Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Курс высшей математики

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.03.2016

Размер:

6.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1813 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Если lim Sn не существует или	lim Sn , то ряд называется расходящимся и ему не
n	n

приписывается никакое числовое значение.

Пример 1. Исследуем на сходимость ряд геометрической прогрессии (4.3). Решение.

Sn a

aq aq

a1 qn 1

1 q

a aqn 1

aqn 1

(4.8)

1 q

Рассмотрим q, удовлетворяющее условию

Тогда

aqn 1

lim Sn lim

lim

1 q

n 1 q

lim qn 1

1 q

1 q n

1 q

Итак, при

1 ряд (4.3) сходится и его сумма S равна

. В частности, сумма ряда

1 q

(4.4) равна S

сходится лишь при a 0. В этом случае Sn 0

Если

1, то ряд (4.3)

и, следователь-

но, lim Sn 0. Если a 0

1, то из (4.8) следует, что

a1 qn 1

lim 1 qn 1

, т.е. ряд (4.3) расходится.

lim Sn lim

1 q

1 q n

1 q

Если a 0 и

1,то получим при q 1 ряд

a a a ,

(4.9)

а при q 1 ряд

a a a a 1 n 1a

(4.10)

Для ряда (4.9)

lim Sn lim

n a a lim

n a , т.е. ряд является расходящимся.

Для ряда (4.10) S2n 0,

S2n 1

a, следовательно, последовательность частичных сумм

a, 0, a, 0,... не имеет предела.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд

n 1

ln 2 ln

n 1

Решение. Для частных сумм данного ряда имеем

n 1

ln 2 ln

2 3 4 n n 1

ln n 1 .

1 2 3 n

Sn lim

ln n 1 .

Следовательно, lim

121

Согласно определению 6 ряд является расходящимся. Пример 3. Исследовать на сходимость ряд


1		1	1	1				1
									.
	1 3	2 4	3 5		n n 2		n n 2		.
						n 1

Решение. Преобразуем частные суммы данного ряда. Для этого запишем общий член ряда следующим образом:

																																															a						1											A				B			.
																																															a						n n 2																		.
																																																	n				n n 2											n n 2
								Найдем числа A и B :																																			A								B						A n 2 Bn													A B n 2A
																																			1								A								B						A n 2 Bn													A B n 2A				.
																													n n 2																																													.
																													n n 2														n						n 2												n n 2										n n 2
								Если две равные дроби имеют одинаковые знаменатели, то и их числители равны, т.е.
1 A B n 2A или																											0 n 1 A B n 2A.
								Два многочлена являются равными, если равны коэффициенты при одинаковых степе-
нях неизвестных, т.е.																																																						A B 0,
																																																						A B 0,

																																																						2A 1.
								Откуда A													1							B								1															a		1							1			1
																								,														. Тогда																														,
																					2			,												2		. Тогда																														,
																					2															2																n			2 n								n 2
S					a						1						1
													1							,
													1							,
1					1						2						3
S					a a											1					1												1 1								1
	2																		1																										,
																			1																										,
							1			2						2							3										2 2								4
S					a a a																	1							1								1					1 1											1 1							1
	3																						1
																							1
							1			2							3					2										3					2 2										4						2 3									5
	1						1			1								1			1
																													,
																													,
	4						2						4					2					5
S					a a a a																								1 1											1					1								1						1 1				1
	4

							1			2				3							4								4 2											4								2					5						2 4							6
	1						1							1							1								1
																																					,
																																					,
				4 2									n 1								2									n 2
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Sn						1 1								1							1									1						1	1								1								1					1


						4 2									5						2									6						2 5									7											2 n 1
		1 1										1					1 1																		1									1								1
																																																							.
																																																							.
			2 n							n 2 4															2										n 1									2							n 2
																																							1							1							1							1							1
								Отсюда											lim S							n				lim
								Отсюда											lim S											lim
																		n																					4							2						n 1										2			n 2
																		n																n					4							2						n 1										2			n 2
lim									1				1	lim							1										1			lim								1								1		, т.к.								lim			1					0	и lim			1	0.
			n 4										2n n 1																		2n n 2																			4								n n 1													n n 2

Следовательно, данный ряд сходится и его сумма равна 1 .

122

Рассмотрим свойства сходящихся рядов.

Теорема 1. Если ряд (4.2) сходится и его сумма равна S , то для произвольного числа c

ряд


			can ca1 ca2 can	(4.11)
			n 1
	Так же сходится и его сумма, равная cS . Если же ряд(4.2) расходится и c 0 , то и ряд
(4.11) расходится.
	Доказательство. Пусть ряд (4.2) сходится и S lim Sn . Обозначим частные суммы ряда
(4.11) через Sn .			n
(4.11) через Sn .
	Тогда		Sn ca1 ca2 can c a1 a2 an cSn .	(4.12)
	Следовательно,		Sn ca1 ca2 can c a1 a2 an cSn .	(4.12)
	Следовательно,
lim	Sn lim	cSn c lim	Sn cSn .
n	n	n

Пусть теперь ряд (4.2) сходится, c 0 , и допустим противное, что ряд (4.11) сходится, причем lim Sn S . Тогда, учитывая (4.12), имеем S lim cSn c lim Sn , откуда

lim Sn S , что противоречит нашему условию о расходимости ряда (4.2), что и требовалось

n C

доказать.

Пример 4. Известно, что ряд (4.4) сходится. Показать, что сходится и ряд

	1		1
54 53	52 5 1
54 53	52 5 1	5		5n 4
	Решение. Последний ряд получается из ряда (4.4) умножением на c 54 , следовательно,
он сходится согласно теореме 1.
	Теорема 2. Если ряды

						an	a1 a2 an		(4.13)
						n 1

					и	bn b1 b2 bn			(4.14)
						n 1
сходятся и их суммы равны соответственно S и S , то и каждый из двух рядов

						an bn a1 b1 a2 b2 an bn (4.15)
						n 1
сходится и сумма каждого равна соответственно S S .
	Другими словами: сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать.
	Доказательство. По условию имеем S lim Sn ,							S lim Sn, где S a1 a2 an ,
S b1 b2 bn.						n		n
S b1 b2 bn.
Пусть Sn a1 b1 a2 b2 an bn , n 1,2,							,	частичная сумма ряда (4.15). Тогда
lim Sn lim Sn Sn			lim Sn			lim Sn S S .
n	n		n			n

Следовательно, каждый из рядов (4.15) сходится и сумма каждого равна соответственно S S S , что и требовалось доказать.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд

123

									2		n				n				5			13					2		n			n
									2			3				2			5			13					2				3
												6n				2														6n
							n 0					6n						6		36										6n
и если он сходится, найти его сумму S .
Решение. Данный ряд можно представить в виде
								2		n					n					2			n		3	n							1			1
								2				3								2					3								1			1

													n
													n							6				6										3	n	2	n
						n 0 6											n 0			6				6								n 0		3		2
	1	1	1		1
1 1
1 1
3		2		22
3		2	32	22
Так как ряды
																			1		1						1
															1	1			1		1						1
																1												3n
и										n 03n								3		32								3n
и
																		1			1							1
														1		1		1			1							1
																1												2n
										n 0 2n								2		22								2n

являются рядами геометрической прогрессии, его знаменателями, меньшими единицы, то они

сходятся и их суммы равны соответственно S	1		3	,	S	1		2 (см.пример 1).
	1	1	2			1	1


	3					2

Следовательно, данный ряд сходится и его сумма равна S S S 3 2 7 . 2 2

Без доказательства сформулируем следствие.

Следствие 1. Сумма (разность) сходящихся и расходящихся рядов есть ряд расходящийся.

Пример 6. Ряды 5 10 15 5n

3 6 9 3n

очевидно являются расходящимися, так как пределы их частных сумм равны бесконечности. Их сумма 8 16 24 8n и разность2 4 6 2n также расходящиеся

ряды.

Без доказательств рассмотрим следующую теорему.

Теорема 3. Если в ряде (4.1) добавить или отбросить конечное число членов, то полученный ряд

			(4.16)
a1	a2	an	(4.16)

сходится или расходится одновременно с данным. В случае сходимости рассматриваемых рядов их суммы отличаются на сумму добавленных или отброшенных членов.

Пример 7. Как известно, ряд геометрической прогрессии (4.4) является сходящимся.

		1	1	1		1
Тогда сходящимся является, например, и ряд 5	2						, который по-
		3	5	6	5	n 1
		5	5	5

лучается из данного отбрасыванием конечного числа членов: 5 2 и добавлением слагаемых:

1	1		1		1	.

5		52		54

При анализе рядов, полученных в результате моделирования какой-нибудь конкретной задачи, возникают два вопроса: во-первых, сходится ли полученный ряд, т.е. стабилизируется ли моделируемый процесс, и если он сходится, то во-первых, найти его сумму. Во многих

124

практических задачах принципиальное значение имеет ответ на первый вопрос. Поэтому мы уделим основное внимание вопросу установления признаков сходимости рядов.

Рассмотрим необходимое условие сходимости ряда.

Теорема 4. Если ряд (4.2) сходится, то его общий член an

стремится к нулю.

Доказательство. Пусть ряд (4.2) сходится и lim Sn S .

при n 1 получим

Тогда имеем также lim

Sn 1

S . Так как an Sn Sn 1,

lim

lim Sn Sn 1 lim

Sn lim Sn 1 S S 0.

Что и требовалось доказать.

Следствие 1. Если n й член стремится к нулю, еще не следует, что ряд сходится,

ряд может и расходиться.

Пример 8. Ряд

расходится, так как

3n 1

lim

n 3n 1

При вычислении предела воспользовались тем, что lim 1 0.

n n

Подчеркнем, что рассматриваемый признак является только необходимым, но не явля-

ется достаточным, т.е. из того, что член стремится к нулю, еще не следует, что ряд расхо-

дится, ряд может и расходиться. Примером такого ряда может служить гармонический ряд (4.5). Он расходится, хотя

1 n

n 1

lim

an lim

0. Чтобы доказать это, напомним, что

e, т.е.

e .

n n

(4.17)

Логарифмируя неравенство (4.17) по основанию e, получим

n 1

ln l ,или

nln

n 1

Отсюда

n 1

,или

ln n 1 ln n

(4.18)

Подставим в (4.18) поочередноn 1,2,3,...,n 1,n.

Получаем неравенства:

ln 2 1,ln 3 ln 2

,ln 4 ln3

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

ln n ln n 1

,ln n 1 ln n

n 1

Сложив почленно эти неравенства, получаем

125


ln n 1 1				1			1			1	1	, т.е. частичная сумма гармонического ряда
										n 1	n
	1		1		2	3		1
Sn 1									ln n 1 . Поскольку				lim ln n 1 , получаем	lim Sn , следова-
								n
2		3											n	n

тельно, гармонический ряд расходится.

§2. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами

Без доказательства сформулируем признаки сравнения. Теорема 1. Пусть даны два ряда с неотрицательными членами:


an a1 a2 an , an 0.	(4.19)
n 1

bn b1 b2 bn , bn 0.	(4.20)

n 1

Если bn an для любого n, то из сходимости ряда (4.19)следует сходимость ряда (4.20)

и сумма ряда (4.20) не превосходит сумму ряда (4.19); из расходимости ряда (4.20) следует расходимость ряда (4.19).

Замечание 1. Утверждение теоремы остается в силе, если существует натуральное N такое, что для любого n N выполняется неравенство bn an .

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

1	1	1		1
					.

lg 2 lg3 lg n			n 2lg n

Решение. Сравним данный ряд с гармоническим.

Имеем ln n n, значит,								1				1		.
Имеем ln n n, значит,									lnn					.
									lnn			n				1	1		1			1
		Так как гармонический ряд														1	1		1			1	расходится, то и данный ряд расходит-
		Так как гармонический ряд																					расходится, то и данный ряд расходит-
ся.															2		3 4					n
ся.		Пример 2. Исследовать на сходимость ряд
		Пример 2. Исследовать на сходимость ряд
															1			1		1
												1			1			1		1					1	.
												1														.
															3 2		3 3			3 n				n 13 n						1		1
		Решение. Сравним данный ряд с гармоническим рядом. Имеем 3																											n, значит,				.
																												n
																												n		3
		Так как гармонический ряд расходится, то и данный ряд расходится.																												3	n	n

		Пример 3. Исследовать на сходимость ряд
										1					1		1				1						1
							1			1					1		1				1			1			1	.
							1						n 52				n 53							1				.
										n 5			n 52				n 53					n 5n				n 1n 5n
		Решение. Сравним данный ряд с рядом геометрической
		1				1					1
прогрессии 1												, который сходится. Имеем
прогрессии 1					5	52					5n	, который сходится. Имеем
1			1	.
	n 5n			.
	n 5n		5n

126

Следовательно, данный ряд сходится.

Теорема 2 (признак Даламбера). Пусть дан ряд (4.19) с положительными членами. До-

пустим, что lim an 1 существует и n an

lim	an 1	.	(4.21)

n an

Тогда:

1)если 1, то ряд (4.19) сходится;

2)если 1, то ряд (4.19) расходится.

Доказательство. 1) Пусть 1, в этом случае существует такая точка q на числовой оси 0x, что q 1 . Тогда, начиная с некоторого номера N , при n N , все члены последо-

вательности an 1 будут находиться в окрестности 0;q , т.е. для всех n N имеем an

an 1 q 1. an

Значит, для n N , N 1, N 2,... получаем неравенства

			aN 1 qaN ,
				2aN ,
			aN 2 qaN 1 q	2aN ,

			aN 3 qaN 2 q2aN 1 q3aN,


				qKaN,
			aN K qaN K 1	qKaN,


Так как 0 q 1, ряд из членов бесконечно геометрической прогрессии
aN aNq aNq2 сходится; следовательно, по замечанию 1 и ряд (4.19) сходится.
2) Пусть 1, т.е.	lim	an 1	1. Тогда, начиная с некоторого N ,		an 1	1 при n N , т.е. при
		an 1

	n an				an

n N , an 1 an an 1 aN .

Отсюда следует, что lim an 0.

Это противоречит необходимому признаку сходимости рядов. Таким образом, ряд (4.19) расходится, что и требовалось доказать.

Замечание 2. Если 1, то ряд (4.19) может быть как сходящимся, так и расходящимся (см. приведенные ниже примеры 4 и 5). В этом случае для решения вопроса о сходимости ряда необходимы дополнительные исследования.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Имеем

n 1

2n 1

3 5

2n 1

3n 1 2n 1

n 1

3n 1

lim

n an

2 n 1 1 2n 1

3n 2n 1

127

	6		1		1
	6							6
			n			n2		6
lim										1.
lim				3				6		1.
n		6		3
n		6		n
				n
	Следовательно, признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости данного ряда.
Но так как							3n						3			3
lim a		lim					3n		lim				3			3	0, т.е. не выполняется необходимое условие сходимо-
lim a		lim							lim								0, т.е. не выполняется необходимое условие сходимо-
n		n					2n 1			n			1		2
n		n					2n 1			n			1		2
												2
												2		n
														n
сти ряда, значит, предложенный ряд расходится.
	Пример 5. Исследовать на сходимость ряд
															1				1	1					1
															1				1	1					1
																				42				n 2 2
													n 1 n 2 2					32		42				n 2 2
	Решение. Для данного ряда получаем																										n 2 2
											a		n 1					1		1							n 2 2
										lim			n 1		lim						:				lim
										lim					lim			2			:				lim	2
										n an								2					2			2
										n an					n			n 3				n 2			n n 3

lim n2 4n 4 lim 1 n n2 1. n n2 6n 9 n 1 6 9

Следовательно, признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Срав-

ним данный ряд с рядом

n 1

, который, как мы знаем (пример 3, §1), является

n n 2

1 3

2 4

3 5

n n 2

сходящимся. Имеем

n 2 2

n n 2 , т.е.

, отсюда по теореме 1 получаем сходимость исходного

n 2 2

n n 2

ряда

n 2 2

n 1 n 2 2

Пример 6. Исследовать на сходимость ряд

2n 1 !

Решение. Напомним,

n 1

2n 1 ! 2 1 1 2 2 1 2 3 1 2 n 1 1 2n 1

3 5 7 2n 1 2n 1 .

Имеем

2n 1 !

an 1

lim

;

lim

n an

2 n 1 1 !

2n 1 !

n 2n 3 !

lim

3 5 7 2n 1

lim

2n 1 !

2n 1 ! 2n 3

n 3 5 7 2n 1 2n 3

128

lim	1	0 1.

n 2n 3

Следовательно, по признаку Даламбера данный ряд сходится. Пример 7. Исследовать на сходимость ряд

5 52

Решение. Имеем

n 1 5n

n 1

n 1 n

lim

n an

n 5n 1

n n 5n 1

n n 5n

n 1

lim

Следовательно, по признаку Даламбера данный ряд сходится. Пример 8. Исследовать на сходимость ряд

8 6n

Решение. Имеем

n 18 6n

14 44

2n 1

8 6n

an 1

lim

n 1

8 6

n 1

n an

8 6

n 2

2 8 6

2 6n

lim

8 6 6

2 1

1, следовательно, по признаку Даламбера ряд сходится. При решении воспользова-

лись тем, что

lim

n 6n

Пример 9. Исследовать на сходимость ряд

2n 3 5 7 11

2n 3

n 1 n!

Решение. Имеем

1 2! 3!

2n 1

3 n!

n 1

2n 1 3

2n 3

lim

n an

n 1 !

n 2

3 n 1 !

lim

1 2 3 n n 1

lim

n! n 1

n 1

129

	2		3
lim	2		2n	lim	1	2	0 0 1, следовательно, по признаку Даламбера ряд сходится.
			2n		1	2
						1
n	3			n n 1		1
	1
	1	2n
		2n
	Пример 10. Исследовать на сходимость ряд

10 n20

10 220

10 320

10 n20

n 1

Решение. Имеем

n 1

5n 1

lim

n an

n 10 n 1

10 n 2

5n 1 10 n 2 20

5n 5 n 2 20

lim

10 n 2 20

n 5n

n 5n n 1

2 20

5 120

lim

5 lim

5 1, следовательно, по признаку Даламбера

ряд расходится.

Без доказательства сформулируем признак Коши, который целесообразно использовать,

когда a	является n ой	степенью некоторого выражения, например a	2n	, или

n		n	nn

n 1 n2 an .

Теорема 3 (признак Коши). Пусть ряд (4.19) с неотрицательными членами. Допустим,

что lim n an существует и n

lim n an .	(4.22)
n

Тогда:

1)если 1, то ряд (4.19) сходится;

2)если 1, то ряд (4.19) расходится;

3)если 1, то ряд (4.19) может быть как сходящийся, так и расходящийся (см. приведенные ниже примеры 14 и 15).

Пример 11. Исследовать на сходимость ряд

							n n	1	2		2	3		2				n n

								5
						3n 2		5	7			11				3n 2
					n 1
		Решение. Имеем

				n		n		n				1			1
	n an			n		n		n				1			1
lim			lim n				lim			lim						1	, следовательно, по признаку Ко-
lim			lim n				lim			lim			2		3	1	, следовательно, по признаку Ко-
n			n 3n 2				n 3n 2			n		3	2		3
ши ряд сходится.												3	n
													n

		Пример 12. Исследовать на сходимость ряд

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1813 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.11.20191.57 Mб7кратные интегр..doc
#
02.05.2015202.24 Кб5кредит.doc
#
02.05.20156.95 Mб253КСС 2013 - на рецензию.doc
#
17.12.2018113.57 Кб6Культурология,родненькая.docx
#
02.05.2015828.18 Кб20культурология.rtf
#
10.03.20166.64 Mб35Курс высшей математики.pdf
#
02.05.201514.85 Mб213Курс лекций по начерталке.doc
#
29.07.2019218.62 Кб4Курс моих лекций по психологии и пед.doc
#
26.11.2019229.89 Кб13курс. глина.doc
#
02.05.2015511.49 Кб19курсавик 1.doc
#
01.03.202547.12 Кб0курсач по метрологии.docx