3.28. Параметричне рівняння ліній

Нехай вектор в просторі задається своїми проекціями, які залежать від деякого параметра , тобто

Очевидно, що (47) можна записати у вигляді

Якщо змінній надати певного значення=, то за формулами (48) знайдемо відповідні значення. Множина точокможе утворювати деяку лінію. Тому говорять, що рівняння (48) параметрично описують лінію.

Задача

1.З початку координат з швидкістю величиною , яка утворює з віссюкут, рухається точка під дією сили земного тяжіння. Знайти закон руху точки.

Розв’язання. Нехай вектор швидкості , а його величина(див. рис. 41).

Якщо б точка рухалась вільно, тільки з швидкістю , то засекунд вона б перемістилась в положення. Але точка перебуває ще й під дією сили земного тяжіння, тому вона з положенняопуститься в положення точкиі її ордината буде

Рис. 41.

Проекцією точки чина ОХ є точка Р, томуабо ж

. Отже, закон руху

Якщо із системи (49) виключити , то

Як бачимо парабола.

Розглянемо ще деякі приклади

2. Коло.

Із (50)

Рис. 42.

–канонічне рівняння кола.

3. Еліпс можна записати у вигляді

Із (51)

4. Циклоїда. – це траєкторія, яку описує фіксована точка кола, яке котиться вздовж прямої без ковзання.

Нехай радіус кола, а початкове положення фіксованної точки збігається з початком координат. При повороті на кутця точка зайняла положення точки(див. рис. 43).

Рис. 43.

Шлях , пройдений колом дорівнює довжині дуги. ІзОтже

Остаточно

– параметричне рівняння циклоїди.

5. Гвинтова лінія – це траєкторія точки, яка рухається по циліндричній поверхні паралельно рівномірно з швидкістю , а циліндрична поверхня при цьому обертається з кутовою швидкістю – радіус циліндра (див. рис. 44). Позначимо через час руху, тоді

Рис. 44.

Задачі для самостійного розв’язання

Побудувати лінії, задані параметричними рівняннями:

1) ;

2) (коло);

3) (еліпс);

4) (циклоїда);

5) (астроїда);

6) (гвинтова лінія);

7) (гіпербола).

Поверхні

3.29. Циліндричні поверхні

Означення. Циліндричною називається поверхня, утворена прямими, – твірними, паралельними заданій прямій , які перетинають дану криву лінію– напрямну (див. рис. 45).

Рис. 45.

У загальному випадку рівняння циліндричної поверхні (скорочено ц.п. )записується .

В окремих випадках, коли твірні ц.п. паралельні одній з координатних осей, то тоді рівняння ц.п. містить тільки дві змінні. Причому , твірні ц.п. паралельні тій координатній осі, змінна якої в

рівнянні відсутня: – ц.п. з твірними;

–ц.п. з твірними ;

–ц.п. з твірними ;

Приклади.

Рис. 46. Рис. 47.

Задачі для самостійного розв’язання

Побудуйте циліндричні поверхні:

1) ; 2); 3);

4) ; 5); 6).

3.30. Конічні поверхні

Означення. Конічною поверхнею називається поверхня, утворена прямими – твірними конуса, – які проходять через дану точку – вершину конуса, – і перетинають дану криву лінію – напрямну конуса.

Наприклад.

–еліптичний конус (див. рис. 48), вісь – вісь симетрії, вершина в точці, за напрямну можна взяти лінію– еліпс в площині

_{Рис. 48}

Задачі для самостійного розв’язання

Побудувати конічні поверхні:

1) ; 2); 3).

3.31. Поверхні обертання

Нехай в площині задана лініярівнянням. Щоб отримати поверхню обертання лініїнавколо, наприклад,

осі необхідно замість змінноїпокласти в рівняннявираз. Рівняння=описує поверхню обертання лініїнавколоосі (див. ри. 49).

Рис. 49.

Задачі для самостійного розв’язання

Записати рівняння поверхні обертання:

1. параболи а) відносно осі ОХ; б) відносно осі ОУ;

2. еліпса а) відносно осі ОХ; б) відносно осі ОУ;

3. гіперболи а) відносно осі ОХ; б) відносно осі ОУ.

Відповіді: 1. а) ; б);2. а) ; б);3. а) ; б).

3.32 Поверхні ІІ –го порядку

Задачі для самостійного розв’язання

В поданих задачах визначити вид поверхонь, дослідити їх за допомогою перетинів і схематично побудувати

1. .2. .

3. .4. .

5. .6. .

7. .8. .

9. .10. .

11. .12. .

Відповіді: 1. Конус. 2. Параболоїд. 3. Двопорожнинний гіперболоїд. 4. Циліндр з твірними паралельними осі ОУ. 5. Гіперболічний параболоїд. 6. Еліпсоїд. 7. Циліндр з твірними паралельними осі OZ. 8. Однопорожнинний гіперболоїд. 9. Параболоїд. 10. Циліндр з твірними паралельними осі OZ. 11. Однопорожнинний гіперболоїд. 12. Гіперболічний параболоїд.

Побудувати тіла, обмежені поверхнями:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

223