Тема 11. Дискретная случайная величина Перечень понятий темы

Случайная величина. Дискретная случайная величина. Закон распределения. Ряд распределения. Математическое ожидание. Свойства математического ожидания. Дисперсия. Свойства дисперсии. Среднее квадратическое отклонение.

Определения понятий темы

Случайной величинойназывают переменную величину, принимающую такие числовые значения, которые зависят от результатов некоторого испытания.

Случайная величина, значения которой можно занумеровать числами 1, 2, 3 … называется дискретной. Случайные величины, не обладающие этим свойством, называются непрерывными.

Законом распределенияслучайной величины называется функция, которая каждому значению случайной величины ставит в соответствие вероятность, с которой это значение может появиться.

Закон распределения дискретной величины задается в виде таблицы, в первой строке которой указываются возможные значения случайной величины, а во второй соответствующие им вероятности

x │ x₁ │ x₂ │ … │ x_n n

∑ _{i =1} Pi = 1.

p │ p₁ │ p₂ │ … │ p_n

Математическим ожиданиемдискретной случайной величиныXназывается сумма произведений всех ее значений на их вероятности:

M (x) = x₁P₁ + x₂P₂ + … + x_nP_n

Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины. Оно обладает следующими свойствами:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

М (С) = С.

2.Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

М (x₁ +x₂ + … + x_n) = M (x₁) + M (x₂) + … + M (x_n)

3. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей

M (x₁ · x₂ … x_n) = M (x₁) · M (x₂) … M (x_n)

Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание от квадрата отклонения значений величины от ее математического ожидания.

Д (x) = M (/ X – M (x) / ² )

Ее можно вычислить по формуле: Д (x) = M (x²) – M²(x).

Дисперсия характеризует степень рассеяния возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания. Она обладает следующими свойствами:

1. Дисперсия постоянной величины С равна 0; Д (С) = 0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат Д (С · x) = С²Д (x)

3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых Д (x₁+ x₂ + … + x_n) = Д (x₁) + Д (x₂) + … Д (x_n).

Величина, равная корню квадратному из дисперсии, называется средним квадратическим отклонением.σ(x) = √ Д(x)

Алгоритм решения стандартной задачи

1.Условие задачи

а)По тексту задачи определить дискретную случайную величину.

б)Записать ее значения.

в)Записать вероятности появления значений случайной величины.

г)Записать ряд распределения случайной величины

x │ x₁ │ x₂ │ … │x_n

p │ p₁ │ p₂ │ … │p_n

д)Определить по вопросу задачи искомую величину М (x), Д (x), σ(x).

2.Решение задачи.

а)Записать формулу для нахождения математического ожидания

M (x) = x₁p₁ + x_2p2 + … +x_np_n,

Для нахождения дисперсии: Д (x) = M (x²) – M²(x), где М (x²) = x₁²p₁ + x₂²p₂ + … + x²_nP_n

Для нахождения средного квадратичного отклонения

_____

σ(x) = √ Д (x)

б) Произвести вычисления по формулам.

3.Ответ задачи

а)Чему равна искомая величина?

б)Соответствует ли ответ реальным условиям задачи?