Приклади

Побудувати гіперболи

1. 2. . (Див. рис. 27).

Рис.27.

Перша з гіпербол перетимає вісь , друга – вісь Oy. Кожна з наведених гіпербол по відношенню до іншої називається спряжною.

Рівняння спряжених гіпербол відрізняються протилежними знаками перед змінними в канонічних рівняннях.

Задача 1. Знайти осі, вершини, фокуси, ексцентриситет і рівняння асимптот гіперболи

.

Побудувати гіперболу та її асимптоти.

Розв’язання. Зведемо рівняння гіперболи до канонічного вигляду .

Порівнюючи дане рівняння з канонічним (див. рівняння (40)) знаходимо,,. Вершини, фокусиі. Ексцентриситет; асимптоти. Будуємо гіперболу (див. рис. 27-1)

Задачі для самостійного розв’язання

1. Знайти координати вершин, півосі, півфокусну відстань, ексцентриситет і рівняння асимптот гіпербол, побудовати їх графіки.

1) , 2), 3).

2. Скласти канонічне рівняння гіперболи, фокуси якої розміщені на осі ОХ, якщо

1. а=5, b=3;

2. і 2b=8;

3. 2b=6 і ;

4. рівняння асимптот і.

3. Скласти канонічне рівняння гіперболи, дійсна вісь якої лежить на осі ОХ, якщо гіпербола проходить через точки і.

4. Записати рівняння гіперболи, дійсна вісь якої дорівнює 6, і відстань фокусами дорівнює 10, записати рівняння спряженої гіперболи. Побудувати їх графіки.

5. Знайти центр, півосі, півфокусну відстань, ексцентриситет і канонічне рівняння гіпербол:

1) ;

2) ;

3) . Побудувати ці гіперболи.

Вказівка: необхідно виділити повні квадрати змінних і знайти новий початок координат, що відповідатиме паралельному переносу системи координат в новий центр (див. розв’язану аналогічну задачу 4 в попередньому параграфі для еліпса).

6. Знайти точки перетину гіперболи з прямою.

7. Відомо, що гіпербола проходить через фокуси еліпса , а її фокуси знаходяться у вершинах еліпса. Скласти рівняння гіперболи.

8. Ексцентриситет гіперболи, яка має спільні фокуси з еліпсом , дорівнює 1,2. скласти рівняння цієї гіперболи.

9. Знайти площу прямокутника, вершини якого містяться в точках перетину гіперболи і кола.

10. Гіперболи задані рівняннями і. Знайти кут між їхніми асимптотами, які розміщені в першій чверті.

Відповіді: 1. 1) ; 2);

3).

2. 1) ; 2); 3);

4) .3. .4. ,.5. 1);

2) ;

3) .

6. ,.7. .8. .

9. 112. 10. .

3.24. Парабола

Означення. Параболою називається множина точок площини, які рівновіддалені від заданої точки, що називається фокусом і заданої прямої, що називається директрисою.

Для отримання канонічного рівняння параболи розмістимо директрису перпендикулярно осі , а фокусна осітак, щоб початок координатмістився на однаковій відстані від них (див. рис. 28). Позначимо черезвідстань від фокуса до директриси, тоді фокус має координати,. Для довільної точкипараболи відстань, а відстань до директриси. За означенням. З рис. 28 бачимо, що, а, тому

Рис. 28.

– канонічне рівняння параболи.

Парабола проходить через точку , яка називається її вершиною. Якщо точканалежить параболі, то ітеж належить параболі, тому що із

Отже, парабола симетрична відносно осі , її графік достатньо побудувати в першій чверті, де із (42) випливає, що

.

При ця функція визначена для. При зростаннізміннатеж зростає. Графік зображено на рис. 29.

Рис. 29,а.

Рівняння директриси параболи .

Парабола має “оптичну” властивість : якщо у фокусі параболи помістити джерело світла, то відбиті від параболи промені будуть паралельними осі . Цю властивість враховують при виготовленні прожекторів, дзеркальних телескопів, теле- і радіоантен.

При додатному р рівняння

описує параболу симетричну відносно ОХ з вершиною в точці , вітки якої напрямлені вліво (див. рис. 29,б)

у

х

0

у

х

0

Рис. 29,б

Рис. 29,в

у

х

Рис. 29,г

Аналогічно викладеному, рівнянняіописують параболи з вершиною в точцісиметричні відносно ОУ, вітки яких напрямлені відповідно вверх і вниз (див. рис. 29, в і г). Якщо, наприклад, рівняннярозв’язати відносно у

і позначити , то отримаємо відоме із шкільного курсу рівняння параболи. Тепер її фокусна відстань.

Задача 1. Знайти координати фокуса і скласти рівняння директриси параболи .

Розв’язання. Порівнюючи канонічне рівняння і дане, отримуємо, тоді. Оскільки рівняння директриси, то в даному випадку.

Задача 2. Скласти канонічне рівняння параболи а) з фокусом в точці ; б) з фокусом в точці .

Розв’язання. а) Оскільки фокус на додатній півосі ОХ, то парабола симетрична відносно ОХ з вершиною в точціі, томуі згідно формули (42)

.

б) Фокус лежить на від’ємній півосі ОУ з вершиною в точці, вітки напрямлені вниз, канонічне рівняння слід шукати у вигляді. Фокусна відстань параболи, і рівняння запишеться

.

Задача 3. Показати шляхом виділення повного квадрата, що рівняння

є рівнянням параболи. Звести його до канонічного вигляду. Знайти вершину, фокус, вісь і директрису цієї параболи.

Розв’язання. Виділимо відносно змінної х повний квадрат

.

Позначимо ,. Тоді внаслідок паралельного перенесення координатних осей в новий початок, тобто в точку, отримаємо канонічне рівняння параболи

.

Вітки цієї параболи напрямлені вниз симетрично відносно осі ,- фокусна відстань. В новій системі координат фокус знаходиться в точці, рівняння директриси в новій системі.

Повернемося до старих координат за допомогою заміни ,. Рівняння осі в новій системі, а в старій- рівняння осі параболи.

Рівняння директриси в новій системі координат , а в старій.

В новій системі для фокусаа в старій системі;, тобто.