Курс высшей математики

x2

2

m

2 x2

y2

y2

dxdy

2

2

2

2

2 r2 cos2 r2 sin

2

r2 cos2 r2 sin2

rdr

d

2

0

0

2 2

r

4

2 2

r

5

2

3

2

r

rdr

d

2

r

2

dr

d

2

0 0

0 0

2 2

12

2

2r4

2

1 r6

2

2r3dr

r5 dr

d

|

|

d

2

4

2

6

0

0

0

0 0

0

2

2 24

26

82

8

2

8

16

d

d

|

2

.

4

12

3

3

3

3

0

0

0

Пример 2. Вычислить объем тела, ограниченного

параболоидом z 6 x2 y2 и конусом z2

x2

y2.

Решение. Так как искомое тело (рис.

79) ограничено снизу конусом z

x2 y2

, а

z 6 x2

y2 ,

формулу (25.3) x, y

сверху параболоидом

то подставляя

в

x2 y2

,

x, y 6 x2 y2 , f x, y,z 1.

Получим

2

2

6 x2 y

2

6 x

y

V

dz

dxdy z|

x

2

y

2

dxdy

x

2

y

2

2

2

6 x

y

x

2

y

2

dxdy.

Полученный двойной интеграл вычисляем в полярной

системе координат. Область

V проецируется в область

плоскости x0y, ограниченную окружностью x2 y2 4.

Последнее уравнение получается как пересечение па-

раболоидаz 6 x2

y2

и конуса z2 x2 y2 .

Исключим

x2 y2

из уравнения конуса и подставим в уравнение пара-

болоида, получим: z 6 z2 ,

z2 z 6 0.

z1 3 и

Этому уравнению удовлетворяют значения

z2 2. Подставляя

z 2

в уравнение конуса

z2

x2 y2 ,

Рис.79

получаем искомое уравнение окружности x2 y2

22 , или

x2 y2

4.

В

полярной

системе

координат

уравнение

окружности

имеет

вид

rcos 2

rsin 2 4, r2 cos2 sin2 4,

r2 4,

r 2.

Значит в области меняется от 0 до

2 ,

r от 0 до 2.

Итак:

2 2

2

2

V

6 rcos

rsin

0 0

2

2

rcos

rsin

rdr d

2

2

2 2

6 r

r r dr

2

2

2

r

6 r

r dr d

d

0 0

0 0

2 2

2

2

2

6r2 2

r

4 2

r3

2

6 r dr r3 dr r2 dr d

|

|

|

d

2

3

0

0

0

0

4 0

0

0

0

2

3 22

24

23

162

16

2

32

d

d

|

.

4

3

3

3

3

0

0

0

Решение. Данное тело

ограничено снизу плоскостью

z o, сверху –

поверхностью

z y2,

т.е. имеем x, y 0,

x, y y2.

По формуле

(3.25) имеем

W dxdydz

V

y2

dz dxdy

0

Рис.80

z|y2 dxdy y2 dxdy

0

2x 3y 6 0, или

y

6 2x

;

поэтому

x

изменяется в пределах от 0 до 3, а y от 0 до

6 2x

3

y

.

3

Следовательно,

6 2x

3

3

3

6 2x

3

y

W y

2 dxdy

y2 dy

dx

|

dx

3

3

0

0

0

0

1

3

6 2x 3

1

1

1

3

dx

6 2x 3d 6 2x

3

3

2

27

0

3

0

1

6 2x 4

3

1

6 2 3 4

64

334

|

2.

162

4

4

4

162

0

162

z 0,

сверху – поверхностью

z x2 y2 , т.е.

имеем

x, y 0,

x, y 0. По

формуле (3.24)

имеем:

x2 y2

W

dz dxdy

0

Рис.81

,

Полученный двойной интеграл вычисляем по области

которая является проекцией данного тела на плоскость

x0y и ограничивается параболой y x2

и прямой y 1(см. рис. 39). Поэтому y изменяется от

y x2

до y 1,

а x в пределах от 1 до 1. Следовательно,

2

2

1

1

2

2

W x

y

dxdy

x

y

dy dx

1 x2

1

2y|1 2

y

3

|1

1

2

1 x2

1

x

6

x

3

dx

x

dx

x

3

x

3

3

1

1

1

2

4

1

x

3

1

2

1

4

1

1

x

x

dx

x

dx

x

dx

dx

3

3

3

1

1

1

1

1

1

x

3

|1

x

5

|1

1

|1

1

x

7

|1

x6dx

x

3

3

1

1

5 1

3

1

3 7

1

3

5

1 1 7

1

1

1

1

1

1

1 1

3

3

5

5

3

4

1

1

1

1

1

1

1

1

88

.

3

3

3

5

5

3

21

21

105