Задачі для самостійного розв’язання

1. Скласти рівняння прямої , що проходить через точки А(-2,1,0) і В(0,1,3), та знайти координати її напрямного вектора.

2. Дано рівняння руху точки М(x,y,z): . Знайти:а) координати точки через 10 секунд від початку руху (t=0); б) довжину пройденого точкою шляху S за проміжок часу від t=0 до t=10с; в) величину швидкості; г) канонічне рівняння траєкторії руху.

3. Знайти координати точок перетину прямої з координатними площинами. Побудувати пряму.

4. Звести до канонічного рівняння прямих:

5. Перейти від загального рівняння прямої до канонічного та знайти точки перетину з координатними площинами.

6. Скласти рівняння прямої, яка проходить через дві точки А(1,-3,1), В(2,4,5).

7. Скласти рівняння сторін трикутника з вершинами А(7,2,-6), В(11,-3,5), С(-3,4,-2) і рівняння його медіани, яка виходить з вершини В.

8. Знайти кути між прямими: і; 2)і

9. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку

М(2,-4,3) і паралельна прямій .

10. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку

А(2,-6,-9) паралельно прямій

11. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку

В(1,-2,6) і паралельна прямій

12. Показати, що прямі іперетинаються і знайти їх точку перетину.

Вказівка. Нехай прямі ізадані відповідно рівняннямиі.Необхідною і достатньою умовою перетину двох непаралельних прямих є компланарнітсь трьох векторів і, тобто

Для знаходження точки перетину прямих ізаписати їх рівняння в параметричному вигляді з параметрамиі- відповідно і розв’язати систему рівнянь:Знайшовши спочаткуі, а тодіx, y, z.

13. Скласти рівняння бісектриси кута К трикутника з вершинами К(0,1,3), L(4,4,-9), M(12,-3,0).

Вказівка. Знайти напрямні вектори і. За напрямний векторбісектриси можна взяти вектори, деі- орти відповідних векторіві. Підкреслимо, що на векторахіможна побудувати паралелограм, а на одиничних векторахібудується ромб, діагональ якогоє бісектрисою кута.

Відповіді. 1.

2.3.4.

5. 6.7.8.

9. 10.

11. 12.13.

Пряма лінія і площина

3.18. Кут між прямою і площиною

Нехай пряма і площиназадані відповідно своїми рівняннями

і

Кутом між прямою та площиноюназивається кут, утворений цією прямою і її проекцією на площину(рис. 23).

Позначимо через величину цього кута. Кут між нормальним векторомі напрямним векторомдорівнює кутові, тому. Отже,

Рис. 23.

З рис. 23 видно, що , коли

– умова паралельності прямої і площини.

І якщо , то

• умова перпендикулярності прямої і площини.

Приклади

1. Знайти кут між прямою і площиною.

Розв’язання. Відповідно до формули (31) з першого рівняння знаходимо напрямний вектор з рівняння площини – нормальний вектор тоді

2. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку А(-3,4,-7) і перпендикулярна прямій

Розв’язання. Відповідно умові (33) перпендикулярності прямої і площини за нормальний вектор площини можна взяти паралельний йому напрямний вектор прямоїВикористовуючи рівняння площини, яка проходить через точку А(-3,4,-7) перпендикулярно векторумаємо