Все по электронике от Мосина / Electronics_RGR

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА №6

ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТАБЛИЧНО ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ

1.Цель работы. Изучение методов численного дифференцирования таблично заданных функций. Реализация метода численного дифференцирования.

2.Основные понятия и определения

Численное дифференцирование применяется, если функцию f(x) трудно или невозможно продифференцировать аналитически, например, если она задана таблицей. Оно нужно также при решении дифференциальных уравнений при помощи разностных методов.

При численном дифференцировании таблично заданных функций в предположении о существовании производных этих функций можно вычислить только приближенные значения производных, для чего используются их конечно-разностные аппроксимации (приближения).

Так, первая производная функции y = f(x) по определению есть

y′ = f ′(x)= lim ∆y ,

∆x→0 ∆x

где ∆x – приращение x; ∆y = (f (x +∆x)− f (x)) – приращение y. Поскольку при табличном задании функции f(x) приращения ∆x и ∆y имеют конечные значения, в качестве приближения производной функции принимается выражение y′ ≈ ∆y∆x , называемое ее конечно-разностной аппроксимаци-

ей.

Пусть функция y = f(x) задана таблично: y0, y1, y2,… при

x = x0, x1, x2…, тогда

∆yi = yi − yi −1 , ∆xi = xi − xi −1 , i = 1, 2, …

и первая производная функции в точке xi может быть приближенно представлена в виде

y′ ≈ (yi − yi −1 )(xi − xi −1 )= ∆yi ∆xi

при помощи левых разностей, или в виде

y′ ≈ (yi +1 − yi )(xi +1 − xi )

при помощи правых разностей, либо с помощью центральных разностей y′ ≈ (yi +1 − yi −1 )(xi +1 − xi −1 ).

Приближенные значения производных можно найти с использованием следующих подходов: метода конечных разностей; по формуле Рунге-

21

Ромберга; на основе интерполяционного многочлена Ньютона; на основе формулы Стирлинга; на основе многочлена Лагранжа, и др.

3. Порядок выполнения работы

1)По источникам [12]-[17] познакомиться со способами и назначением численного дифференцирования таблично заданных функций.

2)Выбрать и изучить два метода численного дифференцирования.

3)Для функции, определенной в варианте индивидуального задания, найти величину периода и вычислить точное значение производной в трех точках: a, b и (a+b)/2.

4)Составить алгоритмы для каждого метода численного дифференцирования и выполнить их программную реализацию.

5)Для оригинальной функции сформировать набор табличных значений из диапазона [a, b], в качестве начального шага сетки использовать величину (a+b)/20.

6)Для функции, представленной таблицей, вычислить значения производной в узлах сетки каждым из реализованных методов. Оценить величину погрешности.

7)Повторить вычисление производной при различных значениях шага сетки. Полученные результаты представить в виде таблицы. Определить, как величина шага сетки влияет на точность дифференцирования каждым из выбранных методов.

8)Провести анализ полученных результатов.

9)Оформить отчет.

4. Содержание отчета

Отчет по расчетно-графической работе должен содержать:

•Титульный лист.

•Цель работы, задание и исходные данные.

•Краткое теоретическое введение об особенностях выбранных методов численного дифференцирования.

•Блок-схемы алгоритмов выбранных методов численного дифференцирования.

•График оригинальной функции и таблицу ее значений в узлах сетки.

•Вычисленное значение периода функции, а также математические расчеты производной в заданных точках.

22

•Значения производной функции, полученные при использовании численных методов, и соответствующие им погрешности вычислений. Таблицу конечных разностей.

•Таблицу значений производной, вычисленных обоими методами при различных величинах шага сетки, и соответствующих им значений погрешности вычислений.

•Сравнительную оценку полученных результатов.

•Выводы по работе.

•Список использованных источников.

5.Вариант индивидуального задания

Выполнить численное дифференцирование функции, представленной табличными значениями, которые получены для оригинальной функции (1) в узлах сетки на отрезке [a, b], где a = 0; b = T, T – период функции. Начальный шаг сетки равен (a+b)/20.

Список рекомендуемой литературы

1.Гоноровский И.С., Демин М.П. Радиотехнические цепи и сигналы.

–М.: Радио и связь, 1994. – 608 с.

2.Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. – М.: Высш. шк., 2000. – 462 с.

3.Воробьев В.И., Грибулин В.Г. Теория и практика вейвлетпреобразования. – СПб.: ВУС, 1999. – 204 с.

4.Гусев В.Г., Гусев Ю.М. Электроника. – М.: Высш. шк., 1991. –

622 с.

5.Опадчий Ю.Ф. Аналоговая и цифровая электроника. – М.: Горячая линия – Телеком, 2000. – 768 с.

6.Скаржепа В.А., Луценко А.Н. Электроника и микросхемотехника. Ч. 1. Электронные устройства информационной автоматики. – К.: Высш.

шк, 1989. – 431 с.

7.Разевиг В.Д. Система сквозного проектирования электронных уст-

ройств DesignLab 8.0. – М.: Солон-Р, 2000. – 698 с.

8.Влах И., Сингхал К. Машинные методы анализа и проектирования электронных схем. – М.: Радио и связь, 1988. – 560 с.

9.Чуа Л.О., Пен-Мин Лин. Машинный анализ электронных схем. –

М.: Энергия, 1980. – 640 с.

10.Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. – М.:

Высш. шк., 1986. – 352 с.

23

11.Калахан Д. Методы машинного расчета электронных схем. – М.:

Мир, 1970. – 344 с.

12.Н.Н. Калиткин. Численные методы. – М.: Наука, 1978. – 512 с.

13.В.И. Мышенков, Е.В. Мышенков. Численные методы. – М.:

МГУЛ, 2001. – 120 с.

14.Бахвалов Н.С. Численные методы. – М.: Наука, 1973. – 632 с.

15.Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математи-

ки. – М.: Наука, 1970. – 664 с.

16.Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам. – М.: Радио и связь, 1985.

17.Лоусон Ч., Хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов. – М.: Наука, 1986. – 232 с.

24