Тема 7. Формула полной вероятности Перечень понятий темы

Формула полной вероятности. Формула Бейеса.

Определения понятий темы

События, образующие полную группу, принято называть гипотезами.

Теорема. Если событие А может наступить лишь при появлении одной из гипотез, то вероятность А равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А.

Р (А) = Р (А₁) · Р_А1(А) + Р (А₂) · Р_А2(А) + … + Р(А_n) · Р_Аn(А)

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Если событие А уже произошло, то вероятность того, что произошло оно совместно с гипотезой Ai(i= 1, 2…) вычисляется по формуле Бейеса:

Р_А(Аi) = Р(Аi) · Р_Аi(А) / Р (А)

Алгоритм решения стандартной задачи

1.Условие задачи

а)По тексту задачи определить элементарные случайные события, являющиеся гипотезами для основного события (А₁, А₂… А_n)

б)Обосновать, что эти события образуют полную группу.

в)Записать число благоприятствующих исходов испытания и число всех исходов испытания для каждого элементарного события (гипотезы). Если даны вероятности элементарных событий, то записать их.

г)По вопросу задачи определить основное случайное событие (А).

д)Обосновать зависимость события А от гипотез.

е)Записать, если даны, условные вероятности события А, по событиям А1, А2 … Аn. Если эти вероятности не даны, то записать число благоприятствующих исходов и число всех исходов для всех условных вероятностей события А, по событиям

А₁ А₂, …, А_n: (Р_А1(А), Р_А2(А), … Р_Аn(А)).

ж)По вопросу задачи определить искомую величину

2.Решение задачи

а)Записать формулу полной вероятности.

б)Осуществить расчёт по этой формуле.

3.Сформулировать полный ответ задачи.

Стандартная задача

На склад поступили изделия из двух цехов: 60 % из первого и 40 % из второго. Среди изделий первого цеха брак составляет 0,05 %, второго 0,2 %. Найти вероятность того, что взятое из склада изделие окажется годным.

1.Условия задачи

а)А₁ - изделие принадлежит 1-му цеху.

А₂ - изделие 2-го цеха.

б)Эти события образуют полную группу, т.к. они единственно-возможные и несовместимые для данного испытания.

в)Т.к. поступило на склад 60 % изделий из первого цеха, то вероятность, что изделие принадлежит 1-му цеху

_60 %_

Р (А₁) = 100 % = 0,6

Аналогично _40 %_

Р (А₂) = 100 % = 0,4.

г)А - событие, что взятое из склада изделие окажется годным.

д)Событие А может произойти только одновременно с событиями А₁ или А_2, т.к. годная деталь может принадлежать только 1-му или 2-му цехам.

е)Т.к. бракованных деталей у первого цеха 0,05 %, то не бракованных 100 % - 0,05 % = 99,95 %, тогда вероятность того, что годная деталь изготовлена в первом цехе, будет равна:

_99,95 %_

Р_А1(А) = 100 % = 0,9995

Аналогично для второго цеха процент годных деталей составит

100 % - 0,2 % = 99,8 %, а вероятность того, что годная деталь изготовлена во втором цехе

_99,8 %_

Р_А2(А) = 100 % = 0,998

ж)Найти вероятность того, что наудачу выбранное изделие будет годным:

Р (А) - ?

2.Решение задачи:

а)Т.к. условие задачи удовлетворяет теореме о полной вероятности, то используем формулу полной вероятности.

Р (А) = Р (А₁) · Р_А1(А) + Р (А₂) · Р_А2(А)

б)Р (А) = 0,6 · 0,9995 + 0,4 · 0,998 = 0,5997 + 0,3992 = 0.9989.

3.Ответ: Вероятность того, что взятое из склада изделие окажется годным равна Р (А) 0,9989.