительно x, a некоторое число, полагают u P x , а все остальные сомножители за dv.

Пример 10. Найти x 5 e2x dx .

Решение.

Положим

u x 5,

dv e2x

тогда

или

du dx ,

т.к.

du x 5

1 0 1. Следовательно, оставшиеся сомножители равны dv, т.е.

2dx,

x 5

или , откуда v

d2x

По формуле (*) находим

x 5

x 5 e2x dx x 5

e2x

e2x dx

e2x

1 1

x 5

d2x

В интегралах вида

P x ln

dx , P x arcsinaxdx ,

P x arccos axdx,

P x arctgaxdx, P x arcctgaxdx

полагают P x dx dv, а остальные сомножители – за u .

Пример 11. Найти 5x3 2x2

3 ln

dx .

, dv 5x3

3 dx, тогда du ln

Решение. Положим u ln

2x2

dx,

v 5x3 2x2 3 dx 5 x3 dx 2 x2 dx 3 dx

x3 1

x2 1

x3 3x.

Следовательно,

3 1

2 1

5x3 2x2 3 ln

3 3x ln

5 x4

2 x3

5 x3 1

x3 dx

2 dx 3 xdx

x3 3x ln

4 3 1

2 x2 1

3x C

x3 3x C.

2 1

Задачи для контрольных заданий

1.01 а)

xdx

;

1.02 а)

3x2 dx

;

x2 9

1 5x3 3

б)

4sin3xdx;

б) cos2xdx;

в) x 1 e2x dx;

г) x2 7x 10 .

1.03а) y3y2 1dy;

б) 5cos3 x x dx ;

в)

arctg2xdx;

г)

3x 5

dx.

x2 6x 20

1.05 а) cos

d ;

sin

б)

cos

dx ;

в)

arcsin2xdx;

г)

2 4x 4

1.07 а)

;

2 10x 30

б)

sin4 xcos5 xdx;

в) x 1 e2xdx;

г)

2x 3

1.09 а)

;

xln

б) cos3xcosxdx;

в) xcos2xdx;

г)

3x 1

dx.

4x 8

1.11 а)

etg xdx

;

cos2x

б) cos5xsin 3xdx;

в)

x 1 sin 2xdx;

в)

xln

dx;

г)

4 x x2

1.04 а) xe x2 dx;

б)

sin ydy

;

sin

y 2cos

в)

x2ex dx;

г)

x 6

1.06 а)

2xdx

;

5 2x

б) cos5 xdx;

в)

xarctgxdx;

г)

10x 34

1.08 а) xcos x2 1 dx ;

б)	sin5xsin 2xdx;
в)	xe2xdx;
г)			x 4	.
		x
			2 x 12

1.10 а)

arctgx

dx ;

1 x

б) cosxcos2xdx;

в)

x 1 sin 2xdx ;

г)

6x 13

1.12 а)

ex dx

;

2 3ex

5cos

б)

dx;

в)

arcsin xdx ;

г)

x2 6x 5

dx;

1.13 а)

ln x

б)

sin x

dx ;

cos3 x

в)

xarctgxdx;

г)

dx.

x 2x 1

2ln2 x 3

1.15 а)

dx;

б) cos4 3xdx;

в)

ln x

dx ;

г)

dx .

2 6x 13

1.17 а)

arctgx

dx;

1 x2

б)

cos7 xdx;

в)

xe2 xdx;

г)

x 5

dx..

x2 10x 9

1.19 а)

3x3

2 x4

б)

sin 2xcos3x dx;

в)

xsin x dx;

г)

dx .

2 2x 3

1.21 а) e x3 2x2 dx;

sin

б)

cos

dx;

x 6

г) x2 x 14 dx.

1.14 а) x2x2 1dx;

б) sin3xcos7xdx;

в)

ln xdx;

г)

x 5

dx.

4x 6

1.16 а) 1 ex 10ex dx ;

б)

sin2xsin9xdx;

в)

ln xdx;;

г)

x 3

dx;

x2 4x 13

1.18 а);

arctg 3x

1 x2

б)

cos3 x dx;

в)

xln x dx;

г)

dx.

x2 2x 3

1.20 а)

3x2 dx

;

2 x3 4

б)

sin xdx

;

1 3cos2 x

в) x 5 sin5xdx;

г)

x 5

dx.

x2 8x 7

1.22 а)

2 dx

;

2x3 5

б)

cos3 xdx

;

sin

в) x 2 ln xdx ;

в) 3

ln xdx;

г)

x 1

dx.

г)

x 5

dx.

2 14x 40

6x 7

3x2 dx

1.24 а) xcos x2 3 dx;

1.23 а)

sin2 x3 2 ;

sin2 xdx

б)

sin xdx

б)

;

cos2 x

cos5 x

в)

arcsin2xdx;

в) (x2

1) exdx;

г)

x 5

dx .

г)

x 1

dx.

2 6x 25

x2 4x 20

1.25а) e x3 2x2 dx;

б) cos2xsin 4xdx;

в) x2sin xdx;

г)			x 5	dx .
	x	2	8x 25

§2. Определенный интеграл

Пусть функция F x является первообразной для функции f x в некотором промежут-

ке X, а числа a и b принадлежат этому промежутку.

Определение. Приращение F b F a любой из первообразных функций F x C при

изменении аргумента от x a	до x b называется определенным интегралом от a до b
b
функции f x и обозначается	f x dx.
a
Числа a и b называются пределами интегрирования: a нижним, b верхним. Отрезок
a;b называется отрезком интегрирования. Функция		f x называется подынтегральной

функцией, а переменная x переменной интегрирования. Таким образом, по определению

b
f x dx F b F a	(1.2)

Равенство (1.2) называется формулой Ньютона – Лейбница.

Существует и другой подход к введению понятия определенного интеграла, основанный на рассмотрении пределов интегральных сумм, который в большей степени приспособлен для приложений. Рассмотрим его на примере вычисления площади криволинейной трапе-

ции.

Пусть дана фигура, ограниченная графиком непрерывной и неотрицательной

Рис.1

функции y f x , отрезком a;b и прямыми x a ,				x b (рис.1). Такую фигуру называют
криволинейной трапецией. Найдем ее площадь.
Заметим, что на отрезке a;b можно указать такую точку C ,					что площадь S криволи-
нейной трапеции равна			S f C b a .				(1.3)
			S f C b a .				(1.3)
					Действительно, пусть
				М это наибольшее значение
				функции f x на отрезке a;b ,
				а m наименьшее. Проведем
				прямые y M			и y m. Тогда
				криволинейная			трапеция	це-
				ликом содержится в прямо-
				угольнике		aABb и содержит
		Рис.2		целиком			прямоугольник
		Рис.2		aCDd (рис.2).
Поэтому SaCDd S SaABb	или		m b a S M b a ,		т.к.	SaCDd m b a ,
SaABb M b a . Возьмем число p	S		и m p M .
SaABb M b a . Возьмем число p	b a		и m p M .
	b a
На отрезке a;b возьмем такую точку C , что				f C p . Так как функция y f x				не-
прерывна на a;b , то каждому значению функции p				соответствует хотя бы одно значение ее

аргумента C , лежащего внутри отрезка a;b . Тогда S p b a . Данное свойство называется

теоремой о среднем.

Найдем теперь площадь криволинейной трапеции S через определенный интеграл. Разобьем криволинейную трапецию на n полос так, как показано на рис. 3. При этом на отрезке a;b появились точ-

ки x1, x2,..., xn 1.

В соответствии с формулой (1.3) найдем для первой полосы точку c1, a c1 x1 такую, что площадь пер-

вой полосы равна f c1 x1 a . Для второй полосы найдем точку с2 , x1 c2 x2 такую, что площадь полосы равна

Рис.3	f c2 x2 x1 . Поступаем так для всех n полос, т.к. пло-
Рис.3	щадь криволинейной трапеции равна сумме площадей по-
лос, на которую она разбита: S	f c1 x1 a f c2 x2 x1 f cn b xn 1 .

Такого типа равенство будет иметь место, как бы мы не разбивали криволинейную трапецию на полосы. Длину наибольшего из отрезков обозначим через . Перейдем в нем к пределу при 0, мы получим:

S lim f c1 x1 a f c2 x2 x1 f cn b xn 1 .

Обозначим

lim f c1 x1 a f c2 x2 x1 f cn b xn 1 ,

через выражение f x dx , получим

					b
				S f x dx.					(1.4)
					a
Таким образом ввели определенный интеграл через предел особого рода сумм (инте-
гральных сумм).				f x , определенная на отрезке a;b , где a b. Вы-
Определение. Пусть дана функция				f x , определенная на отрезке a;b , где a b. Вы-
полним следующие операции:		a;b на	n			xi	i 0,1,2,...,n ,
1.Разобьем	отрезок	a;b на	n	частей	точками	xi	i 0,1,2,...,n ,		так что
a x0 x1 x2 ... xn 1 xn b.
2.Величину max xi 1 xi			назовем шагом разбиения.
	i 0,...,n
3.На каждом из отрезков xi 1;xi зафиксируем произвольную точку Ci,								Ci xi 1;xi .
4.Составим	сумму	всех		произведений		f ci xi xi 1 ,			i 1,...,n ;
n f c1 x1 a f c2 x2 x1 ... f cn b xn 1					или в сокращенном виде
				n			n
				n f c1 xi xi 1			f ci xi	,	(1.5)
				i 1			i 1

где xi xi xi 1.

Суммы вида (1.4) называются интегральными суммами функции f x .

Очевидно, что при различных разбиениях отрезка a;b на части получим различные ин-

тегральные суммы вида (1.5). Таким образом, для данной функции f x и данного отрезка

a;b можно составить бесконечное множество интегральных сумм вида (1.3), которые зависят от числа n и от выбора точек деления xi и точек ci xi 1;xi . В примере вычисления площа-

ди криволинейной трапеции точки ci подбирались специально, что не противоречит определе-

нию определенного интеграла через пределы интегральных сумм.

Определение. Если при любой последовательности разбиений отрезка a;b таких, что

max xi 0			n , при любом выборе точек ci				xi 1;xi интегральная сумма
	n
n	f ci xi		стремится	к	одному	и	тому	же	конечному	числу
A:	i 1		f ci xi	A,
A:	lim n lim		f ci xi	A,
	0	0						f x на отрезке a;b
		0
то число A называется определенным интегралом от функции										и обозна-
	b
чается f x dx. Итак, по определению
	a
						b	n
						f x dx	lim f Ci		xi .	(1.6)
						a	0i 1
	Заметим без доказательств, что предел в правой части равенства (1.6) существует и ко-
нечен, если		f x	непрерывна на отрезке a;b .
									b
	Если	f x непрерывна и неотрицательна, то определенный интеграл f x dx численно

равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f x , осью абсцисс и прямыми x a, x b (см.рис.1), т.е.

b
S f x dx.	(1.7)

В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла. Без доказательства заметим, что оба определения эквивалентны. Второе определение помогает получить приложение определенного интеграла (вычисление площади и т.д.), а формула Ньютона – Лейбница позволяет вычислить определенный интеграл без вычисления предела интегральной суммы.

Примем без доказательств свойство определенного интеграла:

b c b

1. f x dx f x dx f x dx , с a,b .

a	a	c
b	a
2. f x dx f x dx.
a	b
b
3. f x dx 0.
b
4. Если f x g x при всех x a;b , то
b		b
f x dx g x dx.
a		a
		b
5.Если m f x M		при всех x из промежутка a;b , то m b a	f x dx M b a .

Перейдем теперь к правилам вычисления определенных интегралов. Эти правила аналогичны правилам вычисления неопределенных интегралов.

b b

1. kf x dx k f x dx , (k постоянная).

a a

2. f x g x dx f x dx g x dx .

a	a	a
3. Интегрирование по частям
b		b
u x dv x u x v x \|b		v x du x .
a	a	a

4. Замена переменной (подстановка) x t делается по формуле

f x dx f t t dt,

a

где a , b ( f , и			непрерывны).
	4
	4			3 x
Пример 1. Вычислить				3 x
Пример 1. Вычислить		1 5x		2	dx.
	1			2

Решение. Используя правила 1 и 2, представим определенный интеграл в виде суммы трех более простых интегралов, к каждому из которых применим формулу Ньютона – Лейбница

4	3							4						4						3			4			1
				x																						1
				x
																							x			2		dx
1 5x			2		dx dx 5 xdx															2			x					dx
1			2					1						1						2			1
		x2						1		1									3								3
4			4			3 x		2		1		4		4			5		3		4						3		4
4			4			3 x		2				4		4			5				4								4
x\|	5		\|								\|		x\|					x	2	\|				x			2		\|
x\|	5		\|		2 1						\|		x\|				2	x	2	\|				x			2		\|
1	2		1		2 1				1			1		1			2			1									1
							2		1
							2
	5												3		3					75									95


4 1			42		12							4	2	12			3								7					.
4 1			42		12							4	2	12			3					2			7					.
	2																					2							2

																1

Пример 2. Вычислить xarctgxdx.

Решение. Положим (см.§1, IV правило вычисления неопределенного интеграла)

																																						1								x	2
u arctgx,									dv xdx , тогда du																arctgx								dx								dx,v				xdx			.Следовательно,
																																				1 x2									2
1													x		2	arctgx\|1					1			x	2		1
xarctgx dx													x											x			1					dx
xarctgx dx																											1 x2					dx
0													2						0		0			2			1 x2
	1								02									11 x2												1				11 x2 1 1
		arctg1										arctg0														dx																	dx
		arctg1										arctg0														dx												x2 1					dx
	2								2									2	01 x2								2 4							20				x2 1
			1				1 x2						1					1											1 1											1
																						dx												1										dx
											2							2				dx												1								2		dx
	8 2										2		1 x					2																					1 x			2
	8 2						0 x						1 x							1							8 2 0												1 x
			1				1										1								1						1			1 1						dx
								1										dx														dx
								1										dx														dx
	8		2											x2 1											8		2							2				1 x2
	8		2				0							x2 1											8		2				0			2			0	1 x2
				1	x\|1					1		arctgx\|1											1					0							1	.
	8				x\|1							arctgx\|1																0								.
	8		2			0			2						0				8		2				8							4		2

Пример 3. Вычислить x x2 9dx.

																0												dt d x2 9 ,	dt x2
					Решение. Сделаем										замену						t x2				9,		тогда				dt 2xdx,
					Решение. Сделаем										замену						t x2				9,		тогда			9 dx,	dt 2xdx,
dx			dt			.	Новые пределы интегрирования находим из соотношения t x2 9; если																								x 0, то
dx						.																									x 0, то
			2x
t 02 9 9, если x 4,														то t			42				9 25.
					Поэтому																					1
4								25					dt		1	25						1	25
4								25								25							25
x		x2 9dx x										t						t	dt					t2dt
x		x2 9dx x										t		2				t	dt					t2dt
0								9					2x	2		9					2		9
0								9								9							9
			1		1			3								3				3					3		3
					1											3				3					3		3
	1 t2						25		1 t2	25			1										1			2	2
	1 t2						25		1 t2	25			1										1			2	2
							\|				\|			252			92								5 2 3 2
		1					\|				\|			252			92						3		5 2 3 2
2		1		1			9	2 3		9			3										3

		2						2
		2						2

53 33

125 27

Пример 4. Вычислить

x 1 ln x 2

Решение. Сделаем замену t ln x, тогда

dt d ln x ,

dt ln x dx,

dx,

dx xdt.

Новые пределы интегрирования находим из соотношения t ln x; если

x 1,

то t ln1 0,

если

то t ln

lne

Таким

образом,

изменению переменной от

x 1

до

соответствует изменение переменной t

от t 0 до t

. Поэтому

xdt

arcsint|

x 1 t2

1 x 1 ln x 2

1 t2

arcsin

arcsin0

2sin xdx

Пример 5. Вычислить

1 cosx 2

Решение. Положим

1 cosx t ,тогда dt 1 cosx dx, dt sin xdx , dx

. Новые

sin x

пределы

интегрирования

находим

из соотношения

t 1 cosx :

если

то

если x ,

то t

1 cos 1 1 2.

1 cos

1 0 1,

Таким образом, изменению пере-

менной x от x

до x=2 соответствует изменение переменной t от t 1 до t

2. Следова-

тельно,

2sin xdx

2 2sin x

2 1

sin x

2 t 2dt 2

1 cosx 2

1t2

2 1

| 2

Пример 6. Вычислить

3 (8 x)2

Решение. Положим

8 x

t ,

dx,

dt 1dx, dx dt . Новые пределы

тогда dt 8 x

интегрирования находим из соотношения t 8 x, если

x 0, то t 8 0 8, если

x 7, то

t 8 7 1. Таким образом , изменению переменной x от

x 0 до t 1 соответствует изме-

нение переменной t

от t

до t 1, следовательно:

7			1					1		2			2	1		1
														1
		dx			dt						t 3				1	t3 1
		dx			dt						t 3				1	t3 1
									t	3dt					\|			\|
									t	3dt		2			\|	1		\|
	3	2		3			2					2			8	1	8
0		8 x	8			t		8						1
0		8 x	8			t		8				3		1		3
												3				3

33t 331 38 31 2 3.

Задачи для контрольных заданий

x2 13xdx;

2.01 а)

sin xdx

б)

;

2 cosx

cos4 x sin4 x dx

в)

128xdx

2.03 а)

;

x2 15

2arcsin xdx

б)

;

1 x2

в)

sin xsin4xdx.

16x2 dx

2.05а) 01 2x3 ;

	1
б)	xex dx;
	0
	e	dx
в)	1	x1 ln2 x .


	2 cosxdx
2.07 а)			;
2.07 а)			;
	0	2 sin x
	0

xdx

2.02 а)

;

1 x2

4 tgxdx

б)

;

0 cos

в)

x ln x 1

15xdx

2.04 а)

;

x2 13

б) xsin xdx;

tgxdx

в)

sin 2x

sin xdx

2.06а) 3 cosx

	0
	e
б)	x2ln xdx ;
	1	x2 3 2 dx .
	1
в)
	0
	sin xdx
2.08 а)				;
2.08 а)				;
	0		2 cos x
	0

<<< < Предыдущая 12 / 182 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.11.20191.57 Mб7кратные интегр..doc
#
02.05.2015202.24 Кб5кредит.doc
#
02.05.20156.95 Mб259КСС 2013 - на рецензию.doc
#
17.12.2018113.57 Кб6Культурология,родненькая.docx
#
02.05.2015828.18 Кб21культурология.rtf
#
10.03.20166.64 Mб37Курс высшей математики.pdf
#
01.07.20252.06 Mб0Курс лекций по МК.doc
#
02.05.201514.85 Mб214Курс лекций по начерталке.doc
#
29.07.2019218.62 Кб4Курс моих лекций по психологии и пед.doc
#
26.11.2019229.89 Кб13курс. глина.doc
#
01.07.20252.36 Mб0курс.работа.doc