Архив WinRAR_1 / trahtengerts5

Глава12. Компьютерная поддержка выбора проектных решений 491

Так же как в предыдущей модели здесь знак означает, что неравенство может нарушиться, или другими словами имеет место не-

четкое его выполнение; знак означает приближенное, нечеткое достижение критерием своего оптимального значения.

1 – если после i-го месторождения в эксплуатацию вводится j-е,

xij =

0 – в противном случае.

QЗ – заданный уровень добычи нефти;

Qij – уровень добычи нефти, обеспечиваемый совместной эксплуатацией i –го и j-го месторождений;

aijh aih ahj – расход ресурсов h-го вида требуемый, для i и j –

го месторождений;

Ah – ресурс h–го вида имеющийся в системе.

Таким образом, видим, что данная задача также как и предыдущая сводится к решению задачи о назначениях (выбору вариантов проектов), которая имеет, однако ту особенность, что она является задачей нечеткого математического программирования. Рассмотрим теперь методы решения таких задач.

12.4. Алгоритмы решения задач нечеткого математического программирования

А. Обобщенная модель выбора вариантов проектов

Поставленные в предыдущем разделе задачи оптимизации стратегического планирования, а также и многие математические модели задач оптимизации текущего планирования принадлежат к классу распределительных задач нечеткой дискретной оптимизации с булевыми переменными. К ним относятся: планирование геофизических исследований скважин (ГИС), техническое обслуживание и ремонт различных технологических объектов, оптимизация выбора стратегий их проведения, выбора оптимальных комплексов ГИС, расчет равновесных цен на проведение ГИС, распределения ГИС и ТОР по плановым периодам, а также другие задачи оптимизации выбора вариантов проектов, в том числе: распределение капиталовложений в производственно-техническое обслуживание, распределение трудовых ресурсов промысловых и геофизических предприятий [12.7] и

многие др. В общем виде они могут быть записаны в виде следующей (аналогичной задачам (12.1)-(12.5), (12.6)-(12.10)) оптимизационной задачи:

где:

1 - если j-й вид работ (вариант разработки месторождения xij = комплекс ГИС, ТОР и др.) назначается на i-й вид объектов,

0 - в противном случае,

aijh – количество ресурсов h-го типа, необходимое для проведения j-го вида работ на i-ом виде объектов;

Ah – количество ресурса h-го типа, (время работы МТР, ремонтных бригад, стоимость работ и т.п.), имеющееся в системе (например, нефтегазодобывающем управлении, экспедиции, компрессорной станции и др.);

Cij – обобщенная (комплексная) эффективность применения j-го вида работ на i-ом виде объектов.

Известно, что «четкий» вариант задачи (12.11)-(12.15) хорошо решается методом «ветвей и границ» или с помощью L-алгоритма предложенного в [12.8]. При этом лишь некоторое исключение представляет собой задача распределения ГИС и ТОР по плановым периодам, имеющая в своем составе отличный от (12.11) вид критерия оптимальности, особенность которого состоит в том, что заранее, до начала решения задачи невозможно иметь значения Cij (они вычисляются в ходе решения задачи) [12.7].

Однако, для всех перечисленных в начале этого раздела задач общими характерными моментами является то, что 1) правые части ресурсных ограничений представляют собой некоторые средние зна-

Глава12. Компьютерная поддержка выбора проектных решений 495

где: Qh* – максимально допустимое значение левой части ограниче-

ния (12.2);

Qh(Xl) – значение левой части ограничения (12.2), вычисленное при Xl – альтернативе.

Качество получаемого решения, т.е. степень достижения критерием оптимальности (12.11) своего экстремального значения, будет в общем случае характеризоваться функцией принадлежности вида:

для минимизируемого критерия, а также экспоненциальной, гиперболической или обратной гиперболической.

Введя таким образом понятие решения задачи X1 и его функции принадлежности, нечеткое и максимизирующее решение задачи определяется посредством применения операции Белмана-Заде к каждой альтернативе X1 на всем множестве альтернатив X, т.е.:

где l=1,2,3…L и L – общее число альтернатив, определяемое числом решений задачи, удовлетворяющим ограничениям (12.3)-(12.4).

Для максимизирующего (четкого) решения:

где Xl * – четкое максимизирующее решение.

B. Алгоритм метода «ветвей и границ» для задачи нечеткой оптимизации выбора вариантов проектов

Для решения задачи (12.11)-(12.15) со структурными ограничениями вида 1), 2) и 3) методом «ветвей и границ» будем реализовывать для нечеткой оптимизации схему ветвления, осуществляемую

путем фиксации переменных xij = 1 в очередной строке матрицы решения задачи [xij]. В случае четкой оптимизации множество решений задачи разбивается на несколько подмножеств G = UGk, в каждом из которых одна из переменных (например, x11) принимает одно и тоже

значение в [xij] Gk. Если в задаче фиксировать значение x11=1, то в соответствии с xij 1 все остальные переменные xi1 из первого

столбца матрицы переменных [xij] автоматически приравниваются к 0. Поэтому в рассматриваемой задаче в качестве шага ветвления можно рассматривать выбор в очередном столбце переменной xij, которой присваивается значение 1.

Шаг ветвления, таким образом, состоит в выборе, очередного объекта i. Набор зафиксированных переменных X1 ={x11,…,x1n,…,xk1,…,xkn}, подчиняющихся ограничению (12.3), есть частичный план задачи (12.11)-(12.15). Соответствующее этому набору подмножество разбиения Gk = G1(k) состоит, очевидно, из всех предложений частичного плана путем выбора проектов для оставшихся объектов i=1,…,n. Нижней границей целевой функции на таком подмножестве служит величина:

Здесь первая сумма включает в себя все слагаемые из выражения для целевой функции cijxij max, которые отвечают уже зафик-

сированным значениям переменных, т.е. проектам, выбранным для объектов i=1,…,k. Вторая сумма дает минимальное приращение критерия при выборе проектов для оставшихся объектов i=1,…,n (даже если этот выбор делается без учета выполнения ресурсных ограниче-

ний (12.12)).

В силу наложенных ресурсных ограничений не всякое сочетание xij = 1 допустимо, т.е. некоторые из подмножеств разбиения могут оказаться пустыми.

Таким образом, конкретный план в этой задаче, при принятой схеме ветвления, может быть указан только после фиксации всех пе- ременныхТеперьx,ij.для задачи (12.11)-(12.15), придерживаясь описанной схемы ветвления, на каждом шаге работы алгоритма для критерия

Глава12. Компьютерная поддержка выбора проектных решений 497

оптимальности после вычисления его нижней (верхней) границы для нечеткой рассматриваемой задачи оптимизации будем для него вы-

числять значение функции принадлежности F(G1k). Для каждого же из ресурсных ограничений, с учетом зафиксированных xij = 1, будем вычислять в начале значение левой части этих ограничений, а затем

и соответствующее значение функции принадлежности Qk(G1k). При этом, по аналогии с вычислением нижней границы целевой функции по выражению (12.24), оценку левой части ограничения будем проводить по выражению:

где h=1,2,…,h* – номер ресурсного ограничения. Вычисление (G1k) по выражению (12.25) основано на том соображении, что если

(G1k)>Ah при min aijh, то оно (ограничение) тем более не будет вы-

полняться при других значениях aijh. Таким образом, вычисление (G1k) дает возможность оценить наличие допустимых решений в подмножестве G1k. Если в подмножестве G1k допустимых решений

нет, то есть хотя бы одна из Qk=0, то в дальнейшем это подмножество ветвлению не подвергается. Если же допустимые решения имеются, то для каждого из подмножеств G1k, используя принцип Беллма- на-Заде, выполняется:

Затем, сравнивая D(G1k) по всем возможным направлениям ветвлений, выбирают то, которое имеет максимальное значениеD(G1k). После этого, снова проводят соответствующее ветвление, вычисляя Qk(G1k), F(G1k), D(G1k), и т.д. После того как будет произведен перебор всех строк матриц [cij] и [aijh], алгоритм заканчивает свою работу, а в матрице решений [xij] единицы будут стоять на тех местах, которые определят оптимальное решение в смысле операции (принципа) Беллмана-Заде.

Здесь необходимо указать на то, что при описанных выше методах генерации и отборе вариантов решений одновременно с генерацией происходит и их оценка на основе принципа Беллмана-Заде. Таким образом, два процесса: собственно генерация и оценка вари-

анта оказываются неразрывно связанными, хотя, конечно, алгоритм или критерии оценки определяются заранее.

Рассмотрим теперь пример, поясняющий работу этого алгорит-

ма.

Пусть необходимо решить задачу (12.11) – (12.15) с матрицами:

Приэтом, A1= 33, A1= 5; A2= 19, A2= 3.

Для оценки функций принадлежности будем использовать вы-

ражения (12.25) для F, и (12.26) для Qh. Тогда описанный выше метод "ветвей и границ" для нечеткой оптимизации для данной задачи реализуется следующим образом:

Шаг 1.

Вычисляем оценку нижней границы критерия,

F(G) = 2+13+8+8 = 31,

что соответствует набору x12, x22, x31, x42, то есть сумме минимальных строк элементов матрицы [cij]

Шаг 2.

Все множество решений подвергается ветвлению, G = G41 U G42. Для G41 принимается x11= 1, x12= 0.

Оценка F (G1)= 6+13+8+8 = 35; F(G1) = 0.64

Проверяем, есть ли в множестве G1 хотя бы одно допустимое решение. Для этого вычислим значение левых частей ограничений с минимальными значениями элементов в строках матриц [aijh] с учетом зафиксированного элемента x11= 1.

Получим:

Глава12. Компьютерная поддержка выбора проектных решений 499

Соответственно D(G2) = 0.67.

Поскольку D(G1)> D(G2) производим дальнейшее ветвление G2.

Шаг 3.

G2 = G21UG22.

Рассмотрим подмножество решений G21, где x12=1 и x21=1, а остальные xIJ являются минимальными элементами матрицы [cij] для оценки нижней границы критерия и [aijh] для определения хотя бы одного допустимого решения.

Следовательно, ветвлению подвергается подмножество G22.

Шаг 4.

G22= G221 U G222.

Рассмотрим G221, фиксируются x12=1, x22=1, x31=1.

D(G221) = 0 - нет допустимых решений. Для G222, фиксируются x12=1, x22=1, x32=1.

G222 = G2221UG2222.

Рассмотрим G2221, фиксируются x12=1, x22=1, x32=1, x41=1.