Курс высшей математики

f x; y dxdy

d

b

f x; y dx .

dy

(3.12)

c

a

Следует заметить, что если область не является простой областью, то ее разбивают на

конечное число простых областей 1, 2 , …, n

и при вычислении двойного интеграла по

области используют третье свойство двойного интеграла.

x

Пример 1. Вычислить двойной интеграл

dxdy ,

y

если

область

ограничена

параболами

y x2

и

x y2

(рис.40).

Решение. Область ( см. рис.40) – простая (вида 1).

Она ограничена снизу кривой

x x2, сверху –

кривой

x y2 , т.е.

y

или x x2 (перед радикалом ставим

x

только знак “+”, так как область находится в I квадранте,

Рис.40

где y 0);

при любом фиксированном значении

x

из от-

резка

0;1

y

меняется от

y x2

до

y

.

Поэтому по

x

формуле (3.9) при f x; y

x

имеем

y

1

1

1

1

x

x

x

x

dxdy

x

dy

dx

x

1

dy

dx

xln y

|

dx x ln

ln x2 dx

x

y

y

y

x2

0

0 x2

0 x2

0

1

1

1

3

3 1

3

1

1

1 1

dx

x

ln x 2ln x

dx x

ln xdx

xln xdx

x2 ln x |

x2

0

2

0

2

2

0

2

2

0

2

0

x

3

1

1 1

3

1

x2 1

3 1 3

1 ln1

xdx

|

.

Замечание Интеграл

xln xdx взят ме-

2

2

2

0

2

2 2

0

4 2 8

x меняется от x 0, до

x 2 sin y. Поэтому по формуле (3.11) имеем:

x

2 2 sin y

x

2

x

2 2 siny

2

2

dxdy

dx dy

|

dy

2 sin y

dy

2

2

4

0

0

0

0

4

0

2 4 4sin y sin

2 y

2

1 cos2y

dy

1 sin y

dy

4

4 2

0

0

2

1

cos2y

92

2

12

1

sin y

dy

dy sin ydy

cos2ydy

8

8

0

8

8

0

0

0

9

y|2

cosy|2

1

sin t|4

9

2 0 cos2 cos0

8

0

0

16

0

8

1

sin 4 sin 0

9

2 1 1

1

0 0

9

.

8

4

16

2

16

Замечание.Интеграл

cos2ydy

взят методом подстановки t 2y, тогда

dt 2dy или

1

0

dy

dt. При изменении y от 0 до

2

t меняется от 0 до 4 . Следовательно,

2

2

4

1

cos2ydy

cost dt.

0

2

0

1

1

1

x

4

|1

1

x

5

|1

1

1

1

1

1

1

x3dx

x4dx

.

4

20

0

2

0

0

4

5

0

4

4

5

4

5

ограниченной прямой y x и параболой

Пример 4.

Вычислить

массу пластинки,

y x2

(рис.43), если плотность распределения массы выражается функцией (x, y) x 2y.

Решение.

Область

интегрирования

ограничена

снизу

кривой x x2, сверху –

кривой x x, спроецировав,

на

ось

0x, получим

отрезок 0;1 . Следовательно,

0 x 1. По формуле (3.8) при

f x;y x;y x 2y

имеем:

1 x

1 x

x

m

x 2y dxdy

x

2y dy dx x dy 2

ydy

Рис.43

0 x2

0 x2

x2

1

x

y2

x

1

2

xy|

x

2

2

|

x

2

dx

x x x2

x2

x2

dx

2

0

0

1

1

1

1

x2 x3 x2 x4 dx 2 x2dx x3dx x4dx

0

x3

x3

x5

0

0

0

2

|1

|1

|1

2

1

1

2

.

3

0

3

0

5

0

3

3

5

15

v v u,v

(3.13)

x x u,v ,

(3.14)

тогда каждой точке M x,y

y y u,v ,

из области будет взаимно однозначно соответствовать пара чи-

f x,y dxdy f x u,v ,y u,v

J u,v

dudv,

(3.15)

где - область изменения криволинейных координат

u и v, отвечающая области , а

J u,v преобразования (3.14):

x

x

x

y

x

y

J u,v u

v

.

y

y

u v

v u

x rcos ,

(3.16)

y rsin .

y к полярным

Система (3.16) осуществляет переход от прямоугольных координат x и

0

0

где r r полярное уравнение кривой, ограничивающее область (рис.46).

Формулы (3.17) и (3.18) очень удобно использовать при решении задач, когда область

есть круг или сектор круга.

Пример 1. Вычислить двойной интеграл

1 x2 y2 dxdy , если область ограничена окружностью x2 y2

1 (рис.47).

rcos 2 rsin 2 1,

или

r2 cos2 r2sin2 1

(см.

2 1

1 x

2

2

dxdy

2

2

y

rdr

1 rcos

rsin

d

0 0

2 1

2 1

1 r

1