Тема 8. Повторные испытания Перечень понятий темы

Повторные испытания, Формула Бернулли. Число сочетаний из nэлементов поmэлементов,n! - факториал.

Определения понятий темы

Повторным испытанием называются многократные независимые события, в каждом из которых событие А имеет одну и ту же вероятность появления. Вероятность того, что событие А при nиспытаниях появится ровноmраз вычисляется по формуле Бернулли:

Рn(m) = C^m_n · p^m · q^n-m, где q = 1 - p

____n!_______

C^m_n = m! · (n – m)! n! = 1, 2, 3 … n

Свойства формулы Бернулли:

1. Вероятность появления события А при nиспытаниях ровноnраз равно:

Pn (n) = pn

2. Вероятность появления события А при nиспытаниях ровно 0 раз равна:

Рn (0) = qn

3. Вероятность появления события А при nиспытаниях не менееmраз определяется по формуле:

Pn (m ≤ n) = Pn (m) + Pn (m + 1) + … + Pn (n).

4. Вероятность появления события А при nиспытаниях не более m раз определяется по формуле:

Pn (m′ ≤ m) = Pn (0) + Pn (1) + … + Pn (m).

Алгоритм решения стандартной задачи

1. Условие задачи

а) По тексту задачи определить элементарное случайное событие (А).

б)Если дана вероятность появления события в одном испытании, то записать её. Записать число благоприятствующих исходов испытания для данного события (m) и число всех исходов испытания (n). _m_

в)Найти вероятность появления события в одном испытании Р =n, если она не дана по условию.

г)Найти вероятность непоявления события А в одном испытанииq= 1 -p.

д)Обосновать, что данные испытания удовлетворяют условиям теоремы Бернулли.

е)По вопросу задачи определить неизвестную величинуPn(m)

2.Решение задачи

а)Записать формулу Бернулли для повторных испытаний

Pn(m) = C^m_n · p^m · q^n-m

б)Осуществить расчёт по этой формуле.

3.Ответ задачи

а)Сформулировать полный ответ задачи.

Стандартная задача

В семье планируется иметь 5 детей. Найти вероятность того, что среди детей будет 2 мальчика, если вероятность рождения мальчика принимается равной 0,5.

1.Условие задачи

а)А - событие, заключающееся в том, что в семье родится мальчик.

б)Дана вероятность рождения мальчика р = 0,5

в)Вероятность не появления события А; это рождение девочкиq= 1 -p= 1 - 0,5

г)Испытания независимы, их всего 5 (n= 5). Вероятность появления события А и вероятность непоявления в каждом испытании постоянны. Следовательно, они удовлетворяют условиям теоремы Бернулли.

д)Найти вероятность того, что среди 5 детей будет 2 мальчика Р₅(2) - ?

2.Решение задачи

___n!______

а)Pn(m) = C^m_n · p^m · q^n-m, C^m_n = m! · (n-m)!

__5!___

б) Р₅(2) = С²₅ · 0,5² · 0,5³ = 2! · 3! · 0,5⁵ = 10 · 0,5⁵ = 0,31

3.Ответ задачи: Вероятность того, что в семье, имеющей пять детей, будет 2 мальчика, равно 0,31.