Векторлық кеңістіктің аксиомалары. Векторлар жүйесінің сызықты тәуелділігі мен тәуелсіздігі. Сызықтық тәуелділіктің қасиеттері. 2

Векторлардыңвекторлықжәне аралас көбейтінділеріжәнеолардыңгеометриялықмағынасы. 5

Екінші ретті қисықтардың канондық теңдеулері. Эллипс пен гиперболаныңэксцентриситеттері мен директрисалары. 8

Жазықтықтағы түзудің теңдеулерінің түрлері. Нүктеден түзуге дейінгі арақашықтық. Жазықтықтағы екі түзудің арасындағы бұрыш. 6

Жазықтықтың теңдеулерінің түрлері. Нүктеден жазықтыққа дейінгі арақашықтық. Екі жазықтықтың арасындағы бұрыш. 7

Кері матрица. Матрицаның керіленукритерийі. 4

Комплекс санның алгебралық түрі, қолданылатын амалдар мен қасиеттері.Жазықтықта кескіндеу және тригонометриялық түрі. Муавр формуласы. Комплекс саннан n-дәрежелі түбір табу формуласы. 1

Көпмүшеліктердің бөлінгіштік қасиеттері. Көпмүшеліктердің ең үлкен ортақ бөлгіші. Ең үлкен ортақ бөлгішті табудың Евклид алгоритмі. 3

1. Комплекс санның алгебралық түрі, қолданылатын амалдар мен қасиеттері. Жазықтықта кескіндеу және тригонометриялық түрі. Муавр формуласы. Комплекс саннан n-дәрежелі түбір табу формуласы.

Комплекс сандар алгебралық теңдеулерді шешу негізінде пайда болды.

Комплекс сан деп z=a+bi түріндегі санды айтамыз, мұндағы a және b –нақты сандар, ал i –жорамал бірлік, i²=–1. a комплекс санның нақты бөлігі, b –оның жорамал бөлігі. Re(z)= a,Im(z) =b

- комплекс сандаржиыны. Әрбірнақтысандар комплекс сан депқабылдауғаболады, себебі, үшін.

Комплекс сандаржиынынақтысандаржиыныныңкеңеюі.

z=a+biжәне=a–biөзаратүйіндессандардепаталады.

z₁=a+biжәнеz₂=c+dicандарытең

Комплекс сандарыныңқосындысы комплекс сан болады.

Қосудыңқасиеттері:

"z₁,z₂,z₃Cүшін (z₁+z₂)+z₃=z₁+(z₂+z₃),

$0C, "zC ,z+0=0+z=z ,

"zC, $ –zC, z+(–z)=(–z)+z=0 ,

"z₁,z₂C; z₁+z₂=z₂+z₁ .

Комплександардыңкөбейтіндісі комплекс сан.

z=z₁×z₂=(a+bi)×(c+di)=(ac–bd)+(bc+ad)i.

Көбейтудің қасиеттері:

"z₁,z₂,z₃C (z₁×z₂)×z₃=z₁×(z₂×z₃) (ассоциативті),

$1C, "zC, z×1=1×z=z (1=1+0×i),

"zC, $ z^-1C, z×z^-1=z^-1×z=1 (z=a+biжәне z^-1=1/z=(a/(a²+b²))+((–b)/(a²+b²))i),

"z₁,z₂C, z₁×z₂=z₂×z₁ (коммутативті).

Қосуменкөбейтуамалдарыдистрибутивтілікзаңыменбайланысқан

.

Комплекс сандардыңбөліндісі комплекс сан,

Комплекс сандардыңгеометриялықмағынасыжәнетригонометриялықтүрі. Комплекс сандарды координат жазықтығыныңкөмегіменжазықтықтыңнүктелеріретіндеөрнектеугеболады. Ox - осініңбойына комплекс санныңнақтыбөлігін(a=a+0∙i), алOyосініңбойынаоныңжорамалбөлігінорналастырсақ (bi=0+bi) жазықтықтаәрбір комплекс сан z(a,b) нүктесітүріндеанықталады. тікбұрышты

ïzïr=ïzï=.

z=a+bi=r(cosφ+isinφ)- комплекссанныңтригонометриялықтүрі.

=r - комплекс санныңмодулі.

-комплекс санныңаргументі.

Тригонометриялықтүрдегі комплекс сандарғаамалдарқолдануөтежеңіл.

Айталық,

z₁=r₁(cosφ₁+isinφ₁),

z₂=r₂(cosφ₂+isinφ₂) болсын.

Онда

Егерболса, онда

Муавр формуласы

Комплекс саннанn^шідәрежелітүбір табу және 1 дентабылғантүбірлердіңтобы.

Айталық, а=r(cos+isin) комплекс саны берілсін. Онда жоғарыда қарастырылған көбейту амалының негізінде n- натурал саны үшін

яғни комплекс санды дәрежелегенде оның модулі сол дәрежеге шығарылады, ал аргументі сол дәреже көрсеткішіне көбейтіледі.

теңдігін пайдаланып, Муавр формуласын бүтін теріс сандар үшін де пайдалануға болады. a=a+bi комплекс санын оң бүтін n дәрежеге шығару үшін Ньютонның биномын пайдаланған орынды, тек

ескерсек жеткілікті.

Муавр формуласының дербес түрін қарастырайық.

cos n

Теңдіктің оң жақ бөлігіне Ньютонның биномды формуласын қолданайық.

Мұндағы

теңдігінің сол және оң жақ бөліктерін салыстырсақ,

теңдіктерін аламыз.

Сонымен, , мұндағы

-ға әртүрлі мәндер беру арқылы түбірдің әртүрлі мәндерін аламыз.

Қорытынды. Комплекс сандардан n - ші дәрежелі түбірді әрқашан табуға болады және оның әртүрлі n мәні болады.