Курс высшей математики

1.19

D :

y x2;

3x 5y 26;

y 1.

Рис.68

1.20

D :

Рис.70

y x2;

y 4;

y 0;

x 6.

Рис.69

1.21

2.01

x y

dxdy, если область ограничена окружно-

2

2

x

y

окружностями x2 y2

2x

и x2 y2 4x .

dxdy

2.07

, если область часть круга x2 y

2

9,

25 x2 y2

в верхней полуплоскости.

2.09

x

dxdy , если область ограничена верхней

x2 y2

половиной дуги окружности x2 y2 2y и отрезком

оси 0x от точки с абсциссой, равной 0, до точки с

абсциссой, равной 2.

2.10

y

dxdy , если область ограничена

x2 y2

окружностью x2 y2 4x .

2.11

x2 y2

dxdy , если область ограничена

y

2.12

ex2 y2

dxdy, если область является сектором

окружности x2 y2 2, лежащим в первой четверти.

2.13

x2

4xy dxdy, если область ограничена дугой

окружности x2 y2 4 и прямыми y 0, y x и

лежит в первой четверти.

2.14

2x y

dxdy , если область ограничена окружностью

2

y

2

x

x2 y2

6x.

2.15

x2 y2

dxdy ; если область является частью

xy

кольца, ограниченного окружностями x2 y2 25, x2 y2

16

и прямыми x y,

x 0

y 0 .

x

4 2x

2 y2 y4

2.16

dxdy; если область является

x2 y2

сектором круга x2 y2 36, ограниченного прямыми

y

x

и y

1

x, расположенного в первой

3

3

четверти.

2.17

xy

dxdy ; если область ограничена

x2 y2

окружностью x2 y2 2x .

y

2.18

x

dxdy ; если область является половиной

2 y2

x

круга x2 y2 4x , лежащей в четвертой четверти.

2.19

x4

2x2 y2 y2 dxdy; если область является

сектором круга x2 y2 9, ограниченного линиями

y

x и y

x

, лежащим во второй четверти.

3

3

2.20

16 x2 y2

dxdy; если область половина круга

x2 y2

4x , лежащего в четвертой четверти.

окружностью x2 y2 4y 0.

2.22

x

x2 y2

dxdy; если область половина круга

y

x2 y2 2y, лежащая в первой четверти.

y

2.23

dxdy; если область половина круга

x

x2 y2

x2 y2 4y 0, лежащая во второй четверти.

2.24

x y dxdy; если область часть окружности

x2 y2 2x 0, лежащая во второй четверти.

2.25

y

dxdy; если область является кольцом,

x

2

y

2

бираем по одной точке Pi i

, i, i и вычисляем в ней значение плотности

i, i, i . Тогда

масса элементарного объема

Vi приближенно будет равна i, i, i

Vi. Для массы, заклю-

ченной во всем объеме V , получим приближение

m i, i, i

Vi.

(3.19)

i

Как и в предыдущих случаях, можно принять

i, i, i Vi,

m lim

(3.20)

0 i

где наибольший из диаметров элементарных областей

Vi при данном разбиении.

Выражение вида (3.20) возникает при решении других задач. В связи с этим даются сле-

дующие определения.

Пусть функция f x, y,z определена в некоторой пространственной ограниченной замк-

Sn f ( i, i, i) Vi

(3.21)

Определение. Выражение (3.21) называется интегральной суммой

для функции

f x, y,z в области V .

Vi при данном

Обозначим через наибольший из диаметров элементарных областей

разбиении.

Определение. Если существует предел

S lim

f i, i, i Vi ,

(3.22)

0 i

и выбора точек Pi i , i , i ,

который не зависит от способа деления области V на части

Vi

то этот предел называется тройным интегралом от функции по области V и обозначается

f x, y,z dV , или f x,y,z dxdydz .

V

V

Здесь f x, y,z называется подынтегральной функцией;

V областью интегрирования;

x, y и z переменными интегрирования;

dV (или dxdydz) элементом объема.

Таким образом, по определению

f x,y,z dxdydz lim f i, i, i Vi .

(23.3)

V

0 i

Функция f x, y,z называется интегрируемой в области V . Всякая непрерывная в огра-

ниченной замкнутой области V функция

f (x, y,z) интегрируема в ней. В дальнейшем мы ог-

пусть проекцией области V на плоскость 0xy

является область (рис. 77). Пусть, далее,

функция x,y,z

выражает плотность в точке x, y,z .

Для некоторой точки x, y области выделим материальный

отрезок от точки x;y; x, y

до точки x; y; x, y и вычис-

лим массу m x, y , спроецированную на этом отрезке по фор-

муле

x,y

m x, y

x,y,z dz.

x,y

Рис.77

x,y

x, y,z dz

m m x, y dxdy

dxdy .

x,y

С другой стороны, было доказано:

m lim

i, i, i dVi x,y,z dxdydz .

0 i

V

x,y

f x,y,z dz

f x,y,z dxdydz

dxdy. (3.24)

V

x,y

Тройной интеграл (3.24) от произвольной функции

f x, y,z по области V можно ин-

x,y

W

dz

(3.25)

dxdydz

dxdy.

V

x,y

Пример1. Вычислить массу параболоида x2 y2 2z, ограниченного

плоскостью

z 2

(рис.78), если плотность распределения массы задана функцией x, y,z x2

y2.

Так

как область V ограничена снизу плоскостью

z

x2 y2

, а сверху плоскостью z 2, то x, y

x2 y2

,

2

2

Рис.78

x, y 2.

Следовательно,

2

x

2 y2

2

m

y2

x2

dz dxdy

dz dxdy

x2 y2

x2

y

2

2

2

x2

2

2

2

2

2

2

x2 y2

2

2

y2

x

y

z

|

dxdy

x

y

dxdy

2 x

y

dxdy

2

2

x y

2

2

2

2

.

Полученный двойной интеграл вычислим в полярной системе координат. Область V

проецируется в область плоскости

x0y,

ограниченную окружностью

x2 y2

4. Послед-

нее уравнение получено в результате исключения z

из уравнения плоскости

z 2 и парабо-

лоида 2z x2 y2.

В

полярной

системе

координат уравнение

окружности

имеет вид

rcos 2

zsin 2

4;

r2 cos2 sin2 4;

r2 4;

r 2. Значит в области

меняется

от 0 до 2 ,

r от 0 до 2.

Итак,