Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Курс высшей математики

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.03.2016

Размер:

6.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1814 15 16 17 18 > Следующая >>>

n 1 n2

3 4

4 9

n 1

Решение. Напомним, что

e 2,7. Имеем

lim

n 1 n2

an lim

lim

n n

1 n

e 1, следовательно, по признаку Коши ряд расходится.

lim

Пример 13. Исследовать на сходимость ряд

n2 2n n2

3 9

8 16

n2 2n

n 2

Решение. Имеем

n2 2n

lim n a

lim

0 1, следовательно, по признаку Коши ряд

n 3

сходится.

Пример 14. Исследовать на сходимость ряд

1 n

1 2

1 n

n 1

Решение. Имеем

lim n

limn

lim 1

Следовательно,

по признаку Коши данный ряд исследовать нельзя. С другой стороны,

1 n

lim an

lim 1

e 0, следовательно, не выполняется необходимое условие сходимо-

сти ряда, значит, данный ряд расходится.

Пример 15. Исследовать на сходимость ряд

n 1n2

Решение. Используя равенство lim 1, получаем

131

					1		2

		1		1		n		2
lim n an									1, но этот ряд сходится, так как если отбросить
	lim	n	lim					1

n	n n2		n n

	1		1	1		1
первых два члена, то он совпадает с рядом							, который яв-
				n 2 2
32		42			n 1 n 2 2

ляется сходящимся (см. пример 5).

Замечание. Как видно из доказательства признака Даламбера, а признак Коши доказывают аналогично, эти два признака дают ответ о сходимости только тех рядов, порядок малости членов которых не меньше, чем у ряда геометрической прогрессии, т.е. только для “быстро” сходящихся рядов. С другой стороны, эти признаки устанавливают расходимость только таких рядов, у которых общий член даже не стремится к нулю. Эти признаки, следовательно, являются слишком грубыми. Они неприменимы к рядам с медленно растущими частичными суммами, каким является, например, гармонический ряд.

Сформулируем сейчас признак, который в некоторой степени восполняет этот пробел.

Теорема 4 (интегральный признак). Пусть дан ряд (4.19) с положительными членами,

причем a1 a2

an и

f n такая непрерывная монотонно убывающая функция,

что

f n an . Тогда данный ряд и несобственный интеграл f x dxодновременно сходится

или расходится.

Пример 16. Исследовать на сходимость обобщенный гармонический ряд

0, 1.

n 1n

Решение. Рассмотрим функцию

f x

x 1. Эта функция непрерывна, монотонно

убывает и

f n

, следовательно, можно применить интегральный признак. При 1

имеем

M dx

1 M

lim

1 x

M 1

lim

lim M

1 1 .

M 1

1 M

Здесь необходимо рассмотреть два случая:

1) 1 0, т.е. 1, или 1 0; следовательно,

стремится к нулю, если

M 1

M стремится к бесконечности. Тогда

lim

1 x

1 M M

таким образом, при 1 данный ряд сходится.

В частности, ряд 1

сходится,

т.к.

132

3) 1 0, т.е. 1. Тогда				M1					неограниченно возрастает при M , стремящемся к беско-
				dx				1					M1 1 и данный ряд расходится.
нечности, следовательно,				dx				1			lim
нечности, следовательно,											lim
			1 x					1 M
	1					1				1						1
B частности, ряд 1													расходится, так как					1.
		3			3					3							3
		3	2		3		3			3		n					3
Пример 17. Исследовать на сходимость ряд
ln3 n 2								ln3 3 ln3					4 ln3	5	ln3 n 2

	n 2							3							n 2
n 1	n 2							3		4			5		n 2

Решение. Рассмотрим функцию f x ln3 x 2 , x 1. Эта функция непрерывна, мо- x 2

нотонно убывает и f n ln3 n 2 , следовательно, можно применить интегральный признак n 2

ln3 x 2

M ln3 x 2

lim

x 2

4 x 2

3 x 2 dln x

2 lim

lim ln

M 1

lim

ln4 M 2 ln43 ,

M 4

т.к.ln4(M 2) неограниченно возрастает при M , стремящемся к бесконечности. Следователь-

но, ряд расходится.

Пример 18. Исследовать на сходимость ряд

n 1

Решение. Рассмотрим функцию

f x

x 1. Эта функция непрерывна, монотонно

en2

убывает и

f n

, следовательно, можно применить интегральный признак

en2

2x dx

lim

e x

xdx

lim

e x

1 ex

lim

e x

lim

e M

e 1

, т.к. eM

lim

неограниченно возрастает при M , стремя-

e 2e

щемся к бесконечности. Следовательно, данный ряд сходится по интегральному признаку.

Задачи для контрольных заданий

Исследовать сходимость следующих числовых рядов.

133

n 5

n 1 2n

4.01а)

;

б)

;

в)

n 1 3n

n 1 2 3n

n 1 n 1 ln n 1

3n 1 4n

4.02а)

;

б)

;

в)

n 12n 1

n 1 3 5n

n 1 n

3n 1 n

ln7 n

4.03а)

;

б) 2n

;

в)

n 1n!

n 1

4n 5

n 1

n2 1

5n 3

4.04а)

;

б)

;

в)

n 11 6

n 15n 1

n 1 3n

5n 1 2n

4.05а)

;

б)

;

в)

n 13n

n 1 7n 2

n 1 n 1

ln n 1

2n 3

4.06а)

;

б)

;

в)

n 1 3n

n 1lnn n 1

n 1

2n 3

4.07а)	n3		;
4.07а)			;
	2n
	n 1
4.08а)	2n 1			;
4.08а)				;
	n 1 2 n
4.09а)			n
4.09а)			n
	3n n 1
	n 1
4.10а)			2n		;
4.10а)			2n		;
	n 1	n n 1
	n 1

4.11а)	nn! ;
	n 13
	2n 1
4.12а)			n	;
	n 1	5
		2n 1
4.13а)		n			;
	n 1	3 1
4.14а)		4n 1		;
4.14а)		4n 1		;
	n 1 5n
4.15а)		n!		;
4.15а)		n!		;
	n2 1
	n 1

6n 1 4.16а) n 1n 2 ;

4.17а) n 1;n 13

	n		n 1 n			1
б) 3				;	в)		.
б) 3				;	в)		.
n 1		2n 1			n 1n n

б)

;

6n 1 n

n 1

; б)

n 1 n

;

n 1

б)

;

n 1nn

б)

;

n 15

б)

n 1

;

n 1

4n 1 n

б)

;

n 1

ln4 5n 2

в)

5n 2

n 1

в)

n 1

arctgn

в)

n 1

1 n2

в)

n 1arctgn n2

ln3n

в)

n 1

в)

n 3n2 .

n 1

100n2

3n2

в)

б)

100

;

n 1 n

n 1n

б)

4n 1

;

в)

n 1

б) lnn n 1 ;

в)

n 1

2n 1 n2

n 1

б)

;

в)

2n 3

n 1

134

n! n

4.18а)

;

б)

;

в)

n 1n2 1

n 1 2n

n 1n2

7n 1

n 1 n

ln n 1 1

4.19а)

;

б)

;

в)

2n 1

n 1

n 32n

5n 1 n

4.20а)

;

б)

;

в)

n 1 5

n 1 4n 1

n 1 n2 1

3n2 1

4.21а)

;

б)

52n

5n2 3

n 1

n 1 !

4.22а)

;

б)

4n 1

;

n 1 n 2n

n 1 7n

2n 3n

n2 3n

4.23а)

;

б)

n 1 6

n 1 5n

2n 1

4.24а)

;

б)

;

n 1 2n 1 !

n 1 n 1 n

3n 1 n

4.25а)

;

б)

;

n 12n 1

n 1 5n 3


2n ;				2n
	в)			2n	.
	в)				.
		n 13 n2 1

	в) nln n.
	n 1

				n2 1.
;	в)	n		n2 1.
		n 1

			ln n 1
	в)					.
	в)		n 1			.
		n 1	n 1
		n 1

3n2 1 в) . n 1n3 n

§3. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды

Определение 1. Ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, на-

зываются знакопеременными.

Пусть дан знакопеременный ряд


an a1 a2 an	(4.23)

n 1

Если в ряде (4.23) имеется лишь конечное число отрицательных (или положительных) членов, то, отбрасывая их, получим ряд, члены которого имеют постоянный знак. По теореме 3 (§4) полученный и первоначальный ряды одновременно сходятся или расходятся. Поэтому будем рассматривать только ряды, которые среди своих членов содержат бесконечно много как положительных, так и отрицательных членов.

Рассмотрим ряд, состоящий из модулей всех членов ряда (4.23):

(4.24)

Теорема 1. Если ряд (4.24) сходится, то сходится и ряд (4.23).

Доказательство. Так как ряд (4.24) сходится, то и сходится ряд (4.23), потому что все его члены либо меньше, либо равны членам ряда (4.24), и по признаку сравнения он является сходящимся.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд
	1 n 1			1		1	1		n 1 1
		2	1						1
	n			2	2	2	4	2		n	2
n 1						3

Решение. Ряд, составленный из модулей членов данного ряда

135

	1		1		1	1		1
1									,
	2		2		2	2		2
2		3		4		n	n 1	n

сходится (см. пример 5, §2), следовательно, и данный ряд сходится.

Определение 2. Знакопеременный ряд (4.23) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (4.24), составленный из модулей его членов.

Определение 3. Ряд

a1 a2 an

называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд

a1 a2 an , составленный из модулей его членов, расходится.

Теорема 1 показывает, что исследование сходимости знакопеременных рядов сводится к исследованию сходимости рядов с неотрицательными членами.

Мы ограничимся исследованием знакочередующихся рядов, являющихся частными случаями знакопеременных.

Определение 4. Ряд называется знакочередующимся, если положительные и отрицательные члены следуют друг за другом поочередно. При исследовании таких рядов можно ограничиться знакочередующимися рядами вида

a	a	2	a 1 n 1a	n	,	(4.25)
1		2	3	n
где a1,a2, ,an, положительные числа.
Приведем достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда.
Теорема 2 (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд (4.25) сходится, если:
1) его члены убывают по модулю,
a1 a2			a3 an ;			(4.26)
2) его общий член стремится к нулю,		lim an 0.				(4.27)
		lim an 0.				(4.27)
	n

При этом сумма S ряда (4.25) удовлетворяет неравенствам 0 S a1.

Доказательство. Рассмотрим отдельно частные суммы ряда (4.25) с четным и нечетным числом слагаемых. Имеем

S2n a1 a2 a3 a4 a2n 1 a2n

a1 a2 a3 a4 a2n 1 a2n .

Так как выполняется соотношение (4.26), выражения в скобках не отрицательны, следовательно, S2n 0.

Кроме того, последовательность S2n не убывает при n , ввиду того, что

S2n 2 S2n a2n 1 a2n 2 S2n .

С другой стороны, S2n можно представить в виде

S2n a1 a2 a3 a2n 2 a2n 1 a2n .

Так как каждое выражение в скобках не отрицательно и an не отрицательно, то после-

довательность “четных” частичных сумм не убывает и ограничено сверху; значит, она имеет

предел lim	S2n S , причем S 0.
n
Частные суммы S2m 1 можем представить в виде S2m 1 S2m a2m 1, отсюда
lim s2m 1	lim	S2m a2m 1 lim	S2m	lim a2m 1
m	m	m		m

S 0 S .

136

Следовательно, и lim Sn S .

Так как S2n 0, то и S 0, а из второго представления S2n	при n 1 имеем
S2n a1 a2 a3 b a1.

Отсюда 0 S lim Sn b a1, что и требовалось доказать.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд

	1		1		1			1							1
1 n 1	1	1	1		1			1	1 n 1						1
1 n 1		1							1 n 1
n 1	3 n		3 2		3 3			3 4							3 n
Решение. 1. Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Для этого рассмотрим ряд, со-
стоящий из абсолютных величин, т.е. ряд
						1				1		1	1			1
						1	1			1		1	1			1	(4.28)
							1										(4.28)
				n 13 n						3	2	3 3	3	4		3 n

Для исследования знакоположительного ряда (4.28) воспользуемся интегральным признаком

(см. теорему 4, §2). Рассмотрим функцию f x																			1		,	x 1. Эта функция непрерывна, моно-
(см. теорему 4, §2). Рассмотрим функцию f x																					,	x 1. Эта функция непрерывна, моно-
							1													3 x
тонно убывает и						f n	1		, следовательно, условие интегрального признака удовлетворено.
тонно убывает и						f n
Имеем							3 n
Имеем										2
				M		1				2											2
						1															2
	1									x3			M				3
		dx lim				x 3dx			lim			\|			lim			M			3	1 ,
										2											3
	3 x
1	3 x		M	1				M			1			M 2

										3
					2					3
					2
так как			lim M 3 .
			M
Итак, ряд (4.28) расходится, т.е. исходный ряд не является абсолютно сходящимся.
2. Исследуем ряд на условную сходимость.
Воспользуемся признаком Лейбница. Имеем
									1		1			1			1						1	,
									1															,
										3 2				3 3		3 4							3 n

lim an lim 31 0.

n n n

Оба условия признака Лейбница выполняются, значит, ряд является условно сходящим-

ся.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

	n 1		4	8	16	n 1
	2					2
						3n 1
n 1 3n 1		4 10 28

Решение. Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Для этого рассмотрим ряд, состоящий из абсолютных величин

	2n 1		4	8 16			2n 1
								(4.29)
	3n	1	4		10	28	3n 1	(4.29)
n 1

Для исследования знакоположительного ряда (4.29) воспользуемся признаком Даламбера. Имеем

137

	an 1						2		n 2					2	n 1				2		n 2			n 1			1)
lim	an 1					lim	2					:		2			`	lim	2				(3				1)
lim						lim		n				:	n 1				`	lim				n 1		3	n	1
n an							3	n					n 1			1					2	n 1			n
n an					n		3			1 3						1		n			2
				n 1		n						1								1
		2				2 3 3												2 3
		2				2 3 3												2 3			n
												n							3		n
lim											3				lim				3					6,
lim											1				lim				1					6,
n											1					n			1
			2n 1 3n 1															1
																				n
											n
											n							3
										3								3

т.к. lim 1 0.

n 3n

Следовательно, ряд (4.29) сходится, а исходный ряд является абсолютно сходящимся. Пример 4. Исследовать данный ряд

		n 1	2	2	4		2n
	1					1 n 1		(4.30)

n 1		2n 1		3	5		2n 1

Решение. Исследуем данный ряд на абсолютную сходимость. Для этого рассмотрим ряд, состоящий из абсолютных величин

					2n		2		4			2n
					2n		2		4			2n
						3		5
Имеем				n 1	2n 1	3		5				2n 1
Имеем

lim an lim			2n	lim	2n	lim		2			2
lim an lim				lim		lim				1	2
n	n 2n 1			n 2n 1		n		2		1	2
								2		n
										n
1 0, т.к. lim		1	0.
1 0, т.к. lim			0.
	n n

Таким образом, не выполняется необходимое условие сходимости ряда, мы заключаем, что ряд (4.30) расходится. Значит, исходный ряд не является абсолютно сходящимся. Исследуем его на условную сходимость. Проверим выполнение первого условия признака сходимости Лейбница

lim an lim		2n	1 0.

n	n	2n 1

Следовательно, предложенный ряд является расходящимся.

Задачи для контрольных заданий

Исследовать сходимость знакопеременных рядов. Если ряд сходится, то определить, сходится он абсолютно или условно.

1 n 1

1 n 12n n

5.01

;

5.02

;

2n 1

n 1 2n 1

n 1

5.03

;

5.04

;

n 1

n 1 2n 1

1 n 1

1 n 1n

5.05

;

5.06

;

n 1 n2

n 1

138

1 n 1 2n 1

5.07

;

n n 1

n 1

1 n 1 1 3n

5.09

;

5n 1

n 1

1 n 1n

5.11

;

n2 6

n 1

1 n 1n

5.13

;

n2 8

n 1

1 n 1n

5.15

;

3n2 1

n 1

5 n 1

5.17

;

n 15n 1 1

1 n 1n

5.19

;

n4 1

n 1

5.21

1 n 1

;

n 1

2n 1

4n 5 n

5.23

1 n 1

;

n 1

5n 4

5.25

n 13

2n 1

1 n 1

5.08

;

n 1

5 n 1

5.10

;

n 1

2 n 1

5.12

;

n 1

2n n

2 n 1

5.14

;

n 1

2 3n

1 n 1n2

5.16

;

n 1

n 7

1 n 1

5.18

;

n 1

8n 7

4 n 1

5.20

;

2n 1

n 1

1 n 1

5.22

;

n 1 n2

1 n 1

5.24

;

n 1

3n 7

§4. Степенные ряды. Определение. Область сходимости. Основные свойства

Определение 1. Степенным рядом называется выражение вида

an x x0 n a0 a1 x x0 a2 x x0 2 an x x0 n , n 0

(4.31)

где x независимая переменная; x0 фиксированное число; a0,a1,a2, ,an, постоянные

коэффициенты.

Если в ряде (4.31) положить x a, где a некоторое число, то получим числовой ряд

an a x0 n a0 a1 a x0 a2 a x0 2 n 0

a	n	a x	0	n		(4.32)
	n		0

139

Определение 2. Степенной ряд (4.31) называется сходящимся в точке a, если число-

вой ряд (4.32), полученный из ряда (4.31) подстановкой x a, является сходящимся рядом.

При этом a называется точкой сходимости ряда (4.31).

Пример 1. Степенной ряд

					x 1 n		x 1		x 1 2	x 1 n
						1					(4.33)
						1					(4.33)
					n 0 5n		5	52		5n
сходится в точке x 0					и расходится в точке x 24. Действительно, подставляя в (4.33)						x 0,
получим числовой ряд
1		1
1				, который, как сумма членов ряда геометрической прогрессии со знаме-
1	5	52	5n

нателем q 1 , сходится. Данный степенной ряд расходится в точке x 24, так как числовой

ряд 1 5 52 5n является расходящимся, в силу невыполнения необходимого условия сходимости числового ряда.

Определение 3. Множество всех точек сходимости степенного ряда (4.31) называется

областью сходимости ряда.

Переходим к выяснению структуры области сходимости степенного ряда. Если произвести замену x x0 z , то степенной ряд (4.31) примет вид

anzn a0 a1z a2z2 anzn n 0

Следовательно, при изучении степенных рядов мы можем ограничиться степенными рядами вида

	2 anxn
anxn a0 a1x a2x	2 anxn	(4.34)

n 0

Заметим, что любой степенной ряд (4.34) сходится в точке x 0, действительно, если подставить в (4.34) x 0, получим ряд, сумма которого равна a0. Таким образом, точка x 0

входит в область сходимости любого степенного ряда (4.34).

Рассмотрим довольно часто встречающиеся степенные ряды (4.34), для которых, начи-

ная с некоторого номера, все an 0 и существует предел	lim	an 1	. Вопрос о сходимости
		an
	n
таких рядов может быть решен с помощью признака Даламбера, примененного к ряду

a x

(4.35)

составленному из модулей членов ряда (4.34). Имеет место следующая теорема.

Теорема 1 (о структуре области сходимости степенного ряда). Пусть существует конеч-

ный или бесконечный предел

an 1

(4.36)

lim

Тогда:

;

а) если 0 и , то степенной ряд (4.34)

сходится абсолютно в интервале

т.е. при

, и расходится вне этого интервала, т.е. при

;

б) если 0, то ряд (4.34) сходится при любом x;

140

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1814 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.11.20191.57 Mб7кратные интегр..doc
#
02.05.2015202.24 Кб5кредит.doc
#
02.05.20156.95 Mб259КСС 2013 - на рецензию.doc
#
17.12.2018113.57 Кб6Культурология,родненькая.docx
#
02.05.2015828.18 Кб21культурология.rtf
#
10.03.20166.64 Mб37Курс высшей математики.pdf
#
01.07.20252.06 Mб0Курс лекций по МК.doc
#
02.05.201514.85 Mб214Курс лекций по начерталке.doc
#
29.07.2019218.62 Кб4Курс моих лекций по психологии и пед.doc
#
26.11.2019229.89 Кб13курс. глина.doc
#
01.07.20252.36 Mб0курс.работа.doc