Курс высшей математики

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

точный член формулы Тейлора в форме Лагранжа”. Если функция

имеет в некоторой

окрестности точки x0 все производные до n 1 го порядка включительно,то для

любого из x этой окрестности имеет место

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.03.2016

Размер:

6.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1815 16 17 18 > Следующая >>>

в) если , то ряд (4.34) сходится лишь при x 0.

Доказательство. Применяя признак Даламбера к ряду (4.35), имеем (при )

lim

an 1 xn 1

lim

an 1

lim

an 1

an xn

откуда следует, что ряд (4.35) сходится, если

и расходится, если

(4.37)

а) Допустим, что 0

и . Тогда из (4.37) получаем

, т.е.

. Таким

;

образом, в интервале

ряд (4.35) сходится, а следовательно, ряд (4.34) в этом интервале

сходится абсолютно.

В ходе доказательства признака Даламбера для числовых рядов с положительными членами было установлено, что если 1, то общий член исследуемого ряда не стремится к ну-

лю. Следовательно, для каждого фиксированного x, при котором x 1, общий член anxn

ряда (4.35) не стремится к нулю. Отсюда следует, что общий член anxn ряда (4.34) не стремит-

ся к нулю, т.е. при	x	1	ряд (4.34) расходится, так как не выполняется необходимое условие


сходимости ряда.

б) Если 0, то			x	0 1. Тогда, по признаку Даламбера, ряд (4.35) сходится для

любого x, а следовательно, ряд (4.34) сходится абсолютно также для любого x, т.е. в интерва-

ле ; .

в) В случае при x 0 имеем и ряд (4.34) расходится для любого x 0, так как и в этом случае его общий член не стремится к нулю.

Если рассмотреть ряды, для которых существует lim n an , то вопрос о сходимости n

таких рядов может быть решен применением к ряду (4.35) признака Коши. Сформируем тогда без доказательства следующую теорему.

Теорема 2 (о структуре области сходимости степенного ряда). Пусть существует конечный или бесконечный предел

lim n an

(4.38)

Тогда:

1 1

а) если 0 и , то степенной ряд (4.34) сходится абсолютно в интервале

;

т.е. при

, и расходится вне этого интервала, т.е. при

;

б) если 0, то ряд (4.34) сходится при любом x;

в) если , то ряд (4.34)

сходится лишь при x 0.

Определение 4. Число R называется радиусом сходимости ряда (4.34), если при всех

x, для которых

R, ряд (4.34)

сходится, а при всех x, для которых

R, ряд (4.34) расхо-

дится.

141

Из теорем 1 и 2 следует, что в случае, когда 0 и R , имеет место равенство

. Условимся считать R 0 для рядов, расходящихся при всех x 0, и R для рядов,

сходящихся при любых x.

Из этого определения и теорем 1 и 2 следует

lim

(4.39)

an 1

lim

an 1

или

(4.44)

limn an

Заметим, что вопрос о сходимости ряда (4.34) в точках x R и x R решается до-

полнительными исследованиями.

Таким образом, для области сходимости ряда (4.34) возможны следующие случаи.

1.Ряд (4.34) сходится только при x 0. Область сходимости состоит из одной точки x 0,

R 0.

2.Ряд (4.34) не имеет точек расходимости. Область сходимости совпадает со всей числовой прямой ; , R .

3.Ряд (4.34) имеет как отличные от нуля числа точки сходимости, так и точки расходимости. В зависимости от данного ряда область сходимости является одним из промежутков R;R ,

R;R , R;R , R;R ,гдеR lim	an	,или R	1	.
	an 1
n			lim n an
			n

Определение 5. Независимо от того, какой именно случай имеет место, интервал R;R

называется интервалом сходимости ряда (4.34).

Следствие 1. Область сходимости степенного ряда либо совпадает с его интервалом

сходимости, либо получается из этого интервала добавлением одной или обеих граничных точек.

Пример 2. Найти область сходимости ряда

1 x 2!x2 3!x3 n!xn

Решение. По формуле (4.39) имеем

lim

1 2 3 n

an 1

n n 1 !

n 1 2 3 n n 1

lim

n n! n 1

n n 1

Данный ряд сходится только в точке x 0.

Пример 3. Найти область сходимости ряда

2 3

22 32

23 33

2n 3n

R lim

2n 1

3n 1

Решение.

lim

an 1

2n 1 3n 1

2n 3n

142

n 1

3n 1

lim

lim 3

2 n

т.к. lim

n 3

R 3, ряд сходится абсолютно в интервале 3;3 . Исследуем ряд на сходи-

Таким образом,

мость в концах интервала. При x 3 получаем числовой ряд

2 3

22 32

23 33

2n 3n

Воспользуемся необходимым признаком сходимости рядов с положительными членами.

Рассмотрим

lim an lim

lim

1, значит, ряд расходится. При x 3 приходим к ряду

2 n

1 n3n

, который по признаку Лейбница для знакочере-

22 32

2 3

2n 3n

an 0.

дующихся рядов расходится, т.к. не выполняется условие lim

Итак, окончательно получаем, областью сходимости будет промежуток 3;3 .

Пример 4. Найти область сходимости ряда

x2n 1

Решение. К этому ряду формула (4.39) неприменима, так как отсутствуют четные степе-

ни переменной x, т.е. a2k 0,

k 1, 2, 3,

Применяем непосредственно признак Даламбера:

Un 1 x

2n 1

x2n 1

lim

Un x

x2n 1 5n 1

5n 1

lim

x2n 1 x2 5n

lim

x2n 1 5n 5

n 5

Данный ряд сходится для

1, или x2

5, т.е.

, следовательно, x

Проверим сходимость на концах интервала. При x

получаем ряды

143

2n 1

, которые, очевидно,

,т.е.

расходятся.

Следовательно, областью сходимости будет

Пример 5. Найти область сходимости ряда

1 1

2 1

3 1

n 1

4 3

4 2

n 1

Решение. По формуле (4.40) имеем

R lim

lim

n n a

n 1

n n 1

т.е. R 4, ряд сходится в интервале 4;4 . Исследуем ряд на сходимость в концах интервала.

При x 4 получаем числовой ряд

n 1

n 1 n 4n

n 1 n

4n nn

n 1

который исследуем с помощью необходимого признака сходимости рядов. Имеем

lim an lim

n 1 n

0,т.е. общий член ряда не стремится к нулю и ряд расходится. При

x 4 получаем числовой ряд

n 1 n

1 n4n

n 1 n

4 n

1 n

, который по признаку Лейбница

n 1 4n

n 1

для знакочередующихся рядов расходится, т.к. не выполняется условие lim an 0.

Итак, окончательно имеем: областью сходимости будет промежуток 4;4 .

Пример 6. Найти радиус сходимости ряда

1 n

x2n

2n !

Решение. К этому ряду неприменима формула (4.39), так как отсутствуют нечетные сте-

пени переменной x, т.е. a2k 1 0,

k 0,1,2, Применяем непосредственно признак Даламбе-

ра:

lim

Un 1 x

lim

1 n 1x2n 2

1 n x

Un x

2n 2 !

2n !

lim

x2n 2

2n !

lim

x2n

x2 2n !

x2n 2n 2 !

x2n 2n ! 2n 1 2n 2

lim

n 2n 1 2n 2

при любом x, т.е. ряд сходится на всей числовой прямой.

144

Замечание. Если степенной ряд имеет вид (4.31), то, как мы отмечали, подстановкой x x0 z он приводится к степенному ряду вида

a1z a2z2

a3z3

anzn ,

anzn a0

(4.41)

n 1

интервалом сходимости которого будет R;R , т.е.

R или

x x0

R , или

R x xo R,или x0

R x x0 R . Следовательно, интервалом сходимости ряда (4.31)

будет x0

R;x0 R , а радиус сходимости ряда (4.41) и (4.31) совпадают.

Пример 7. Найти область сходимости степенного ряда

x 3

n 1 3

n 0

Решение.

Здесьx0 3,an

,an 1

n 2 3

n 1 3

n 1 1 3

lim

n 2 3

an 1

n 1 3

n 2 3

n 1 3

n 1 1 3

lim

n 1

lim 1

n 1

Следовательно, ряд сходится при

x 3

1, т.е. при 1 x 3 1. Исследуем ряд на

сходимость в концах интервала. При x 4 получаем числовой ряд

(4.42)

который является сходящимся как обобщенный гармонический с 3. При x 2 имеем

1 n 1

, который абсолютно сходится, т.к. сходится ряд (4.42). Следова-

тельно, областью сходимости является отрезок 1;3 .

Если рассмотреть произвольный степенной ряд в общем случае, когда lim an 1 и

n an

lim n an , быть может, и не существуют, т.е. признаки Даламбера и Коши неприменимы к ряду n

(4.34), нужны дополнительные исследования.

Основную роль в определении структуры области сходимости степенного ряда (4.34) в общем случае играет следующая сумма Абеля, которая приводится без доказательства.

Лемма Абеля. 1) Если степенной ряд (4.34) сходится при некотором значении x x0 0, то он абсолютно сходится при любом значении x, для которого x x0 .

2) Если степенной ряд (4.34) расходится при некотором значении x x0, то он расхо-

дится при любом значении x, для которого на основании этой леммы можно доказать теорему: Теорема 2 (о структуре области сходимости степенного ряда). Если степенной ряд

(4.34) имеет как отличные от нуля точки сходимости, так и точки расходимости, то существует такое число R 0, что ряд (4.34) абсолютно сходится при всех x из интервала R;R , т.е. для которых x R, и расходится при всех x, для которых x R.

Сформулируем основные свойства степенных рядов.

145

Свойство 1. Сумма степенного ряда (34.4) является непрерывной функцией в области

его сходимости.	f x , т.е.
Свойство 2. Если ряд (4.34) сходится к функции	f x , т.е.
f x a		a x a x2		a	n	xn	,	(4.43)
0		1	2		n

то для любого отрезка a;b , содержащегося в интервале сходимости ряда (34.4), имеет место равенство

b b b b b

f x dx a0 dx a1xdx a2x2 dx anxn dx ..(4.44)

Другими словами, степенной ряд можно почленно интегрировать по любому отрезку, содержащемуся в области сходимости.

Интегрирование степенных рядов можно использовать для получения разложения в

степенной ряд функций вида f x dx, если известно разложение (4.43) функции f x в сте-

пенной ряд. Для этого достаточно интегрировать на отрезке 0;x для любого x из области сходимости ряда (4.43) данный степенной ряд:

x	f x dx	x				x		x			x2 dx
	f x dx		a	0	dx		a xdx		a	2	x2 dx
				0			1			2
0		0				0		0

x	a x2	a	2	x3	a		n	xn 1
anxn dx a0x	1		2				n			(4.45)
anxn dx a0x	2		3				n 1			(4.45)
0	2		3				n 1
0
Полученный ряд (4.45) имеет тот же интервал сходимости, что и (4.43).
Пример 8. Рассмотрим ряд								1
								1	1 x2	x4 x6 x8 1 nx2n ,(4.46)
						1 x2			1 x2	x4 x6 x8 1 nx2n ,(4.46)

областью сходимости которого является промежуток 1;1 . Интегрируя ряд (4.46) на отрезке

0;x ,	x 1;1 , получаем
	x	dx		x	x	x	x
		dx		dx x2 dx x4 dx 1 n x2n dx ,
		1 x	2	dx x2 dx x4 dx 1 n x2n dx ,
	0	1 x	0		0	0	0

или

1 n x2n 1

arctgx x

(4.47)

2n 1

Таким образом получим разложение функции в степенной ряд в промежутке 1;1 . От-

сюда, например, при x 2 получаем

1 n 22n 1

arctg2 2

2n 1

Свойство 3. Если ряд (4.44) сходится к функции f x , т.е. имеет место равенство (4.43),

то ряд

x 3a x2

xn 1 , составленный из производных членов ряда (4.44), имеет

f x , т.е.

тот же радиус сходимости и сходится к производной f x функции

2a2x 3a3x

nanx

n 1

(4.48)

f x

146

Другими словами, степенной ряд можно почленно дифференцировать в любой внутренней точке из области его сходимости.

Пример 9. Дифференцируя почленно равенство (4.46), получим

			2x		2x 4x3	6x5	1 n2nx2n 1 ,

или		1 x2 2
		1
				1 2x 4x3		6x5	1 n 1nx2n 2
	1 x		2 2

Задачи для контрольных заданий

Исследовать сходимость следующих степенных рядов. Найти их области сходимости.

6.01

;

6.02

;

6.03

;

n 2

n 1

6.04

;

6.05

;

6.06

;

n 1

n3 8

6.07

;

6.08

;

6.09

;

n 5

n 1

n 2n

n 1 3

2n 1

6.10

;

6.11

;

6.12

;

n 1

n 1 n3

6.13

;

6.14 n 1 x 2

;6.15

n2 9

n 1

6.16

;

6.17

;

6.18

;

n 1

6.19

;

6.20

;

6.21

;

n 1

n 1 2n

n2 1

n 1

3n 1

6.22

;

6.23

;

6.24

xn ;

n 1

n 1 x

6.25

n 1

§5. Ряд Тейлора

1. Коэффициенты Тейлора. Ряд Тейлора

Предположим, что функция раскладывается в степенной ряд в интервале R;R :

f x a

a x x

x x

n (4.49)

147

Найдем коэффициенты ряда (4.49).,выразив их через значения функции f x и ее про-

изводных в точке x0 . Для этого, полагая в (4.49) x x0 , получим

				f x0 a0 .	(4.50)
По теореме о дифференцируемости степенных рядов из (4.49) находим
		2

f x a1 2a2 x x0 3a3 x x0
				nan(x x0)n 1 (4.51)
Полагая в (4.51)	x x0, получим			f x0 a1.	(4.52)
Дифференцируя обе части (4.51), находим				f x0 a1.	(4.52)
Дифференцируя обе части (4.51), находим
			2
			x x0
f x 2 1a2 3 2a3 x x0 4 3a4			x x0
	x x0, получим			n n 1 an x x0 n 2	(4.53)
Полагая в (4.53)	x x0, получим			f x0 2 1a2 .	(4.54)
				f x0 2 1a2 .	(4.54)

Продолжая дифференцировать полученный ряд и подставляя x x0, будем иметь

или

где полагаем

f x0 3 2 1a3, f IV x0 4 3 2 1a4,	,
f n x0 n n 1 n 2 3 2 1an,	,

f n x0 n!an , n 0, 1, 2, ,

f 0 x0 f x0 . Из полученных формул и определим коэффициенты ряда (4.49):

f x

, a

f x0

, a

f x0

, ,a

f n x0

. (4.55)

f n x

Определение 1. Числа

, n 0, 1, 2, называются коэффициентами Тейлора

f x

функции

в точке x0 .

Подставим значения an из (4.55) в (4.49), получим

f x f x0

f x0

x x0

f x0

x x0 2

n x

x x0 n (4.56)

Определение 2. Ряд

f x

f x0

x x

f x0

x x

n x

x x0 (4.57)

f x в точке x0 .

называется рядом Тейлора функции

Из приведенных выше рассуждений следует.

148

Теорема 1. Если функция f x разлагается в степенной ряд (4.49), то это разложение

единственно и совпадает с разложением функции f x в ряд Тейлора функции в точке x0							0.
Если в (4.57) полагать x0 0, то получим ряд Маклорена для функции f x
f x f 0	f 0	x	f 0	x2	f n 0	xn ,	(4.58)
			2!
1!					n!

который является частным случаем ряда Тейлора.

Из приведенных выше рассуждений следует, что если функция f x имеет в точке x0

производные любого порядка, то для нее можно составить ряд Тейлора или (при x0 0) ряд Маклорена (4.58).

Определение 3. Функция f x называется порождающей для соответствующего ряда.

149

2. Многочлены Тейлора. Формула Тейлора

Определение 4. Частичные суммы Sn x ряда Тейлора (4.56) обозначаются через Tn x

и называются многочленами Тейлора функции f x в точке x0 :

Тогда ряд Тейлора функции f x можно представить в виде
f x f x0	f x0	x x0		f n x0	x x0 n

1!				n!		rn x Tn x rn x , (4.59)
где rn x остаток ряда.
			f x имеет в точке x0			производные до n го порядка
Таким образом, если функция

включительно, то для нее можно составить многочлен Тейлора степени n. Хотя в ряд Тейлора эта функция может и не разлагаться. Для таких функций можно записать равенство

f x f x0	f x0	x x0	f n x0	x x0 n

1!			n!		Rn x , (4.60)
где Rn x разность между		f x и Tn x , т.е.

			Rn x f x Tn x .		(4.61)
Определение 5. Формула (4.60) называется формулой Тейлора, а Rn x называется ос-
таточным членом формулы Тейлора.
Рассматриваются различные выражения для остаточного члена Rn x					формулы Тейло-

ра. Мы остановимся, без доказательства, на одном из них, известным под названием “оста-

где t некоторая промежуточная точка между x0 и x. Тогда с учетом (4.62) формула Тейлора

(4.60) примет вид

f x0

f x f x0

x x0

x x0 2

f n x

n 1 t

x x0

n 1. (4.63)

n 1 !

Если x0 0, то получим частный случай формулы Тейлора, формулу Маклорена:

f x f 0

f 0

f n 1 0

n 1

. (4.64)

n 1 !

Пример 1. Написать формулу Маклорена для функции f x x2ex с остаточными членом в форме Лагранжа для n 4.

Решение. При n 4 из (4.64) имеем

150

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1815 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.11.20191.57 Mб7кратные интегр..doc
#
02.05.2015202.24 Кб5кредит.doc
#
02.05.20156.95 Mб259КСС 2013 - на рецензию.doc
#
17.12.2018113.57 Кб6Культурология,родненькая.docx
#
02.05.2015828.18 Кб21культурология.rtf
#
10.03.20166.64 Mб35Курс высшей математики.pdf
#
01.07.20252.06 Mб0Курс лекций по МК.doc
#
02.05.201514.85 Mб214Курс лекций по начерталке.doc
#
29.07.2019218.62 Кб4Курс моих лекций по психологии и пед.doc
#
26.11.2019229.89 Кб13курс. глина.doc
#
01.07.20252.36 Mб0курс.работа.doc