3.21. Коло

Означення. Колом називається множина точок площини, які знаходяться на відстаніR від заданої точки .

Нехай – центр кола,– довільна точка кола. За умовою, а за формулою відстані між двома точками маємо

– рівняння кола радіуса з центром в точці.

Якщо ж центр кола збігається з початком координат, , то отримуємо

-канонічне рівняння кола.

Розкриємо дужки в (37) і зведемо його до вигляду (36)

.

Отже загальне рівняння (36) може описувати коло, якщо а. За цих умов, щоб знайти центр кола і його радіус, потрібно виділити повний квадрат.

Приклад. Знайти центр кола і радіус, якщо

1.

Розв’язання. Згрупуємо відносно і, а тоді виділимо повні квадрати

Отже, центр кола в точці , а радіус. Пропонуємо побудувати це коло.

2.

Розв’язання.

Сумма квадратів в лівій частині рівності не може бути від’ємною.

Дане рівняння не описує кола.

Задачі для самостійного виконання

1. За рівняннями а) , б), в)знайти центри та радіуси кіл.

2. Скласти рівняння кола з центром у точці С і радіусом R: 1) С(-6,-3), R=5; 2) C(1,-2), ; 3)C(2,0), R=3; 4) C(0,-1), R=1,5.

3. Для поданих рівнянь кіл знайти координати їх центрів і радіуси: 1) ;

2) ; 3).

4. Скласти рівняння кола, якщо кінці його діаметра містяться у точках А(-3,-1) і В(1,5).

5. Скласти рівняння кола з центром в точці О(0,0), яке дотикається прямої .

6. Записати рівняння кола з радіусом рівним 13, яке проходить через точки А(3,-1), і В(-4,-8).

7. Трикутник заданий вершинами L(-3,6), M(-1,10), N(6,9). Записати рівняння описаного навколо LMN кола.

8. Написати рівняння дотичної до кола в точці М(5,3).

9. Коло задане рівнянням . Скласти рівняння дотичної до кола в точці М(0,1).

10. Знайти відстань між центрами кіл і.

Відповіді: 1. а) С(-4,2), R=6; б) С(0,-3), ; в) С(4,-2),.2. 1) ; 2); 3);

4) .

3. 1) ; 2); 3).4. .

5. .

6. або .

7. . 8. .

9. . 10. 10.

3.22. Еліпс

Означення. Еліпсом називається множина точок площини, сума відстаней яких від двох заданих точок, що називаються фокусами, є величина стала і дорівнює .

Позначимо фокуси і. Припустимо, що відстань=– фокусна відстань. Щоб отримати канонічне рівняння еліпса розмістимоіна осі, симетрично щодо початку координат. Тоді фокуси матимуть координатиі(див. рис. 24).

Нехай M(x, y) – довільна точка еліпса . Позначимо через r₂ і r₁ – відстані від точки M до фокусів. Згідно з означенням еліпса.

. (38)

Рис. 24.

Підставимо в (38) ,і звільнимось від ірраціональності, піднісши обидві частини до квадрата, отримаємо:

(підносимо до квадрата обидві частини)

Позначимо: , отримаємоканонічне рівняння еліпса:

Відмітимо, що за відомою властивістю трикутника (сума двох сторін більша третьої) із маємо

Оскільки , то, а тому

(*)

Для побудови еліпса зауважимо, що якщо точка належить еліпсу, тобто задовольняє рівняння (39), то точкитеж задовольняють це рівняння: із

Точки – розміщені симетрично відносно осей координат. Отже, еліпс – фігура симетрична відносно координатних осей. Тому досить побудувати графік в першій чверті, а тоді симетрично продовжити його.

З (39) знаходимо , дляІ-ої чверті .

Якщо , то. Якщо ж, то. Точкиі, а також симетричні з ними– вершини еліпса, точка– центр еліпса,– велика вісь,– мала вісь еліпса. ЯкщоІ чверті, то із випливає, що при зростаннівіддозначенняспадає віддо. Зображення еліпса на рис. 25.

Величина відношення міжфокусної відстані до великої осі називається ексцентриситетом еліпса і, після скорочення на 2, позначається . Значення ексцентриситета характеризує ступінь “сплющенності” еліпса. Якщо, то– маємо коло. Якщо ж, то– еліпс вироджується у відрізок. В невироджених випадкахДля фокальних радіусів наведемо без доведення такі формули:

(**)

Рис. 25.

Еліпс можна побудувати механічним способом. Із канонічного рівняння знаходимо півосі і, тоді обчислюємо– півфокусну відстань. Будуємо фокусиіна відстані один від одного. Кінці нерозтяжної нитки довжиноюзакріпляємо в точкахі. Натягуючи вістрям олівця нитку, водимо вістрям по площині таким чином, щоб нитка ковзала по вістрю. Олівець при цьому опише півеліпс. Відтягуючи нитку в протилежну сторону, накреслимо другу половину еліпса.

Задача 1. Задано еліпс рівнянням і точки М₀(4;1,8), М₁(3;2,4). Необхідно:

1. переконатись, що точки М₀ і М₁ лежать на еліпсі;

2. знайти півосі еліпса та координати його фокусів;

3. побудувати еліпс і точки М₀ і М₁;

4. знайти відстань від точки М₀ до фокусів;

5. упевнитись, що сума цих відстаней дорівнює довжині великої осі;

6. знайти ексцентриситет еліпса.

Розв’язання. 1) Підставимо координати x=4; y=1,8 точки М₀ в ліву частину рівняння еліпса:

–точка М₀ лежить на еліпсі. Аналогічно для М₁(3;2,4):

–точка М₁ лежить на еліпсі.

2) З канонічного і даного рівнянняеліпса випливаєЗ рівності (*) цього параграфа– півфокусна відстань. Координати фокусівF₁(4;0) і F₂(-4;0).

3)

Відкладемо значення півосі симетрично відносно точки О(0,0) на осі ОХ. Аналогічноb=3 відкладемо на осі ОУ.

4) Знайдемо фокальні радіуси точки М₀

5) Знайдемо суму , що відповідає означенню еліпса.

6) Ексцентриситет знаходиться за формулою

Задача 2. Знайти осі, вершини і фокуси еліпса . Побудувати еліпс.

Розв’язання. Зведемо дане рівняння до канонічного вигляду (див. рівняння (39)), перенесемо вільний член вправо і почленно розділимо на нього всю рівність

Порівнюючи останнє рівняння з рівнянням (39), маємо Звідси знаходимо осі еліпса 2а=24, 2b=10 і координати вершин А₁(12,0), А₂(-12,0), В₁(0,5), В₂(0,-5). Далі із формули . Отже, фокусами еліпса є точкиF₁(,0) і F₂(,0). Для побудови еліпса відкладаємо на осях ОХ і ОУ вершини А₁, В₁, А₂, В₂ відповідно і з’єднуємо їх плавною лінією (див. попередню задачу).

Зауваження. Якщо у канонічному рівнянні більшою піввіссю будеb>a, то фокуси еліпса будуть розміщені на осі ОУ і тоді .

Задача 3. Знайти осі, вершини і фокуси еліпса .

Розв’язання. Зведемо рівняння до канонічного ,Вершини еліпса в точках А₁(5,0), В₁(0,13), А₂(-5,0) і В₂(0,-13). Будуємо вершини на координатних осях і з’єднаємо плавною лінією (див рис.). Оскільки в даному випадку b=13 більше ніж , то еліпс витягнутий вдовж осіOY і фокуси теж будуть на осі OY, знаходимо півфокусну відстань Фокуси в точкахі(див. рис. 25-2)

Задача 4. Довести, що рівняння

описує еліпс. Знайти координати центра, півосі, півфокусну відстань, ексцентриситет. Побудувати еліпс.

Розв’язання. Зведемо рівняння до канонічного вигляду. Спочатку згрупуємо по кожній із змінних і виділимо повний квадрат

Позначимо Зроблену заміну змінних будемо розглядати як перетворення прямокутних координатx і y із системи XOY в нові координати ісистемишляхом паралельного перенесення координатних осей, де новий початок знаходиться в точці. В новій системі координатрівняння еліпса приймає канонічний вигляд

З канонічного рівняння ,,,,,. Побудуємо в системіXOY точку - новий початок координат, проведемо черезнові осіі. В системібудуємо еліпс за отриманим канонічним рівнянням, тобто повідкладаємо вліво і вправо відноснопівосі, а по- аналогічні півосі(див рисунок).