Приклад

Дано точки М(-4,6,-6) і N(-9,2,-5). Скласти рівняння площини, яка проходить через точку М і перпендикулярна до вектора .

Розв’язання. За умовою вектор є нормальним вектором площини. Знайдемо його координати

Підставляючи в рівняння (17) А=-5, В=-4, С=1, а також х₁=-4, у₁=6, z=-6, маємо .

3.10. Рівняння площини у відрізках

Якщо в загальному рівнянні

жодне з чисел не дорівнює нулю, то площину можна побудувати за трьома точками перетину її з координатними осями:

, де відрізки, які відтинає площина на координатних осях (див. рис. 12).

Рис.12

Рівняння площини у відрізках запишеться:

Прямі називаютьсяслідами даної площини на координатних площинах – відповідно. Їх рівняння можна отримати із загального, якщо в останньому прирівняти до нуля відповідну змінну. Так, наприклад, якщо (площина), то в цій площині рівняння слідазапишеться

.

Аналогічно для інших слідів.

Приклади.

1.Побудувати площину і записати її рівняння у відрізках, а також рівняння слідів на відповідних координатних площинах.

Розв’язання. Покладемо , тоді

. Аналогічно при знаходимо, при, тоді рівняння у відрізках запишеться

. (Рис.13)

Рис. 13.

Рівняння слідів:

2. Знайти об’єм піраміди обмеженої площиною та координатними площинами.

Відповідь: .

3.Знайти площу трикутника, який відтиняється координатними площинами від площини .

Відповідь: .

3.11. Дослідження загального рівняння площин

Розглядаються частинні випадки розміщення площин

,

коли деякі із чисел дорівнюють нулю.

1. Якщо , то рівняння має вигляд, площина проходить через початок координатперпендикулярно вектору.

2. Якщо , то маємо рівняння, векторналежить площині. Оскільки площина, то, або ж. (див. рис.14). Рівняння площиниє рівнянням сліда в площині.

Рис. 14.

3. Якщо ж , то площина проходить через вісь.

4. Якщо , то рівняння площини має вигляд,належить площині. Площина(див. рис. 15).

Рис. 15.

5. Якщо ж , то площина проходить через вісь .

6. Якщо , то маємо рівняння , , або ж(див. рис. 16)

Рис. 16.

7.Якщо ж , то площинапроходить через вісь.

Висновок. На основі 2, 4 і 6 отримуємо, що площина паралельна тій координатній осі, змінна якої в рівнянні відсутня.

8. , площина, або ж, де. Векторнапрямлений вздовж осі , тому площина перпендикулярна до осів точці (0,0,). (див. рис. 17).

Рис. 17.

Зокрема, якщо , то– рівняння координатної площини.

9. Якщо , то маємо площину, або, де. Векторнапрямлений вздовж осі. Площина перпендикулярна осів точці (0,,0). (див. рис. 17).

Зокрема, якщо , то– рівняння координатної площини.

10. На кінець, якщо то, де(рис. 17).

При маємо– рівняння координатної площини.

Задача 1. Побудувати тіло. Обмежене площинами:

.

Розв’язання. Для виконання побудови, необхідно побудувати кожну з площин окремо, знайти їх лінії перетину – ребра многогранника, та координати вершин. Площини – координатні, лініями їх перетину є осі координат. Площиниіперпендикулярні осямівідповідно в точкахі(див. рис. 18).

Рис. 18.

Площина відтинає на осях координат відрізки по 6 одиниць. В точціця площина перетинається з віссю,– вершина многогранника.– слід на площині, його рівняння, перетинається із слідом, рівняння. Звідки знаходимо координати точки. Аналогічно знаходимо інші вершини:.

Задача 2. За рівнянням побудувати площину.

Розв’язання. Оскільки в даному рівнянні вільний член , то площина проходить через точку О(0,0,0). Для кращого уявлення про положення даної площини побудуємо її сліди на координатних площинах ХОУ,YOZ і XOZ.

В площині ХОУ (z=0) слідом буде пряма , яка, крім точки О(0,0,0), проходить також, наприклад, через точку М₁(5,-2,0). Будуємо слід ОМ₁.

В площині YOZ (х=0) слідом буде пряма , позначимо її ОМ₂, де М₂(3,5,0).

В площині XOZ (у=0) будуємо слід ОМ₃, який описується рівнянням і проходить через точку М₃(3,0,2). На малюнку заштрихована частина площини , яка проходить через сліди ОМ₁, ОМ₂ і ОМ₃.