Архив WinRAR_1 / trahtengerts5

510Часть 3.Примеры применения компьютерных систем …

Сучетом сказанного модель оптимизации и согласования проектных решений может быть представлена следующим образом

[12.10]:

1, j-йвидработназначается наi-йвидобъекта; xij 0, впротивномслучае.

Здесь также как в (12.1)-(12.5) [ahij] – количество ресурсов h-го типа, требуемых для реализации j-го проекта на i-м объекте; Ah – количество h-го вида, имеющегося в компании. Знак ~ означает неточное достижение оптимизируемого критерия и неточного выполнения ресурсного ограничения, ΔAh – допустимое превышение ресурса h-го вида. Матрица же эффективности [сlij] является трехмерной и определяет эффективность применения j-го проекта к i-му объекту по мнению l-эксперта;

Так же как для (12.1)-(12.5) вопрос получения исходных данных задачи (сlij, ahij, Ah, ΔAh) представляет собой отдельную проблему, включающую проведение экспертного опроса, построение базовых шкал оценок эффективности экспертами, расчет оценок эффективности, формирование матриц затрат и др., рассмотренных в предыдущих главах.

Оптимальным решением задачи (12.28)÷(12.31) будем считать такое решение X*, которое согласовано по Парето между экспертами [12.6] и является оптимизирующим по Беллману-Заде [12.7, 12.2].

За основу алгоритма поиска решения берется нечеткий метод «ветвей и границ», рассмотренный в разделе 12.3.А для решения задачи выбора вариантов проектов в постановке с одним экспертом.

Глава12. Компьютерная поддержка выбора проектных решений 511

Поиск оптимального, в данном случае, решения X* состоит в следующем. На первом шаге (i'=1) все множество решений разбивается на подмножества по выбираемому для первого объекта проекту. То есть к первому подмножеству относятся все решения, в которых X11=1 (X1i=0, i≠1). Выбор между этими подмножествами осуществляется по максимизируемым оценкам эффективности решений (их функциям принадлежности) в этом подмножестве и оценкам выполнения ограничений (функциям принадлежности левых частей ресурсных ограничений), гарантирующих наличие допустимых решений в подмножестве.

На следующем шаге (i'=2) ветвлению подвергается выбранное на предыдущем шаге подмножество по выбираемому проекту для второго объекта, и т.д.

Таким образом, за i'=1,2,…n шагов оказываются определенными все значения [Xij].

Помня о том, что в решении задачи присутствуют величины [сlij] данные каждым экспертом, рассчитываются значения левых частей ресурсных ограничений и максимальное (для максимизируемого критерия) значение критерия для каждого эксперта:

После чего рассчитываются соответствующие функции принадлежности по критерию:

Глава12. Компьютерная поддержка выбора проектных решений 513

это множество состоит из одной альтернативы, то она выбирается как лучшая и согласованная.

Если нет, то для выбора наилучшей альтернативы из полученного множества пересечения снова применяется принцип БеллманаЗаде. Для каждой альтернативы из множества пересечения находится минимальное значение из функций принадлежности оценок критериев для всех экспертов и функций принадлежности степеней выполнения ограничений:

и альтернатива, для которой эта оценка будет максимальной, будет оптимальной для всех экспертов:

После определения наилучшего согласованного направления ветвления j** (определения положения 1 в строке матрицы решения [Xij]) переходим к следующему шагу (объекту) и повторяем все изложенные выше процедуры. Перебрав таким образом все объекты, находим наилучшее согласованное решение.

Здесь отметим, что могут быть случаи, когда матрица затрат ресурсов [ahij] является четырехмерной, то есть у каждого эксперта она

– «своя». В этом случае рассуждения, проделанные относительно определения оптимального решения сохраняются, однако в матрице [ahij], также как для матрицы [сlij] появляется индекс l-номер эксперта, соответственно, все выражения для функций принадлежности по ресурсным ограничениям и операций с ними имеют этот индекс.

Рассмотрим пример.

Пусть, имеется три объекта (месторождения), для освоения которых могут быть применены три проекта. Пусть так же критерий оптимальности освоения месторождений этими методами, используя базовые шкалы в баллах, оценили три эксперта следующим образом:

Затраты на разработку (в баллах) образуют одно ресурсное ограничение.

A=5. Степень нарушения ресурсного ограничения A=7.

Шаг1. Все множество решений делим на подмножества G1(1), G2(1), G3(1), в каждое из которых входят решения с одинаковым выбором проекта для первого объекта. Подмножество G1(1) состоит из решений, в которых для первого объекта выбирается первый проект, G2(1) - из решений, в которых для первого объекта выбран второй проект и. т.д. По выражениям (12.33)-(12.34) рассчитываем оценки по критериям и левым частям ограничений для каждого подмножества.

Проведем вычисления для первого эксперта.

По выражениям (12.34)-(12.35) вычислим функции принадлежности оценок и запишем их в таблицу 12.8.

Таблица 12.8

Глава12. Компьютерная поддержка выбора проектных решений 515

В нижнюю строку таблицы внесены минимальные функций принадлежности критерия ( 11) и ограничения ( 1) для каждого

подмножества. Наибольшее из минимальных значений, выделенное

жирным шрифтом, соответствует третьему подмножеству ветвления G3(1), это означает, что оно является оптимальной для первого экс-

перта.

Аналогично по выражениям (12.34)-(12.35) получаем оценки для второго и третьего эксперта экспертов (табл. 12.9, 12.10).

Таблица 12.9

Для них так же третье подмножество решений G3(1) является оптимальным. Так как оптимальное подмножество решений совпало для всех экспертов оно и выбирается для дальнейшего ветвления. Так как в третьем подмножестве находятся все решения, для которых x13=1 (x11=0, x12=0), то все решения этого подмножества можно записать в виде:

Шаг 2. Множество G3(1) подвергается делению на подмножества G1(2), G2(2), G3(2). Проведя описанные выше вычисления по выражени-

516 Часть 3.Примеры применения компьютерных систем …

ям (12.33)-(12.34), запишем оценки функций принадлежности в табл. 12.11-12.13.

Оптимальное подмножество решений для первого эксперта G2(2), а для второго и третьего G1(2) (им соответствуют максимальные значения в строчках минимальных оценок в табл. 12.11-12.13). Так как оптимальные подмножества ветвления не совпали для всех экспертов, для поиска согласованного подмножества определим какие из них относятся к паретовским множествам первого ранга для каждого эксперта.

Для первого эксперта паретовское множество первого ранга включает в себя все подмножества D(2)1 = (G1(2) G2(2) G3(2)), так как нет

ни одного подмножества, значения функций принадлежности которого по критерию и ограничению были бы лучше чем соответствующие значения любого другого подмножества. Для второго эксперта

Глава12. Компьютерная поддержка выбора проектных решений 517

также D(2)2 = (G1(2) G2(2) G3(2)). Для третьего эксперта третья альтернатива заведомо хуже остальных, и следовательно к паретовскому

множеству первого ранга относятся первая и вторая альтернативы D(2)3 = (G1(2) G2(2)). Пересечение паретовских множеств первого ранга всех экспертов так же будет состоять из первой и второй альтернати-

вы E(2)=D(2)1 D(2)2 D(2)3). Для определения оптимальной среди них используется принцип Беллмана-Заде, сравнивающий подмножества

решений, входящие в множество пересечения E(2) по значениям функций принадлежности критериев для всех экспертов и значений функции принадлежности выполнения ресурсного ограничения. Определяем минимальные значения функций принадлежности, соответствующие каждой альтернативе (табл. 12.14).

Максимальное из минимальных значений min2 (выделенное

жирным шрифтом) соответствует первой альтернативе, которая является оптимальной по согласованному мнению группы экспертов. Следовательно, выбираем первое подмножество решений G1(2) для дальнейшего ветвления. Таким образом, для второго месторождения выбирается первый метод освоения. А все решения выбранного подмножества имеют вид:

Шаг 3. На этом шаге подмножество G1(2) делится на три подмножества G1(3) G2(3) G3(3), каждое из которых состоит из одного ре-

шения, отличающихся друг от друга выбором метода освоения третьего месторождения.

По формулам (12.33)-(12.34) рассчитываем значения функция принадлежности оценок критерия и ограничений для первого эксперта (табл. 12.15).

Первое подмножество ветвления G1(3) является недопустимым так как 13=0.0. Это означает, что единственное решение, входящее

в это подмножество G1(3) является недопустимым с точки зрения выполнения ресурсных ограничений. Для оставшихся экспертов рассчитываем оценки второго и третьего подмножества ветвления

(табл.12.16, 12.17).

Таблица 12.16

Таблица 12.17

Глава12. Компьютерная поддержка выбора проектных решений 519

Максимальное значение в строках min1 , min2 и min3 соответ-

ствуют первому подмножеству ветвления G3(3), которое таким образом является оптимальным с точки зрения всех экспертов. Единственное решение, входящее в это подмножество, и будет окончательным решением задачи:

Полученное решение является допустимым. Величина 3=1

(значение функции принадлежности по ограничению для полученного решения) показывает, что ограничение не было нарушено.

Предложенный алгоритм, основанный на принципе БеллманаЗаде, гарантирует наличие решения, причем это решение является оптимальным.

В общем виде степень согласованности экспертов на каждом шаге (i) определяется как:

( xij(i) 1). То есть величина i является худшим по экспертам зна-

чением функции принадлежности критерия для выбранного варианта. Степень согласованности всего решения определяется как минимальное значение степени согласованности шагов поиска решения

( mini i ).

Руководителем заранее определяется, при каких значениях i выбор будет считаться согласованным. Для этого выбирается пороговое значение *. Если i *. Если на каком-то шаге выбор мето-

да освоения оказывается не согласованным или i * , необходимо

провести сближение позиций экспертов на данном шаге. Эксперты должны изменить оценки эффективности различных методов освоения, имея на руках результаты неудовлетворительного согласования. Затем снова вычисляется решение. По методу Дельфы [12.11] (см.