математика

где L контур прямоугольника с вершинами A(3; 2), B(6; 2), C(6; 4),

D(3; 4).

Решение: Изобразим контур интегрирования ABCD.

Ðèñ. 26.

Поскольку

то по формуле Грина (19) имеем

применяя формулу (3) сведения двойного интеграла к повторному

Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования

Пусть A(x1; y1) è B(x2; y2) две произвольные точки односвязной области D плоскости Oxy (область D называется односвязной,

если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области, ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит D). Точки

A и B можно соединить различными линиями (на рис. 27 это L1, L2 è L3).

41

Ðèñ. 27.

R

По каждой из этих кривых интеграл I = P (x; y) dx + Q(x; y) dy

AB

имеет, вообще говоря, свое значение. Если же его значения по всевозможным кривым AB одинаковы, то говорят, что интеграл I не

зависит от пути интегрирования. В этом случае для интеграла I

достаточно отметить лишь его начальную точку A(x1; y1) è åãî êî-

(x2;y2)

Сформулируем условия, при которых криволинейный интеграл II рода не зависит от пути интегрирования.

Теорема 6 (Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования).

Если функции P (x; y) è Q(x; y) непрерывны вместе со своими частными производными в односвязной области D, то следующие условия эквивалентны:

R

1. I = P (x; y) dx + Q(x; y) dy не зависит от пути интегри-

AB

рования AB, а зависит лишь от начала (точки A) и конца (точки B).

H

42

4.

Замечания.

1.Функцию u = u(x; y), удовлетворяющую условию (20), можно найти, используя формулу

xy

ZZ

u(x; y) = P ( ; y0) d + Q(x0; ) d + c:

x0 y0

В качестве начальной точки (x0; y0) обычно берут начало координат (0; 0).

2.Подставив формулу (20) в криволинейный интеграл II рода общего вида, получим

(x2;y2)

= u(x; y) = u(x2; y2) u(x1; y1); ò. å.

(x1;y1)

(x2;y2)

Z

P (x; y) dx + Q(x; y) dy = u(x2; y2) u(x1; y1):

(x1;y1)

Данная формула называется обобщенной формулой Ньютона Лейбница для криволинейного интеграла от полного дифференциала.

ме 6 интеграл не зависит от пути интегрирования. В качестве пути интегрирования можно взять отрезок прямой y = x, дугу парабо- ëû y = x2 и т. д. Универсальным путем является ломаная, звенья

которой параллельны координатным осям. В нашем случае OAB с A(1; 0).

43

Ðèñ. 28.

Задачи.

1. Вычислить интеграл H 1 x2 y dx+x 1 + y2 dy вдоль окруж-

L

ности радиуса 1:

а) непосредственно; б) с помощью формулы Грина.

2. Вычислить R x2 + y2 dx+(x+y)2dy по контуру треугольника

C

ABC, ãäå A(1; 1), B(2; 2), C(1; 3):

а) непосредственно; б) с помощью формулы Грина.

3. Применить формулу Грина и вычислить интеграл

I

(2x + 3y) dx + (3x 4y) dy;

L

где L контур, состоящий из дуги параболы y = x2 и отрезка

(0; 0), (2; 4).

44

( ; )

Z

(x + y) dx + (x y) dy:

(0;0)

6. Вычислить интеграл от полного дифференциала

(3;4)

Z

(2x + 3y) dx + (3x 4y) dy:

(1;1)

Занятие 6

Геометрические и механические приложения криволинейных интегралов

Площадь плоской фигуры, расположенной в плоскости Oxy и ограниченной замкнутой линией L, можно найти по формуле

при этом кривая обходится против часовой стрелки. Также можно использовать формулы

II

Длина кривой L. Пусть надо вычислить длину дуги AB. Поло-

R

жим f(x; y) = 1 в формуле (13), получим AB dl = l.

45

Масса линии L, имеющей плотность (x; y), вычисляется по фор-

ìóëå

Z

m = dl:

L

Координаты центра тяжести

Работа переменной силы (физический смыñë криволинåйного интеграла II рода): работа A переменной силы F = P i + Q j при пере-

мещении материальной точки M = M(x; y) вдоль кривой L = AB от точки A до точки B

Z

A = P dx + Q dy:

AB

Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой x = cos3 t, y = sin3 t.

Решение: При обхождении астроиды в положительном направлении параметр t изменяется от 0 до 2 .

Ðèñ. 29.

46

Задача 2. Найти массу и координаты центра тяжести однородной дуги циклоиды x = t sin t, y = 1 cos t, 0 6 t 6 2 .

Решение:

Ðèñ. 30.

Поскольку циклоида симметрична относительно прямой x = , то xc = . Вычислим Mx:

47

Решение:

R

dl).

AB

2.Найти массу четверти эллипса x = 2 cos t, y = sin t, располо-

женной в I квадранте, если плотность в каждой точке равна ординате этой точки.

3.Вычислить длину дуги, заданной уравнением r = sin3 '3 .

4.Вычислить массу контура прямоугольника со сторонами, лежащими на прямых x = 0, x = 4, y = 0, y = 2, если его

плотность (x; y) = xy.

5.Найти площадь эллипса x = 2 cos t, y = 3 sin t.

6.Вычислить работу силы F (P; Q) = (y; y x) при перемещении единицы массы по дуге параболы y = 2 x2=2 îò A( 2; 0) äî

B(0; 2).

7.Сила F = (F; 0) действует на точку, двигая ее вдоль четверти окружности x2 + y2 = 1. Найти работу, совершаемую этой силой.

8.С помощью криволинейного интеграла I рода найти длину дуги y2 = x3, 0 6 x 6 5.

48

Контрольная работа по темеКриволинейные интегралы

1. Вычислить криволинейный интеграл R x2 + y3 dl вдоль от-

AB

резка AB, где A(1; 0), B(2; 1).

Решение:

Ðèñ. 31.

Уравнение прямой AB имеет вид y = x 1, x 2 [1; 2].

Решение: Покажем, что интеграл не зависит от пути интегрирования, соединяющего точки (1; 3) и (3; 1). Для этого проверим равенство @Q@x = @P@y .

Таким образом, будем вычислять интеграл вдоль ломаной, звенья которой параллельны координатным осям. Это линия, соединяющая точки A(1; 3), C(1; 1) и B(3; 1).

49

Ðèñ. 32.

На отрезке AC: x = 1, y меняется от 3 до 1, значит,

На отрезке CB: y = 1, x меняется от 1 до 3, значит,

ëîé y = x2 и прямой y = 2x.

Решение: Воспользуемся формулой Грина (19) и преобразуем подынтегральное выражение

50