Тема 5. Вероятность появления хотя бы одного события Перечень понятий темы

Вероятность появления хотя бы одного события.

Определения понятий темы

Теорема.Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁, А₂, … А_{n ,} независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противополжных событий А₁, А₂, … А_n

Вычисление вероятности появления хотя бы одного события осуществляется по формуле: Р (А) = 1 - Р (А₁А₂· … · А_n),

Если вероятность появления события А₁, А₂, … А_nравны, то формулу можно записать: __

Р (А) = 1 - Рⁿ (А).

__ __

Обозначим Р (А) = 1 - Р (А) = q, тогда Р (А) = 1 -qⁿ

Для решения стандартной задачи используется алгоритм предыдущей темы.

Стандартная задача 1

3 стрелка попадают в мишень соответственно с вероятностями 0,9; 0,8; 0,7. Какова вероятность того, что при одном выстреле хотя бы один из них попадёт в мишень?

1.Условия задачи

а)А - событие, что попадёт 1-ый стрелок, В - событие, что попадёт 2-ой. С - событие, что попадёт 3-й стрелок.

б)Событие Д - попадание в мишень хотя бы одним стрелком

Противоположным этому событию будет событие, что ни один стрелок не попадёт в цель. __ _ _ _

Д = А · В · С

в)События А, В, С - независимые.

г)Р (А) = 0,9, Р (В) = 0,8, Р (С) = 0,7.

д)Найти вероятность того, что хотя бы один стрелок попадёт в цель Р (Д) - ?

2.Решение

Р (Д) = 1 - Р (Д)

_ _ _ _ _ _ _

Р (Д) = 1 - Р (А). Р (В). Р (С), т.к. Д = А · В · С

_ __

Р (А) = 1 - Р (А) = 1 - 0,9 = 0,1, т.к. Р (А) + Р (А) = 1

_

Р (В) = 1 - Р (В) = 1 - 0,8 = 0,2

_

Р (С) = 1 - Р (С) = 1 - 0,7 = 0,3

Р (Д) = 1 - 0,1 · 0,2 · 0,3 = 1 - 0,006 = 0,994

3.Ответ. Вероятность того. что хотя бы один стрелок попадёт в цель, равна 0,994.

Стандартная задача 2

Вероятность хотя бы одного попадания в цель при 4 независимых выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания при одном выстреле.

1.Условие задачи

а)А₁- событие, заключающееся в том, что стрелок при 1 выстреле попадёт в цель; А₂- что при втором, А₃- что при третьем, А₄- что при четвертом.

б)А событие, что произойдёт хотя бы одно попадание в цель.

в)А₁, А₂, А₃, А₄- независимы по условию задачи.

г)Вероятность хотя бы одного попадания в цель Р (А) = 0,9984.

д)Найти вероятность попадания при одном выстреле

Р (А₁) = Р (А₂) = Р (А₃) = Р (А₄) = Р - ?

2.Решение задачи

а)Вероятность хотя бы одного попадания в цель определяется по формуле

__

Р (А) = 1 - qⁿq= Р (А)

Из этой формулы находим q- вероятность одного не попадания в цель стрелком

qⁿ= 1 - Р (А)

_n________

q= √ 1 - Р (А) ,n= 4, т.к. было 4-е выстрела

₄__________

q= √ 1 - 0,9984

₄______

q= √ 0,0016 = 0,2

Тогда вероятность одного попадания в цель Р = 1 - q= 1 - 0,2 = 0,8.

3.Ответ: Вероятность попадания стрелком в цель при одном выстреле равна 0,8, если вероятность хотя бы одного попадания при 4-х выстрелах равна 0,9984.