Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Курс высшей математики

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.03.2016

Размер:

6.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 1817 18 > Следующая >>>

8.23y e3x y2; y 1 0, y 0 0.

8.24y e2x y, y 1 1.

8.25y xy2 x2; y 0 0, y 0 1.

§7. Разложение функций в тригонометрические ряды Фурье

1. Представление функций при помощи других заданных функций

Часто при изучении функций появляется необходимость представления данной функции при помощи других функций, которые называются базовыми и свойства которых считаются известными. Пусть дана система базовых функций

1 x , 2 x ,	, n x ,
Представить данную функцию f x при помощи заданных функций означает разложить
f x в функциональный ряд
f x c1 1 x c2 2 x cn n x ,
где коэффициенты ci действительные числа.	Получив такое представление, можно аппрок-

симировать данную функцию при помощи частных сумм соответствующего функционального ряда. Выбор базовых функций определяется прежде всего задачей, которую необходимо решить и свойствами данной функции f x . Как мы видели в предыдущем параграфе, представление функции степенным рядом позволяет вычислить числовые значения функции, значения интегралов , находить решение дифференциальных уравнений.

В случае степенных рядов в качестве базовых служат функции

1, x, x2, , xn ,

2 .Тригонометрический ряд. Коэффициенты Фурье. Тригонометрический ряд Фурье

Если изучаемая функция является периодической (моделируется сложный процесс), то в качестве базовых, естест-

венно, взяты тригонометрические функции вида

Asin kx Asin coskx Acos sin kx

acoskx bsin kx,

которые представляют простые гармонические колебания. Такие задачи часто возникают в электротехнике: представить ток, изменяющийся по сложному закону I I t , через простые синусоидальные токи Ik sin t 0 . Математическим аппаратом для исследования таких за-

дач служат ряды, для которых базовыми являются функции

161

cosx, sin x , cos2x ,

sin 2x,

cosnx,

sin nx,

Определение 1. Тригонометрическим рядом называется ряд

cosx b sin x a

cos2x b

sin 2x a

cosnx

bn sin nx

(4.72)

Числа

a ,

b , ,

b ,

называются коэффициентами тригонометрического

ряда (4.72).

f x представляется на отрезке ; тригонометрическим ря-

Допустим, что функция

дом

f x

cosnx b sin nx ,

(4.73)

n 1

и предположим, что этот ряд является сходящимся для любого x отрезка ; , следователь-

но,

его можно почленно интегрировать. Не будем приводить вывод коэффициентов an

и bn, а

лишь отметим, что с помощью приемов интегрирования получаем

f x cosnxdx,

(4.74)

где n 0, 1, 2, 3,

f x sin nxdx ,

(4.75)

где n 0, 1, 2, 3, .

Определение 2. Числа an и bn, вычисленные по формуле (4.74) и(4.75), называются ко-

эффициентами Фурье для функции f x .

Определение 3. Тригонометрический ряд

cosnx b sin nx , коэффициенты которого совпадают с коэффициентами Фурье для

n 1

функции f x , т.е. вычисляются по формулам (4.74) и (4.75), называются рядом Фурье функ-

ции f x .

Как и в случае ряда Тейлора, ряд Фурье не всегда сходится к порождающей функции. Для формирования условий сходимости ряда Фурье к порождающей функции введем дополнительные понятия.

Определение 4. Функ-

ция f x называется кусочно-

	непрерывной на отрезке a;b ,
	если она имеет лишь конечное
	число точек разрыва первого
	рода (рис.108), на котором
	жирными точками обозначено
	значение функции в точках
	разрыва).
Рис.108	Определение 5. Функ-

162

ция f x называется кусочно-дифференцируемой на отрезке a;b , если ее производная явля-

ется кусочно-непрерывной функцией на отрез a;b (рис.109).

Сформируем без доказательства следующие теоремы Дирихле, которые представляют достаточные условия поточечной сходимости к порождающей функции, за исключением, быть может, точек раз-

рыва и границ отрезка.

Теорема 1. Если

функция

f x

кусочно-дифференцируема

на отрезке

; , то ряд Фурье функции f x сходится во всех точ-

ках

x ; , причем в точках непрерывности функции

f x

его сумма равна

f x , в точках разрыва функции

f x

его сумма равна

f x 0 f x 0

, на концах отрез-

Рис.109

ка его сумма равна

f 0 f 0

Определение 6.

Функция f x называется кусочно – монотонной на

отрезке a;b , если его можно разбить на конечное число ин-

тервалов так, что на каждом из интервалов функция моно-

тонна (рис.110).

Теорема 2. Если

функция f x

кусочно-монотонна и ограничена на отрезке

; , то ряд Фурье для этой функции сходится во всех

точках x ; , причем в точках непрерывности его сумма

равна

f x , в точках разрыва функции f x его сумма равна

Рис.110

f x 0 f x 0

а на

концах отрезка его

сумма равна

f 0 f 0 . 2

Пример 1. Разложить функцию f x ,

,	x 0,
f x	на интервале ; в ряд Фурье.

x,0 x

Решение. Изобразим функцию графиком.

		Так как функция
	f x кусочно-дифференци-
	руема на отрезке ; , в си-
	лу того, что ее производная
		0, x 0,		имеет
	f x			имеет
		1, 0 x
	лишь	одну	точку	разрыва
	x 0	внутри	отрезка	; ,
	то ряд Фурье функции f x
	сходится к порождающей его
Рис.111	функции во		всех	точках
Рис.111

163

x ; . При этом значение полученного ряда в концах интервала равно

f 0 f 0 0 . 2 2 2

Вычислим коэффициенты Фурье. По формуле (4.74) имеем

					1							1	0				1
a0					1		f x dx					1	dx				1			x dx
a0							f x dx						dx							x dx
																			0
																			0
		1							1							x		2						2
		1	dx						1		xdx x\|					x				\|
			dx								xdx x\|									\|			2
											0					2 0							2
											0
2								3		.
2										.
			2				2
				1										1	0
an				1		f x cosnxdx								1	cosnxdx
an						f x cosnxdx									cosnxdx


	1																				1
	1		x cosnxdx cosnxdx																		1	xcosnxdx.
			x cosnxdx cosnxdx																			xcosnxdx.
			0																			0

При вычислении интеграла xcosnxdx воспользуемся формулой интегрирования по

частям

udv u v|b

vdu .

(4.76)

Приняв u x, dv cosnxdx, откуда du dx,

v cosnxdx

cosnxdnx

sinnx

Тогда

xsin nx

xcosnxdx

sin nxdx

sin n

0 sin0n

sin nxdnx

cosnx

cos n

cos0

1 n 1

n2 0

sin nx

cosnxdx

cosnxdnx

sin n sin n

2sin n

Окончательно имеем

1 n 1

1 n 1 1

cosnxdx

xcosnxdx 0

По формуле (4.75) имеем

164

f x sinnxdx

sinnxdx

x sinnxdx

sinnxdx

xsinnxdx

cosnx|

xsinnxdx.

При вычислении интеграла

xsinnxdx воспользуемся формулой (4.76). Приняв u x,

cosnx

dv sin nxdx,

откуда du dx,

v sin nxdx

sin nxdnx

Тогда

xcosnx

xsinnxdx

cosnxdx

cos n

0 cos0

cosnxdnx

1 n

sin nx|

1 n 1

sin

n sin 0

1 n 1

Окончательно имеем

cos n cos n

cosnx

xsin nxdx

1 n 1

1 n 2

cos n cos n

Следовательно, функции f x соответствует ряд Фурье

f x

1 n 1

1 n

cosnx

sin nx .

n 1

3. Разложение в ряд Фурье функций, заданных на отрезке ;

Пусть функция	f x
	t	,
дим к функции f		,

определена на отрезке ; . Тогда подстановкой x t перехо-

которая определена на отрезке ; . Если

f x кусочно-

дифференцируема на отрезке ; , тогда		t	будет кусочно-дифференцируемой на отрез-
дифференцируема на отрезке ; , тогда	f		будет кусочно-дифференцируемой на отрез-

ке ; . Разлагая в ряд Фурье на отрезке ; функцию					t	, получим (всюду за исклю-
ке ; . Разлагая в ряд Фурье на отрезке ; функцию				f		, получим (всюду за исклю-

чением, быть может, точек разрыва функции и концов отрезка ; )

165

an cosnt bn sin nt , где

n 1

cosnt dt,

n 0, 1, 2,

sin nt dt ,

n 0, 1, 2,

Переходя к переменной

имеем t

и при этом t соответствует

x ,

t соответствует x .

Окончательно,

f x

(4.77)

cos

x b

sin

где

n 1

f x cos

x dx ,

n 0, 1, 2,

(4.78)

f x sin

x dx,

n 0, 1, 2,

(4.79)

Таким образом, функцию f x , определенную на отрезке ; можно разложить в ряд Фурье (4.77), коэффициенты которого вычисляются по формулам (4.78), (4.79). Равенство (4.77) может нарушиться лишь в точках разрыва функции и на концах отрезка ; .

Пример 2. Разложить функцию f x x на интервале 1;1 в ряд Фурье. Решение. По формуле (4.77) (при 2) имеем

f x x	a0		a			sin nx .
				n	cos nx b

2					n
		n 1

Вычислим коэффициенты ряда an по формуле (4.78) и воспользовавшись формулой ин-

тегрирования по частям (4.76), где U x, dV cos nxdx, откуда dU dx , V 1 sin nx, по-

лучим

sin nx

xcos nx dx x

sin n sin n

sin nx d nx

2n2

cos nx

cos n cos n

2n2

166

Вычислим коэффициенты ряда bn по формуле (4.79) и воспользовавшись формулой ин-

тегрирования по частям (4.76), где U x, dV sin nxdx, откуда dU dx , V 1 cos nx,

получим

cos nx

xsin nx dx x

cos n cos n

sin πnx|

2n2

-1

cos n cos n

sinπn sin πn

πn

2cos n

sin n sin n

2 1 n 1

2 n

Таким образом,

f x x

sin 2 x

1 n 1

sin nx

sin x

для 1 x 1.

Разложение в ряд Фурье периодических функций

Если

данная

функция

f x

является

периодической с периодом,T 2 ,

f x 2 k f x

и для нее имеет место разложение в ряд Фурье на отрезке

; , то оно

справедливо и на всей прямой ; .

Действительно, сумма тригонометрического ряда Фурье

cosnx b sin nx ,

n 1

если она существует, является периодической функцией с периодом 2 , так как cosnx и sin nx периодические функции.

Аналогично, если функция имеет период, то разложение (4.77) имеет место для всей прямой.

Пример 3. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f x , определенную следующим образом на периоде:

0, x 0, 2 x , f x 1, 0 x 2,

12,x 0, x 2.

167

Решение. Данная функция кусочно-дифференцируема, следовательно,

Рис.112

f x

cos nx b sin nx .

n 1

Изобразим график функции с ее периодическим продолжением.

Применив формулы (4.74) и (4.75), найдём коэффициенты Фурье.

f x dx

sin nx|2

f x cosnx dx

1 cosnx dx

sin 2n

sin 0

sin 2n

cosnx|2

cos2n

cos0

1 cos2n

f x sin nx dx

1 sin nx dx

Следовательно, разложение в ряд Фурье функции f x имеет вид

1 cos2n

f x

sin2n

cosnx

sinnx .

n 1

Оно справедливо во всех точках непрерывности функции f x .

5. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций

Пусть f x нечетная на отрезке ; функция, т.е.

f x f x , ее ряд Фурье со-

держит только синусы, т.е.

f x bnsin nx dx ,

(4.80)

где

n 1

f x sinnx dx,

n 1, 2, 3,

(4.81)

Если f x четная на отрезке ; функция,

т.е. f x f x , ее ряд Фурье содержит

только свободный член и косинусы, т.е.

168

f x

an cosnx,

где

n 1

f x cosnx dx ,

n 0, 1, 2,

f x с периодом

Аналогичные формулы можно получить для функции

2 .

Если f x нечетная функция, ее ряд Фурье имеет вид

f x bn sin

где

n 1

f x sin

dx ,

n 1, 2, 3,

Если f x четная функция, ее ряд Фурье имеет вид

f x

an cos

где

n 1

f x cos

dx, n 0, 1, 2, 3,

Задачи для контрольных заданий

Разложить данную функцию f x в ряд Фурье в интервале ; .

9.01

f x x 1

в интервале ; .

9.02

f x x 2

в интервале 2; 2 .

9.03

f x

в интервале ; .

в интервале 1;1 .

9.04

f x 1

9.05

f x

x 0

в интервале ; .

0 x

9.06

f x

1 x

в интервале 2; 2 .

9.07

f x

интервале ; .

9.08

f x

в интервале 1;1 .

9.09

f x

x 1

в интервале 2; 2 .

9.10

f x

x 0;

в интервале ; .

0 x

9.11

f x

3 x 0;

в интервале 3;3 .

0 x 3

9.12

f x 2x

в интервале 1 x 1.

(4.82)

(4.83)

(4.84)

(4.85)

(4.86)

(4.87)

169

	x,	x ;
9.13				в интервале x .
	f x
	x,			x
			2

9.14	1,	2 x 0;
	f x			в интервале 2 x 2.
	3,	0 x 2

9.15f x 2x в интервале ; .

9.16f x 3x в интервале 2 x 2.

9.17	0,		4 x 0;
	f x			в интервале 4; 4 .
	x,		0 x 4
9.18	x,		1 x 0;
	f x			в интервале 1;1 .
	2 x,			0 x 1
	0,		2 x 0;
9.19				в интервале 2; 2 .
	f x x
		,	0 x 2

	2

9.20	f x 10 x					в интервале 5;5 .
9.21	x ,						x 0;
	f x						в интервале ; .
		x,					0 x

9.22	f x			x	в интервале ; .

	2					в интервале 4; 4 .
9.23	f x 4 x
9.24	f x	x	в интервале ; .

	3					в интервале 3;3 .
9.25	f x x 3

Вопросы для самопроверки

1.Что называется числовым рядом, общим членом ряда? 2.Дайте определение сходящегося и расходящегося ряда.

3.Необходимый признак сходимости ряда. Приведите пример, показывающий, что он не является достаточным.

4.Сформулируйте теорему о сравнении двух рядов с положительными членами. 5.Докажите признак Даламбера.

6.Сформулируйте признак Коши и интегральный признак.

7.Какой ряд называется знакочередующимся? Сформулируйте и докажите признак Лейбница.

8.Дайте определение абсолютной и условной сходимости рядов.

9.Какой ряд называется степенным?

10.Сформулируйте и докажите теорему о структуре области сходимости степенных рядов.

11.Дайте определение радиуса и интервала сходимости степенного ряда. 12.Формулировка леммы Абеля и основных свойств степенных рядов. 13.Дайте определение ряда Тейлора функции f( x) и его коэффициентов. 14.Дайте определение многочлена Тейлора. В чем его отличие от ряда Тейлора?

15.Сформулируйте и докажите теоремы о сходимости ряда Тейлора к порождающей его функции.

170

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 1817 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.11.20191.57 Mб7кратные интегр..doc
#
02.05.2015202.24 Кб5кредит.doc
#
02.05.20156.95 Mб259КСС 2013 - на рецензию.doc
#
17.12.2018113.57 Кб6Культурология,родненькая.docx
#
02.05.2015828.18 Кб21культурология.rtf
#
10.03.20166.64 Mб35Курс высшей математики.pdf
#
01.07.20252.06 Mб0Курс лекций по МК.doc
#
02.05.201514.85 Mб214Курс лекций по начерталке.doc
#
29.07.2019218.62 Кб4Курс моих лекций по психологии и пед.doc
#
26.11.2019229.89 Кб13курс. глина.doc
#
01.07.20252.36 Mб0курс.работа.doc