Перший спосіб. В системі координат xyz будуємо вектор і точку м(1,5,2) і проводимо через точку м пряму паралельну вектору

Другий спосіб. За формулою (26) записуємо рівняння прямої в параметричному вигляді:

При довільних значенняхt із системи знаходимо координати відповідних точок, які належать прямій . Так приt=1 знаходимо координати М₁(4,5,6). Через дві точки М і М₁ проводимо пряму (див. Мал.)

Задачі.

1. На прямій знайти точки, які знаходяться на відстані 10 одиниць від точки.

Відповідь: .

2. Точка рухається рівномірно з величиною швидкості^м/_с в напрямку вектора від початкової точки. Знайти координати точкичерезс від початку руху.

Відповідь: .

Вказівка. Скористатись методикою відповідних задач, розв’язаних в 3.7.

Рівняння прямої в просторі, що проходить через дві задані точки

За двома точками іможна не тільки геометрично провести пряму лінію, але й скласти її рівняння. Для цього за напрямний вектор візьмемо, тоді за формулою (25) маємо

– рівняння прямої в просторі, що проходить через дві задані точки.

Приклад. Скласти рівняння прямої , яка проходить через дві точки М₁(-1,2,3) і М₂(5,-2,1). Перевірити чи лежать на цій прямій точки М₃(-7,6,5), М₄(2,0,1), М₅(-4,4,4)?

Відповідь: так, ні, так.

3.16. Загальне рівняння прямої; перехід до канонічного рівняння

Пряма може бути задана двома площинами, що перетинаються по цій прямій. Нехай відомі їх рівняння

тоді система (28) називається загальними рівняннями прямої.

Щоб перейти до канонічних рівняннь вигляду (25), необхідно знайти вектор і точкуцієї прямої.

Точку знаходимо, як один із розв’язків системи (28). Наприклад, поклавши в (28)знаходимо, тоді і точку. Напрямний вектор, який є паралельним до кожної з площині, є перпендикулярним до їх нормальних векторіві, тобто(див. рис. 22). Тому векторможна знайти за допомогою векторного добуткуі

Знайдені координати іпідставляємо в канонічне рівняння (25).

Наприклад, від загальних рівняннь прямої

перейдемо до канонічних, поклавши в системі (при ньому відносно більші коефіцієнти), знайдемо.

Нормальні вектори і. Тоді напрямний вектор

Рис. 22.

,

і канонічні рівняння набудуть вигляду:

Приклад. Звести до канонічного вигляду загальне рівняння

Відповідь:

3.17. Кут між двома прямими в просторі. Умова паралельності та перпендикулярності прямих

Кут між прямими

і

дорівнює кутові між їх напрямними векторами і, тому

Умови паралельності і перпендикулярності прямих відповідно запишуться

і

Приклад. Знайти гострий кут між прямими

Розв’язання. За формулою (29) отримуємо

Оскільки , то кут тупий, , а гострий кут

Відповідь:

Приклад 2. Скласти рівняння прямої , яка проходить через точку М(2,-4,3) і паралельна прямій

Розв’язання. Від параметричного рівняння переходимо до канонічного За умовою паралельності прямих, тобто напрямним вектором нової прямої може служити відомий векторі за формулою (25) маємо