lab 1
.docПрактичне заняття 1.Основи кореляційно-регресійного аналізу
Теоретичні відомості
Кореляційно-регресійним аналізом називають сукупність математичних методів, за допомогою яких досліджують взаємозв’язки кореляційно залежних змінних.
Завдання кореляційно-регресійного аналізу:
-
Встановлення причинно-наслідкового зв’язку між досліджуваними економічними змінними
-
Визначення типу і форми зв’язку між досліджуваними економічними змінними
-
Вибір методів оцінювання невідомих параметрів моделі та побудова моделі
-
Оцінювання сили кореляційного зв’язку між змінними
-
Перевірка моделі на точність
-
Вибір «найкращої» моделі (узгодженість з теорією, простота, однозначність, максимальна адекватність, прогнозні якості)
-
Аналіз результатів моделювання, їхня економічна інтерпретація та практичне використання.
Парною лінійною регресією Y на X називається одностороння стохастична залежність між випадковими величинами показника Y і фактора Х, які знаходяться у причинно-наслідкових відносинах, причому зміна фактора викликає пропорціональну хміну показника
Методи регресійного аналізу забезпечують побудову якісних та адекватних прогнозних моделей.
Метод натягнутої нитки
|
i |
x |
y |
|
1 |
1 |
5 |
|
2 |
3 |
8 |
|
3 |
4 |
10 |
|
4 |
7 |
9 |
|
5 |
9 |
15 |
|
6 |
10 |
14 |
|
7 |
12 |
18 |
|
хпр |
15 |
|
Виберемо дві точки: A (2,6) і B (12,18)
Через точки проводимо пряму
Для знаходження рівняння y=ax+b прямої АВ, де A (xA,yA) і B (xB,yB) необхідно записати її канонічне рівняння у вигляді
і перетворити його до вигляду y=ax+b
Для нашого прикладу маємо:
Шукане рівняння регресії за методом натягнутої нитки:
Обчислимо прогнозне значення: xпр=15; yпр =1.2·15+3.6=21.6
Метод сум
Для знаходження регресії за методом сум вибірку статистичних даних, що має n пар значень (xi;yi), поділяють на дві приблизно рівні частини. Нехай перша вибірка містить k значень, тоді друга – (n-k) значень.
Параметри регресії a і b знаходять із системи:
|
i |
x |
y |
|
1 |
1 |
5 |
|
2 |
3 |
8 |
|
3 |
4 |
10 |
|
4 |
7 |
9 |
|
5 |
9 |
15 |
|
6 |
10 |
14 |
|
7 |
12 |
18 |
|
хпр |
15 |
|
Нехай для нашого прикладу k=4. Тоді, n-k=7-4=3.
Маємо систему:
Розв'язавши систему, отримуємо: a=1.16 , b=3.63
Шукане рівняння регресії за методом сум:
Обчислимо прогнозне значення: xпр=15; yпр =1.16·15+3.63=21.10
Метод найменших квадратів
За методом найменших квадратів параметри регресії a і b знаходять за формулами:
Для обчислення сум, що входять до формул, потрібно розрахувати додаткові стовпці в таблиці початкових статистичних даних.
|
i |
x |
y |
x·y |
x2 |
|
1 |
1 |
5 |
5 |
1 |
|
2 |
3 |
8 |
24 |
9 |
|
3 |
4 |
10 |
40 |
16 |
|
4 |
7 |
9 |
63 |
49 |
|
5 |
9 |
15 |
135 |
81 |
|
6 |
10 |
14 |
140 |
100 |
|
7 |
12 |
18 |
216 |
144 |
|
Σ |
46 |
79 |
623 |
400 |
Шукане рівняння регресії за методом найменших квадратів:
Обчислимо прогнозне значення: xпр=15; yпр =1.063·15+4.301=20.244
Маємо наступні регресійні моделі:
Метод натягнутої нитки: y=1.2x+3.6
Метод сум: y=1.16x+3.63
Метод найменших квадратів: y=1.063x+4.301
Завдання до практичного заняття:
Завдання 1. На основі статистичних даних побудувати економіко-математичну модель залежності показника Y від фактору Х. Для обчислення коефіцієнтів моделі використати: а) метод натягнутої нитки б) метод сум; в). метод найменших квадратів
Завдання 2. Обчислити прогнозне значення показника для заданого значення фактору.
Завдання 3.Побудувати в одній системі координат графік статистичних даних та регресійних прямих, отриманих різними методами.
Варіанти
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант |
|
1 |
|
Варіант |
|
2 |
|
Варіант |
|
3 |
|
№ |
x |
y |
|
№ |
x |
y |
|
№ |
x |
y |
|
1 |
1 |
32 |
|
1 |
2 |
14 |
|
1 |
3 |
14 |
|
2 |
1,5 |
33 |
|
2 |
2,25 |
15 |
|
2 |
3,5 |
15 |
|
3 |
2 |
33 |
|
3 |
2,5 |
15 |
|
3 |
4 |
14 |
|
4 |
2,5 |
36 |
|
4 |
2,75 |
19 |
|
4 |
4,5 |
17 |
|
5 |
3 |
34 |
|
5 |
3 |
17 |
|
5 |
5 |
20 |
|
6 |
3,5 |
35 |
|
6 |
3,25 |
21 |
|
6 |
5,5 |
22 |
|
7 |
4 |
41 |
|
7 |
3,5 |
20 |
|
7 |
6 |
24 |
|
8 |
4,5 |
42 |
|
8 |
3,75 |
22 |
|
8 |
6,5 |
25 |
|
9 |
5 |
40 |
|
9 |
4 |
23 |
|
9 |
7 |
24 |
|
10 |
5,5 |
45 |
|
10 |
4,25 |
26 |
|
10 |
7,5 |
25 |
|
xпр |
9 |
? |
|
xпр |
7 |
? |
|
xпр |
11 |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант |
|
4 |
|
Варіант |
|
5 |
|
Варіант |
|
6 |
|
№ |
x |
y |
|
№ |
x |
y |
|
№ |
x |
y |
|
1 |
4 |
13 |
|
1 |
5 |
56 |
|
1 |
6 |
65 |
|
2 |
4,25 |
13 |
|
2 |
5,1 |
56 |
|
2 |
6,3 |
69 |
|
3 |
4,5 |
14 |
|
3 |
5,2 |
58 |
|
3 |
6,5 |
72 |
|
4 |
4,75 |
13 |
|
4 |
5,3 |
57 |
|
4 |
6,8 |
73 |
|
5 |
5 |
13 |
|
5 |
5,4 |
58 |
|
5 |
7 |
75 |
|
6 |
5,25 |
14 |
|
6 |
5,5 |
59 |
|
6 |
7,3 |
78 |
|
7 |
5,5 |
14 |
|
7 |
5,6 |
62 |
|
7 |
7,5 |
81 |
|
8 |
5,75 |
16 |
|
8 |
5,7 |
62 |
|
8 |
7,8 |
85 |
|
9 |
6 |
16 |
|
9 |
5,8 |
64 |
|
9 |
8 |
85 |
|
10 |
6,25 |
17 |
|
10 |
5,9 |
66 |
|
10 |
8,3 |
90 |
|
xпр |
9 |
? |
|
xпр |
7 |
? |
|
xпр |
10 |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант |
|
7 |
|
Варіант |
|
8 |
|
Варіант |
|
9 |
|
№ |
x |
y |
|
№ |
x |
y |
|
№ |
x |
y |
|
1 |
7 |
70 |
|
1 |
8 |
22 |
|
1 |
11 |
34 |
|
2 |
7,5 |
69 |
|
2 |
8,1 |
25 |
|
2 |
11,5 |
28 |
|
3 |
8 |
70 |
|
3 |
8,2 |
28 |
|
3 |
12 |
35 |
|
4 |
8,5 |
78 |
|
4 |
8,3 |
25 |
|
4 |
12,25 |
37 |
|
5 |
9 |
79 |
|
5 |
8,4 |
28 |
|
5 |
12,5 |
53 |
|
6 |
9,5 |
83 |
|
6 |
8,5 |
31 |
|
6 |
12,75 |
51 |
|
7 |
10 |
89 |
|
7 |
8,6 |
36 |
|
7 |
13,2 |
65 |
|
8 |
10,5 |
93 |
|
8 |
8,7 |
37 |
|
8 |
13,4 |
69 |
|
9 |
11 |
98 |
|
9 |
8,8 |
32 |
|
9 |
13,8 |
72 |
|
10 |
11,5 |
97 |
|
10 |
8,9 |
39 |
|
10 |
13,9 |
80 |
|
xпр |
15 |
? |
|
xпр |
10 |
? |
|
xпр |
15 |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант |
|
10 |
|
Варіант |
|
11 |
|
Варіант |
|
12 |
|
№ |
x |
y |
|
№ |
x |
y |
|
№ |
x |
y |
|
1 |
10 |
31 |
|
1 |
11 |
34 |
|
1 |
12 |
14 |
|
2 |
10,5 |
33 |
|
2 |
11,3 |
28 |
|
2 |
13 |
20 |
|
3 |
11 |
40 |
|
3 |
11,5 |
35 |
|
3 |
13,5 |
21 |
|
4 |
11,5 |
43 |
|
4 |
11,8 |
37 |
|
4 |
14 |
24 |
|
5 |
12 |
50 |
|
5 |
12 |
53 |
|
5 |
14,5 |
34 |
|
6 |
12,5 |
56 |
|
6 |
12,3 |
51 |
|
6 |
15 |
34 |
|
7 |
13 |
64 |
|
7 |
12,5 |
65 |
|
7 |
15,5 |
41 |
|
8 |
13,5 |
71 |
|
8 |
12,8 |
69 |
|
8 |
16 |
59 |
|
9 |
14 |
76 |
|
9 |
13 |
72 |
|
9 |
16,5 |
52 |
|
10 |
14,5 |
76 |
|
10 |
13,3 |
80 |
|
10 |
17 |
65 |
|
xпр |
18 |
? |
|
xпр |
15 |
? |
|
xпр |
20 |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант |
|
13 |
|
Варіант |
|
14 |
|
Варіант |
|
15 |
|
№ |
x |
y |
|
№ |
x |
y |
|
№ |
x |
y |
|
1 |
13 |
10 |
|
1 |
14 |
40 |
|
1 |
15,2 |
9 |
|
2 |
13,5 |
15 |
|
2 |
14,3 |
37 |
|
2 |
15,5 |
9,5 |
|
3 |
14 |
26 |
|
3 |
14,5 |
48 |
|
3 |
16 |
24 |
|
4 |
14,5 |
34 |
|
4 |
14,8 |
50 |
|
4 |
16,25 |
15 |
|
5 |
15 |
31 |
|
5 |
15 |
55 |
|
5 |
16,5 |
22 |
|
6 |
15,5 |
37 |
|
6 |
15,3 |
61 |
|
6 |
16,75 |
39 |
|
7 |
16 |
53 |
|
7 |
15,5 |
74 |
|
7 |
17 |
31 |
|
8 |
16,5 |
61 |
|
8 |
15,8 |
75 |
|
8 |
17,25 |
43 |
|
9 |
17 |
62 |
|
9 |
16 |
73 |
|
9 |
17,5 |
43,5 |
|
10 |
17,5 |
63 |
|
10 |
16,3 |
87 |
|
10 |
17,75 |
51 |
|
xпр |
21 |
? |
|
xпр |
18 |
? |
|
xпр |
19 |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|