3.4.Рівняння прямої у відрізках

Побудуємо пряму за загальним рівнянням за умови, що– відмінні від нуля. Для цього досить знайти дві точки, що належать цій прямій. Такі точки іноді зручніше знаходити на координатних осях.

Покладемо , тоді.

При . Позначимо. Знайдені точкиівідкладемо на осяхOX i OY і через них проводимо пряму

(див. рис. 2).

Рис.2

Від загального можна перейти до рівняння, в яке будуть входити числа і:

або, згідно з позначенням, отримуємо рівняння,

яке називається рівнянням прямої у відрізках. Числа із точністю до знаку дорівнюють відрізкам, які відтинаються прямою на координатних осях.

Приклади.

1. Записавши рівняння у відрізках, побудувати прямі

а) ;

б) ;

в) .

2. Знайти площу трикутника, обмеженого прямою та координатними осями.

3. Діагоналі ромба лежать на координатних осях, а рівняння однієї із сторін . Записати рівняння інших сторін.

4. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М(4,2) і відтинає від координатних осей трикутник, площа якого дорівнює 16 од. кв.

Відповіді: 1. а) ; б); в).2. 7,5. 3. ; ;.4. .

3.5.Дослідження загального рівняння прямої

Корисно знати особливості розміщення прямої в окремих випадках, коли одне або двоє з чиселдорівнюють нулю.

1.. Загальне рівняння має вигляд:. Йому задовольняє точка, отже, пряма проходить через початок координат. Його можна записати.

На рис.3 вважаємо що

Рис. 3.

Якщо покласти , то, маємо ще одну точку(див. рис.3)

2., тоді рівняння має вигляд, де. Нормальний векторлежить на осі, пряма. Таким чином, прямаперпендикулярнав точці, або ж паралельна осі(див. рис. 4).

Зокрема, якщо і , тоі рівнянняє рівнянням осі ординат.

Рис.4

3.Аналогічно, при рівняння записується, де. Векторналежить осі. Прямав точці(рис. 5)||OX.

Рис.5.

Якщо ж , то– рівняння осі.

Досліджене можна сформулювати в такій формі: пряма паралельна тій координатній осі, змінна якої в загальному рівнянні прямої відсутня.

Наприклад.

1) Пряма ., доданок з– відсутній, тому.

2) Пряма .

Приклади.

Побудувати лінії:

а)

б)

в)

г)

3.6.Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

Розглянемо рівняння (1) із 3.2

Позначивши , отримаємо

рівняння пучка прямих, або рівняння прямої, що проходить через точку у заданому напрямку. Геометричний зміст коефіцієнтазрозумілий з рис. 6.

В , де– найменший кут, на який потрібно повернути додатний напрямок осінавколо спільної точкидо суміщення її з прямою. Очевидно, що якщо кут– гострий, то; якщо ж– тупий кут, то.

Розкриємо дужки в (5) і спростимо його

де . Співвідношення (6) – рівнянняпрямої з кутовим коефіцієнтом. При – відрізок, який відтинає пряма на осі(див. рис.6).

Звернемо увагу, що для переходу від загального рівняння прямої до рівняння з кутовим коефіцієнтом необхідно перше розв’язати відносно

Рис.6

де позначено . Якщо ж, то із дослідження загального рівняння вже відомо, що така пряма перпендикулярна осі.

Приклад

1. Перейти до рівняння з кутовим коефіцієнтом

а);

б) .

2. Скласти рівняння пучка прямих, які проходять через початок координат під кутами до осі Х: а) 30; б) 45; в) 120; г)135.

3. Скласти рівняння прямих, які проходять через точку М(3,-1) під кутами до осі ОХ: а) 45; б) 60; в) 135; г) 150.

4. Із точки N(5,2) під кутом 45 до осі ОХ падає промінь світла, який відбивається від осі ОХ. Знайти рівняння падаючого і відбитого променів.

Відповіді: 1. а) ; б).

2. а) ; б); в); г).

3. : а) ; б); в);

г) .4. ; .