Тема 3. Алгебра случайных событий

Перечень понятий темы

Сумма случайных событий. Произведение случайных событий. Вероятность суммы случайных событий.

Определения понятий темы

Суммойсобытия А и В называется новое событие, заключающееся в наступлении события А или В. Обозначается А + В.

Например: А – событие: завтра будет дождь; В - событие: завтра будет снег. А + В - событие: завтра будет снег или дождь.

Произведениемсобытий А и В называется новое событие, заключающееся в наступлении событий А и В. Обозначается А · В.

Например: А – событие: студент опоздал на занятие. В – событие: студент получил неудовлетворительную оценку. А · В – событие: студент опоздал на занятие и получил неудовлетворительную оценку.

Эти определения справедливы для любого конечного числа событий.

Сумма противоположных событий есть достоверное событие, а их произведение есть событие невозможное.

Например. Событие А - при подбрасывании монеты выпадает герб. Событие В - при подбрасывании монеты выпадет цифра. Сумма А + В - событие, что выпадет герб или цифра, это достоверное событие. Произведение А · В - событие, что выпадет герб и цифра при данном подбрасывании, это невозможное событие. Произведение несовместных событий есть событие невозможное.

Например. Событие А - при подбрасывании игральной кости выпало 6 очков. Событие В - при подбрасывании игральной кости выпало 5 очков. Произведение: А · В - событие, что при одном подбрасывании игральной кости выпало 6 и 5 очков. Это событие невозможное.

Теорема.Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

Это утверждение справедливо для любого конечного числа случайных событий.

События несовместные и единственно- возможные для данного испытания образуют полную группу по отношению к этому испытанию.

Если события А, В, С, …Д - образуют полную группу для данного испытания, то

Р (А) + Р (В) + Р (С) + … + Р (Д) = 1

Алгоритм решения стандартной задачи

1.Условие задачи

а)Определить элементарные случайные события по условию задачи.

б)Определить сумму элементарных случайных событий по вопросу задачи.

в)Обосновать несовместимость элементарных случайных событий.

г)Записать число благоприятствующих исходов и число всех исходов для каждого элементарного случайного события.

д)По вопросу задачи определить неизвестную величину.

2.Решение

а)Записать формулу, вытекающую из теоремы о вероятности суммы.

б)Осуществить расчёт по этой формуле.

3.Сформулировать полный ответ задачи.

Стандартная задача

В коробке находятся 5 чёрных, 10 белых и 3 красных шара. Наудачу достаём один шар. Какова вероятность, что шар будет белый или красный?

1.Условие задачи

а)А - событие, что шар чёрный. В - событие, что шар белый; С - событие, что шар красный.

б)В + С - это событие, что шар будет белый или красный.

в)Все три события несовместны, т.к. например, если мы случайно достаём красный шар, то он не может быть одновременно чёрным или белым.

г)Для события А: число благоприятствующих исходовm₁ = 5, для В: число благоприятствующих исходовm₂ = 10, для С: число благоприятствующих исходовm₃= 3. Общее число исходов для всех трёх событийn= 18.

д)Найти вероятность события, что шар будет белый или красный: Р (В + С) - ?

2.Решение_m₁_ _m₃_

а)Р (В + С) = Р (В) + Р (С) =n+n

_10_ _3_ _13_

б)Р (В + С) = 18 + 18 = 18 = 0,72.

3.Ответ: Вероятность случайного события, что шар, наудачу взятый из коробки будет белый или красный, будет равна 0,72 или 72 %.