3.26. Перетворення координат

Одна і та сама лінія в різних системах координат записується різними рівняннями. Часто виникає необхідність переходу від однієї системи координат (“старої”) до іншої (“нової”), як правило з метою отримання простішого рівняння даної кривої в новій системі координат. Формули перетворення виражають зв’язок між новими і старими координатами точки. До них відносяться формули паралельного перенесення координатних осей та формули повороту осей.

І. Паралельне перенесення координатних осей

Позначимо через стару систему координат, а через– нову, деположення нового початку координат в системі(див. рис. 31).

Рис. 31.

З рис. 31 бачимо, що старі координати виражаються через нові:

Звідки

– формули переходу від старих координат до нових при паралельному перенесенні.

При спрощенні кривих другого порядку за допомогою паралельного перенесення використовують спосіб виділення повного квадрата. Розглянемо на прикладі параболи

Позначимо ,, отримаємо

Введемо нові координати тоді в новій системі рівняння набуде вигляду(див. рис. 32).

Рис. 32.

Приклади.

1. Спростити рівняння, та побудувати криву

.

Розв’язання. Виділимо повні квадрати відносно і

При заміні маємо

– еліпс, , початок нової системи має координатиПобудову в новій системі див. на рис. 33.

Рис. 33.

2. Спростити рівняння і побудувати графік кривої

.

Розв’язання. Спочатку згрупуємо відносно змінної х і змінної y

виділимо повні квадрати

Замінимо: одержимо

- гіпербола відносно системи , де

_{Задачі для самостійного розв’язання}

_{1. Паралельним перенесенням звести до канонічного вигляду (із вказанням нового початку координат) подані нижче рівняння:}

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

Відповіді: 1) ;

2) ; 3);

4) ; 5);

6) ; 7);

8) ; 9);

10) .

Поворот осей координат

Позначимо (рис. 34):

Рис. 34.

Старі координати точки нові координати т.кут повороту. Тоді формули повороту :

(44)

Задача. Записати рівняння рівнобічної гіперболи, якщо новими осями координат вибрати її асимптоти (див. рис. 35):

Рис. 35.

Рівняння рівнобічної гіперболи , її асимптотами є лінії, та. Кут повороту

тоді за формулами (44)

із При замініотримаємо знайоме із шкільного курсу– рівняння гіперболи.

_{Задачі для самостійного розв’язання}

Спростити рівняння кривих за допомогою формул (44) перетворення координат шляхом повороту осей на кут , якщо відомі рівняння кривих та значенняі:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

Відповіді: 1) ; 2); 3); 4); 5); 6).

3.27. Полярна система координат

При геодезичних вимірюваннях на місцевості в основному використовуються полярні координати. В аналітичній геометрії цілий ряд ліній краще досліджувати і будувати в полярній системі координат.

Полярна система координат на площині вводиться за допомогою полярної осі (початок координат називається полюсом) та кута повороту цієї осі (додатним вважається напрям проти стрілки годинника) (рис. 36)

Рис. 36. Рис. 37.

Координати точки в такій системі мають вигляд . Якщо необмежувати значень і , то точки збігаються, тобто між множиною точок площини і множиною пар чиселнемає взаємно однозначної відповідності. Для того щоб така відповідність існувала, треба розглядати так званіголовні значення полярних координат, тобто Надалі розглядаються тільки такі значення.

Зв’язок між полярними та прямокутними координатами легко зрозуміти з рис. 37, а саме,

(45)

і навпаки, полярні координати виражаються через прямокутні

Щоб знайти в (46) враховуємо збіг знаківі, а такожі.

Наводимо графіки деяких ліній в полярних координатах.

Промінь. Нехай промінь виходить з полюса під кутом до полярної осі. Тоді рівняння променя (див. рис. 38).

Рис. 38.

Коло. Радіуса , центр якого в полюсі, має рівняння

.

Спіраль Архімеда має вигляд де– задане дійсне число.

Рис. 39.

Кардіоїда описується рівнянням дезадане

Рис. 40.

_{Розами називаються лінії, які задаються рівняннями}

або ,

де і– додатні числа.

Оскільки ,, то із рівнянь випливає, щоа це означає, що вся лінія розміщена усередині круга радіуса. Функція() – періодична, і її графік складається з однакових пелюсток, кожна з яких симетрична відносно найбільшого значення полярного радіуса. Кількість пелюсток залежить від числаk:

при k - цілому і непарному роза складається із k пелюсток;

при k - цілому і парному роза складається із 2k пелюсток (див. рис. 40,1).

Задача. Побудувати в полярних координатах графік функції , записавши таблицю значеньу градусах з кроком в. Перейти у рівняннідо декартових координат.

Розв’язання. Заповнимо таблицю значень аргумента і функції

	0	0,3420	0,6428	0,8660	0,9848	0,9848	0,8660	0,6428	0,3420	0
	0	1,71	3,21	4,33	4,92	4,92	4,33	3,21	1,71	0

За даними таблиці будуємо точки в полярній системі координат і з’єднуємо їх плавною лінією.

Перейдемо у рівнянні від полярних координат до декартових за допомогою формули переходу (45) і (46)

, - це коло.

Щоб знайти центр і радіус кола, виділимо повний квадрат:

.

Центр кола в точці радіус(див. рис.)

Для побудови графіка провели промені під відповідними кутами: На кожному з променів відкладається відповідне значення, взяте із таблиці:

Задачі для самостійного розв’язання

1. Побудувати точки, полярні координати яких задані такими значеннями ,,,,

, ,,,. З’єднати ці точки плавною лінією.

2. За формулами (45) знайти прямокутні координати точок , заданих полярними координатами: ,,,.

3. Побудувати лінії: а) ; б); в); г); д); е).

4. За допомогою таблиць побудувати графіки ліній, заданих рівняннями в полярних координатах, перейти до декартових координат:

1) (спіраль Архімеда);

2) (коло з центром на осі ОХ);

3) (пряма);

4) (пряма);

5) (парабола);

6) (трипелюсткова роза);

7) (гіперболічна спіраль);

8) (логарифмічна спіраль).