Тема 12. Нормальный закон распределения Перечень понятий темы

Нормальный закон распределения. Вероятность попадания нормально – распределенной случайной величины на заданный интервал. Вероятность отклонения постоянной вероятности нормально – распределенной случайной величины от ее математического ожидания. Правило трех сигм.

Определения понятий темы

Непрерывная случайная величина называется нормально – распределенной, если ее плотность вероятности определяется:

_ _1__ - ^_(x-a)2_

f (x) = δ√ 2π ∙ e ^2(σ)2

Если функция распределена по нормальному закону, то вероятность попадания случайной величины в заданный интервал будет определятся по следующей формуле:

_β _β-a_ _α-a_

Р (α < x < β) = ∫_α f (x) dx = Φ ( σ ) - Φ ( σ )

В частности, вероятность того, что отклонение величины X от его математического ожидания,а по абсолютной величине будет меньшеε, равна

_ε_

Р ( [ x - а] < ε) = Р (а – ε < x < а + ε) = 2Ф ( σ ).

Полагая ε = 3σ, получим

Р ( [ x- а ] < 3σ) = 2Ф (3) = 0,9973, т.е. такое отклонение является почти достоверным, то значит, что 99,7 % значений случайной величины попадает в интервал от

а- 3σ до а + 3σ (правило трех сигм).

Алгоритм решения стандартной задачи

1.Условие задачи

а)Из текста задачи определить случайную величину.

б)Обосновать, что она распределена по нормальному закону.

в)Записать значения математического ожидания М (x), дисперсии Д (x) и среднего квадратического отклонения σ (x) и границы рассматриваемого интервала (α, β).

г)Определить неизвестную величину по вопросу задачи.

2.Решение задачи

а)Формула_β-а_ _α-а_

Р (α < x < β) = Ф ( σ ) - Ф ( σ )

б)Значения Ф (x) – находим по таблице интегральной функции Лапласа.

(см. Приложение 2, стр. 31).

3.Ответ задачи

а)Указать значение полученной вероятности для случайной величины.

б)Удовлетворяет ли эта величина реальным условиям задачи?

Стандартная задача

Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание М (x) = 5; Д (x) = 0,64.

Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение в интервале

(4, 7).

1. Условие задачи

а) X – случайная величина

б) X распределена по нормальном___у закону по условию задачи.

в) М (x) = 5, Д (x) = 0,64, σ (x) = √ 0,64 = 0,8, α = 4, β = 7.

г) Определить вероятность того, что в результате испытания X примет значение в интервале (4; 7).

Р (4 < x < 7) -?

3. Решение задачи _β-а__α-а_

а) Р (α < x < β) = Ф ( σ ) – Ф ( σ )

_7-5_ _4-5_

Р (4 < x < 7) = Ф ( 0,8 ) - Ф ( 0,8 ) = Ф (2,5) – Ф (-1,25) = Ф (2,5) + Ф (1,25) =

= 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.

3. Ответ задачи

а) Р (4 < x < 7) ≈ 0,89

б) Вероятность попадания случайной величины X, имеющей математическое ожидание М (x) = 5 в интервал (4; 7) равна 0,89, этот ответ удовлетворяет реальным условиям задачи, т.к. действительно большая часть значений случайной величины группируется около среднего значения М (x) = 5.