Задачі для самостійного розв’язання

1. Знайти координати вершин, фокусів, півосі і ексцентриситет еліпсів:

1) ; 2);

3) ; 4).

2. Скласти канонічне рівняння еліпса, фокуси якого на осі ОХ, якщо: 1); 2); 3); 4).

3. Які з точок А(13, 0), В(5, ), С(0, 5),D(, 4) лежать на еліпсі ?

4. Скласти канонічне рівняння еліпса, фокуси якого на осі ОХ, якщо він проходить через точки ,.

5. На еліпсі знайти точки з фокальним радіусом.

Вказівка. Використати формули для фокальних радіусів

6. Знайти центр, півосі, півфокусну відстань і ексцентриситет для кожного з еліпсів: 1) ; 2); 3). Записати канонічні рівняння та побудувати графіки.

7. В еліпс вписано прямокутник, дві протилежні сторони якого проходять через фокуси. Обчислити площу цього прямокутника.

8. Знайти довжину відрізка прямої , який міститься у середині еліпса.

9. Скласти рівняння спільної хорди еліпса і кола

10. Знайти довжину хорди, яка проходить через фокус еліпса і перпендикулярна великій осі.

Відповіді:

1. 1) ;

2) ;

3) ;

4) .

2. 1) ; 2); 3); 4).

3. Всі. 4. .5. ,.

6. 1) ;

2) ;

3) .

7. .8. 10. 9. .10. 9.

3.23. Гіпербола

Означення. Гіперболою називається множина точок площини, різниця відстаней яких від двох заданих точок, фокусів, є величина стала і дорівнює .

По аналогії з еліпсом фокуси розміщуємо в точках ,

(див. рис. 25-4).

Рис. 25-4.

Оскільки, як видно з рисунка, можуть бути випадки і, то згідно означення.

Відомо, що в трикутнику різниця двох сторін менша третьої сторони, тому , наприклад, з маємо

Отже, для гіперболи .

Далі запишемо значення виразів ічерез координати точок

Піднесемо до квадрата обидві частини і після подальших перетворень знайдемо

Пропонуємо завершити самостійно

Гіпербола симетрична відносно координатних осей, тому, як і для еліпса, досить побудувати її графік в першій чверті, де . Область визначення для першої чверті.

При маємо одну із вершин гіперболи. Друга вершина. Якщо, то із (40), – дійсних коренів немає. Говорять, щоі– уявні вершини гіперболи. Із співвідношеннявипливає, що при досить великих значенняхмає місце наближена рівність. Тому прямає лінією, відстань між якою і відповідною точкою гіперболи прямує до нуля при.

Пряма називаєтьсяасимптотою гіперболи. Згідно з симетрією існує ще одна асимптота .

Для побудови гіперболи необхідно відкласти на координатних осях відрізки довжиною напо обидва боки від точкиі аналогічно відкластипо.

Рис. 26.

Після цього побудувати прямокутник зі сторонами паралельними координатним осям (див. рис. 26). Діагоналі прямокутника є асимптотами гіперболи. Через вершину в першій чверті проводимо вітку гіперболи, яка асимптотично наближається до прямої

. Інші вітки будуємо симетрично відносно і.

Ексцентриситет гіперболи , бо. Якщо величинузафіксувати, азбільшувати, то при цьому збільшується, тому гіперболи будуть відхилятись від, гіпербола буде розпрямлятись. При зменшенібуде зменшуватись, вітки гіперболи будуть наближатись до. У випадку, коли, асимптотами будуть бісектриси координатних кутів,

– рівнобічна гіпербола.