Задачі для самостійного розвязання.

1. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку А(4,-2) і середину М відрізка ВС, де В(-6,-3), С(2,5).

2. Дано вершини трикутника А(-5,4), В(4,7) і С(4,-7). Необхідно: а)скласти рівняння його сторін і медіани; б)знайти довжини висот.

3. Вершини чотирикутника мають координати А(-2,2), В(0,3), С(6,2), Д(6,-6). Знайти точку М перетину його діагоналей.

4. Через точку А(-2,2) провести пряму, паралельну до прямої .

5. Через точку Е(2,3) провести пряму перпендикулярну до прямої .

6. Знайти гострий кут між прямою і прямою, яка проходить точки А(-1,-3), і В(3,5).

7. Знайти відстань між паралельними прямими і.

8. Сторони АВ, ВС і АС трикутника АВС задані відповідно рівняннями ,та. Знайти координати вершин.

9. Скласти рівняння висот трикутника з вершинами А(2,1), В(5,6) та С(8,4).

10. Дано вершини трикутника А(-11,-1), В(5,11), С(-5,-9). Знайти: 1) точку М перетину бісектриси кута А із стороною ВС; 2) довжину бісектриси АМ; 3) рівняння бісектриси АМ.

11. Трикутник АВС заданий вершинами А(-3,5), В(6,8), С(6,-4). Знайти координати центра та довжину радіуса описаного кола.

12. Протилежні вершини квадрата знаходяться в точках А(-2,2) і . Скласти рівняння сторін квадрата.

13. Знайти проекцію точки А(-4,1) на пряму .

14. Знайти точку М₁, симетричну з точкою М(-1,-1) відносно прямої, що проходить через точки А(2,-3) і В(6,3).

15. Одна з вершин прямокутника в точці А(-2,1), а ще дві сторони задані рівняннями і. Знайти рівняння двох інших сторін та обчислити площу цього прямокутника.

16. Знайти площу квадрата, сторони якого лежать на прямих і.

17. Промінь світла, який виходить з точки А(1,4) відбивається від прямої і проходить через точку В(7,8). Знайти рівняння відбитого променя.

Вказівка. Знайти точку А₁, симетричну з точкою А відносно даної прямої. Відбитий промінь буде збігатись з прямою А₁В.

18. Дано дві вершини А(6,-3) і В(8,5) трикутника АВС і точка P(7,-3) перетину його висот. Скласти рівняння сторін трикутника і знайти його площу.

19. Дано вершини чотирикутника: А(-1,0), В(0,5), С(,5), Д(2,-1). Показати, що навколо цього чотирикутника можна описати коло. Знайти центр і радіус цього кола.

20. Скласти рівняння прямої, яка проходить посередині між двома паралельними прямими і.

Відповіді: 1. . 2. а) (АВ);(ВС);(АС);(АМ); б)3. М(2,0). 4. .

5. . 6. 45. 7. 6. 8. (2,1), (-1,-1), (3,2).

9. (Н_А); (Н_В); (Н_С). 10. 1) 2)3)11. О₁(3,2), 12. (АВ); (СВ);(ВД);(АД).13. (2,-3). 14. М₁(5,-5). 15. ;6. 16. 49. 17. . 18. (АВ); (АС);(ВС); 8,25.19. 20..

Площина

3.9. Рівняння площини за точкою і нормальним вектором. Загальне рівняння площини

При побудові площини в просторі будемо використовувати аналогії для прямої лінії на площині. Як і для прямої лінії можемо стверджувати, що між множиною всіх площин простору і множиною лінійних рівнянь відносно трьох зміннихіснує взаємно однозначна відповідність.

Нехай в просторі задана точка і ненульовий вектор. Через точкуможна провести єдину

Рис.11

площину перпендикулярно вектору. Щоб отримати рівняння

площини, виберемо на ній довільну точку і розглянемо

вектор (див. рис. 11).

Точка тоді і тільки тоді, коли

— рівняння площини що проходить через дану точку з нормальним вектором.

Розкривши дужки в (17) маємо

— загальне рівняння площини, де позначено .

Отже, площині відповідає лінійне рівняння (18). Навпаки, якщо задано лінійне рівняння вигляду (18), то неважко знайти точку , координати якої задовольняють це рівняння, і записати вектор. Векторі точка визначають єдину площину .