Скалярное произведение векторов.

Определение. Скалярным произведением векторов иназывается число (которое обозначается), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е.

.

Из первого пункта предыдущей теоремы сразу следует, что

.

Так как соs 0 = 1. то =||². Следовательно,

,

где выражение =² называется скалярным квадратом вектора .

Теорема. Скалярное произведение двух векторов обладает следующими свойствами:

1) =(коммутативность);

2) λ () = (λ),λR;

8

Заметим, что характерной чертой уравнения рассматриваемых цилиндрических поверхностей, является отсутствие в этих уравнениях одной из переменных.

Конические поверхности

Определение. Конической поверхностью называется множество прямых (образующих), проходящих через некоторую точку (вершину) и пересекающих некоторую линию (направляющую).

Коническая ПВП— коническая поверхность с направляющей, являющейся КВП.

65

поверхности параллельны оси OZ, а направляющая лежит в плоскости OXY и задается уравнением:

F(x,у) =0

Если взять произвольную точку M(z,y,z) на цилиндрической поверхности, то ее проекция на плоскость OXY есть точка M₁(х₁,у₁,0). Так как точки M и М₁ лежат на образующей, то х₁=х, у₁=у. А так как точка М₁ лежит на направляющей, то координаты точки М₁, а, значит, и точки M, удовлетворяют уравнению F(x,у)=0.

Итак, уравнению удовлетворяют координаты любой точки

цилиндрической поверхности. Следовательно, уравнение

F(x,у)=0

– искомое уравнение цилиндрической поверхности.

Если в прямоугольной системе координат OXYZ направляющая является кривой второго порядка, задаваемой каноническим уравнением вида F(x,у)=0, а образующие параллельны оси OZ, то цилиндрическими поверхностями второго порядка будут:

1. х²+y²=z² — прямой круговой цилиндр;

2) - эллиптический цилиндр;

3) -гиперболический цилиндр;

4) у²=2рх -параболический цилиндр.

64

3)(+) =+(дистрибутивность).

Из определения следует, что

.

Tеорема (необходимое и достаточное условие ортогональности двух векторов). Два ненулевых вектора взаимно перпендикулярны (ортогональны) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Векторное произведение двух векторов.

Определение. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов ,,называетсяправой, если при приведении их к общему началу поворот от вектора к векторупо кратчайшему пути виден с конца векторапротив часовой стрелки. Если же такой поворот осуществляется по часовой строже, то вектора,,образуютлевую тройку векторов.

1) 2)

Определение. Векторным произведением двух векторов иназывается вектор, обозначаемыйи удовлетворяющий следующим условиям:

1) ||=||||sin(^,);

9

2) ,;

3) векторы ,,образуют правую тройку векторов.

Свойства векторного произведения.

1) (Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов) векторы иколлинеарны тогда и только тогда, когда=.

2) (геометрический смысл векторного произведения) число || равно площади параллелограмма, построенного на неколлинеарных вектораха и b, приведенных к общему началу.

3)= –, (антикоммутативность).

4) (λ)=λ (),

5)  (λ)=λ ().

6) (+)=+(дистрибутивность).

7)  (-)=+(дистрибутивность).