Все по электронике от Мосина / Electronics_RGR

Для двухполюсников емкостного типа связь тока и напряжения является следствием закона Гаусса и определяется выражением:

iC (t)= C duC (t), dt

где C – емкость двухполюсника.

Для индуктивного двухполюсника данная связь определяется законом электромагнитной индукции, в соответствии с которым напряжение на индуктивном элементе равно:

uL (t)= L didtL (t),

где L – значение индуктивности элемента.

Топологические уравнения цепи связывают между собой токи либо напряжения на различных участках цепи. Для составления уравнений данного типа используются законы Кирхгофа. 1-й закон Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма токов, втекающих в какой-либо из узлов электрической цепи равна нулю. Уравнение по 1-му закону Кирхгофа может быть записано для любого узла электрической цепи в следующем виде:

N

∑ik = 0 ,

k =1

где ik – ток, протекающий по k-й ветви, N – общее число ветвей, подходящих к узлу. При этом токи, направленные к узлу берутся с одним знаком (обычно, с “минусом”), а токи, направленные от узла – с другим знаком (обычно, со знаком “плюс”).

Связь напряжений на различных ветвях электрической цепи устанавливает 2-й закон Кирхгофа, согласно которому алгебраическая сумма напряжений на ветвях цепи, образующих замкнутый контур, равна нулю. Уравнение по 2-му закону Кирхгофа может быть записано для любого замкнутого контура, образованного ветвями цепи, и имеет вид:

M

∑uk = 0,

k =1

где uk – напряжение на k- й ветви, M – общее число ветвей, входящих в состав данного контура. Если в состав контура входят ветви, образованные источниками ЭДС, то уравнение второго закона Кирхгофа можно записать, приравнивая сумму напряжений на пассивных ветвях контура сумме ЭДС источников, входящих в состав данного контура. При этом напряжения и ЭДС, направления которых совпадают с выбранным направлением обхода контура, берутся со знаком “плюс”, а напряжения и ЭДС, направления которых противоположны направлению обхода – со знаком “минус”.

Топологические методы построения математических моделей аналоговых схем основаны на математической теории графов.

11

Для описания структуры цепи используются три основных топологических элемента: ветвь, узел и контур. Ветвь – это участок электрической цепи, по которому протекает один и тот же ток. Она может состоять из одного или нескольких последовательно включенных двухполюсников. Узел – это точка на схеме, место соединения двух или более ветвей. Контур – это замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям электрической цепи, начинающийся и заканчивающийся в одном и том же узле. На этом пути каждая ветвь и каждый узел проходятся только один раз. Выбор контуров удобно проводить с использованием направленного графа цепи и дерева направленного графа.

Линейный граф схемы получают, сопоставляя каждому узлу цепи вершину графа, изображаемую точкой, и каждой ветви цепи ветвь графа, изображаемую линией. Если на всех ветвях графа указать стрелками выбранные положительные направления токов, согласованные с положительными полярностями напряжений, то получаем направленный граф цепи. Дерево – система наименьшего числа ветвей, связывающих все узлы графа без образования контуров.

Решение задачи анализа аналоговой схемы может быть выполнено с использованием различных методов, например, метода непосредственно применения законов Кирхгофа, метода контурных токов, метода узловых потенциалов и др.

В методе контурных токов электрическая цепь разбивается на систему независимых контуров. При выборе системы независимых контуров необходимо следовать трем основным правилам:

•каждая ветвь цепи должна войти в состав хотя бы одного контура;

•каждый из контуров должен включать хотя бы одну ветвь, не входящую ни в один из других контуров;

•если контур содержит несколько ветвей, не входящих в состав ни одного из других контуров, то эти ветви должны быть включены последовательно друг за другом и не должны иметь общих узлов с остальными ветвями цепи, за исключением начального и конечного узлов данной последовательной цепочки.

Если цепь содержит идеальные источники тока, то на выбор системы контуров накладываются два дополнительных условия:

•в состав любого контура может войти только один идеальный источник тока;

•любой из источников тока может войти в состав только одного контура.

Для каждого из независимых контуров цепи записывается уравнение 2-го закона Кирхгофа. В качестве независимых переменных в полученных уравнениях выступают контурные токи, протекающие каждый по своему

12

контуру, причем истинный ток в ветви, входящей одновременно в состав нескольких независимых контуров, равен алгебраической сумме контурных токов данных контуров. Напряжение на каждой из пассивных ветвей любого контура может быть выражено через контурные токи при помощи компонентного уравнения двухполюсника, входящего в состав данной ветви.

В методе узловых потенциалов для каждого из узлов цепи (за исключением выбранного базисного узла, потенциал которого принимается равным нулю) записывается уравнение первого закона Кирхгофа. В качестве независимых переменных полученных уравнений выступают узловые потенциалы, представляющие собой напряжения между рассматриваемым узлом цепи и ее базисным узлом. Ток в каждой из пассивных ветвей, подходящих к данному узлу, определяется с помощью компонентного уравнения элемента, включенного в данную ветвь, а напряжение на ветви записывается в виде разности соответствующих узловых напряжений.

При наличии в схеме идеальных источников напряжения узловые уравнения могут быть записаны в обычном виде для узлов, к которым данные источники не подходят. Для каждой пары узлов, между которыми включены источники напряжения, узловое уравнение записывается в виде 1-го закона Кирхгофа для замкнутой области, включающей рассматриваемую пару узлов и источник напряжения. Токи, вытекающие из данной области по ветвям, содержащим пассивные элементы, выражаются при помощи компонентных уравнений этих элементов через разность узловых напряжений на их зажимах. В полученную систему добавляются недостающие уравнения, связывающие ЭДС источников с узловыми напряжениями на их зажимах.

3. Порядок выполнения работы

1)По источникам [8]-[11] познакомиться с принципами формирования уравнений, описывающих особенности функционирования электронных аналоговых схем.

2)Изучить методы контурных токов и узловых потенциалов.

3)Для схемы, представленной на рисунке, составить систему уравнений электрической цепи по методу контурных токов. Выполнить решение полученной системы, используя в качестве параметров компонентов значения из варианта индивидуального задания.

4)Для схемы, представленной на рисунке, составить систему уравнений электрической цепи по методу узловых потенциалов. Выполнить решение полученной системы, используя в качестве параметров компонентов значения из варианта индивидуального задания.

13

5)Провести проверку полученных результатов. Сравнить между собой решения, полученные при использовании обоих методов.

6)Провести анализ полученных результатов.

7)Оформить отчет.

4. Содержание отчета

Отчет по расчетно-графической работе должен содержать:

•Титульный лист.

•Цель работы и задание.

•Принципиальную схему электрической цепи, для которой выполняются расчеты, и исходные данные.

•Краткое теоретическое введение об особенностях метода контурных токов и метода узловых потенциалов. Правила составления уравнений электрической цепи.

•Пошаговое описание процесса составления уравнений заданной схемы по методу контурных токов. Сформированную в результате систему уравнений и ее решение.

•Пошаговое описание процесса составления уравнений заданной схемы по методу узловых потенциалов. Сформированную в результате систему уравнений и ее решение.

•Сравнительный анализ полученных решений систем уравнений, составленных двумя методами.

•Выводы по работе.

•Список использованных источников.

5.Вариант индивидуального задания

Провести анализ схемы представленной на рисунке методом контурных токов и методом узловых потенциалов. В качестве параметров компонентов схемы использовать следующие значения

14

где M – номер группы (1, 2, …), N – порядковый номер студента в журнале.

I1

E1

Резистивная электрическая цепь

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА №4

АППРОКСИМАЦИЯ И ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ТАБЛИЧНО ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ

1.Цель работы. Изучение методов приближенного представления таблично заданных функций. Реализация методов аппроксимации и интерполяции.

2.Основные понятия и определения

Для аналитических методов расчета электронных схем характеристики элементов (особенно нелинейных) должны быть представлены аналитическими выражениями. Аналитическое представление функций, заданных в виде графиков или таблиц, возможно только приближенно. Как правило, чем выше требования к точности представления, тем сложнее получается нужное аналитическое выражение характеристики и тем труднее решение уравнений, полученных на основе этого выражения. Поэтому необходим компромиссный выбор между усложнением функции и точностью приближения. Другим важным вопросом является выбор вида приближающей функции и способа ее получения. Построение приближенных функций возможно с использованием методов аппроксимации и интерполяции.

Аппроксимацией функции называется приближенное представление сложной (имеющей громоздкое математическое представление) или задан-

15

ной в виде таблицы функции f(x) более простой функцией ϕ(x), имеющей минимальные отклонения от исходной функции в заданной области x. По сути, аппроксимация – это моделирование сложной функции более простой с вычислительной точки зрения функцией.

Частным случаем аппроксимации является интерполяция – точечная аппроксимация, когда приближенная функция ϕ(x) строится на задан-

ном множестве точек xi (i = 0, 1, 2 , …, n) причем в узловых точках xi зна-

чения аппроксимирующей функции ϕ(x) и исходной функции f(x) равны:

ϕ(xi )= f (xi ).

Если приближение строится на заданном дискретном множестве точек {xi }, то аппроксимация называется точечной. При построении прибли-

жения на непрерывном множестве точек (например, на отрезке [a, b]) аппроксимация называется непрерывной.

Интерполяция на всем участке [a, b] называется глобальной, а на отдельных участках отрезка [a, b] – кусочной или локальной.

Пусть на отрезке [a, b] заданы точки x0, x1, …, xn и значения некоторой функции y = f (x) в этих точках: f(x0) = y0, f(x1) = y1, …, f(xn) = yn. Требуется построить такую функцию F(x), которая принимает в точках xi зна-

чения, равные значениям функции f(xi): F(x0) = y0, F(x1) = y1, …, F(xn) = yn. Такая функция F(x) называется интерполирующей, а точки x0, x1, …, xn –

узлами интерполяции (узлами сетки).

Интерполяционную функцию F(x) используют для вычисления значений функции в промежутках между точками xi, xi-1. Процесс вычисления функции f(x) в промежуточных точках между x0, xn называется интерполяцией, а за пределами отрезка [a, b] – экстраполяцией.

Решение задачи интерполяции по формированию интерполяционной функции возможно с привлечением различных подходов, в основе которых лежат следующие формулы: первая и вторая интерполяционные формулы Ньютона, формулы Лежандра, многочлен Эрмита, интерполяция сплайнами и др.

При интерполяции происходит приравнивание значений f(x) и F(x) в узлах. Если значения функции f(xi) в узлах определены неточно, например из эксперимента, то точное приравнивание нецелесообразно. Поэтому нередко приближение функций выполняют не по точкам, а в среднем, т.е. посредством аппроксимации. Решение задачи аппроксимации возможно с привлечением метода наименьших квадратов, методов на основе функций Чебышева и др.

16

3. Порядок выполнения работы

1)По источникам [12]-[17] познакомиться со способами и задачами приближенного представления таблично заданных функций. Определить отличия между аппроксимацией и интерполяцией функций.

2)Выбрать и изучить два метода: один – реализующий аппроксимацию функций, другой – их интерполяцию.

3)Составить алгоритмы для каждого метода и выполнить их программную реализацию.

4)Для функции, определенной в варианте индивидуального задания, сформировать набор табличных значений, измеренных в n точках заданного отрезка [a, b].

5)Используя полученную таблицу, построить аппроксимирующую и интерполирующую функции.

6)Для каждой функции построить график, совмещенный с графиком исходной функции.

7)Вычислить погрешность аппроксимирующей и интерполирующей функций. Сравнить полученные результаты.

8)Провести анализ, как количество узлов сетки влияет на величину погрешности. Для каждой функции построить семейство графиков, совмещенных в одной системе координат и соответствующих трем различным значениям количества узлов сетки.

9)Провести анализ полученных результатов.

10)Оформить отчет.

4. Содержание отчета

Отчет по расчетно-графической работе должен содержать:

•Титульный лист.

•Цель работы, задание и исходные данные.

•Краткое теоретическое введение об особенностях выбранных методов аппроксимации и интерполяции, а также способе оценки погрешности приближения.

•Блок-схемы алгоритмов методов аппроксимации и интерполяции.

•График оригинальной функции и таблицу ее значений в узлах сетки.

•Символьные выражения для аппроксимирующей и интерполирующей функций.

•Графики полученных функций, построенные в отдельных системах координат и совмещенные с графиком оригинальной функции.

17

•Значения погрешности аппроксимирующей и интерполирующей функций. Сравнительную оценку полученных результатов.

•Семейства графиков погрешности аппроксимирующей и интерполирующей функций, построенные для трех различных значений количества узлов сетки. Результаты анализа влияния количества узлов на точность приближения.

•Выводы по работе.

•Список использованных источников.

5.Вариант индивидуального задания

Выполнить приближение функции, представленной табличными значениями, которые получены для оригинальной функции (1) в узлах сетки на отрезке [a, b].

где M – номер группы (1, 2, …), N – порядковый номер студента в журнале, a = 0; b = 3. Начальное количество узлов сетки n равно 15.

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА №5

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТАБЛИЧНО ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ

1.Цель работы. Изучение методов численного интегрирования таблично заданных функций. Реализация метода численного интегрирования.

2.Основные понятия и определения

К вычислению определенного интеграла сводятся многие практические задачи. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и известна ее первообразная F(x), то определенный интеграл от этой функции в пределах от a до b может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница

Однако на практике этот способ вычисления определенного интеграла используется редко, поскольку не каждая функция f(x) имеет первообразную F(x), которая выражается через элементарные функции, когда же

18

задана таблицей, этот метод вообще не применим. В таких случаях вычисление определенного интеграла по формуле (2) становится практически невыполнимым, и используются методы численного интегрирования.

Вычислительный алгоритм строится следующим образом. Отрезок интегрирования [a, b] разбивается на n равных частичных отрезков [xi-1, xi]

(i = 1, 2, …, n) длиной h = (b −a)n , а интеграл ∫ab f (x)dx заменяется суммой частичных интегралов

Эта формула называется квадратурной, точки xk – узлами, а числа ck – коэффициентами этой формулы. Погрешность квадратурной формулы определяется из выражения

b n

Rn = ∫ f (x)dx −∑ck f (xk ).

ak =0

Взависимости от выбора интерполяционного полинома Lm,i (x) по-

лучаются различные квадратурные формулы. Наиболее распространенными из них являются: формулы Ньютона-Котеса, формула трапеций, формула Симпсона, формула Гаусса, формула Чебышева и др.

3. Порядок выполнения работы

1)По источникам [12]-[17] познакомиться со способами и назначением численного интегрирования таблично заданных функций.

2)Выбрать и изучить два метода численного интегрирования.

3)Для функции, определенной в варианте индивидуального задания, найти величину периода и вычислить точное значение интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

4)Составить алгоритмы для каждого метода и выполнить их программную реализацию.

5)Для оригинальной функции сформировать набор табличных значений, измеренных в n точках заданного отрезка [a, b]. По исходным данным рассчитать длину шага интегрирования.

19

6)Используя полученную таблицу, вычислить значения интеграла каждым из реализованных методов. Определить величину погрешности.

7)Повторить вычисление интеграла при различных значениях шага интегрирования. Полученные результаты представить в виде таблицы. Определить, как величина шага интегрирования влияет на точность интегрирования каждым из выбранных методов.

8)Провести анализ полученных результатов.

9)Оформить отчет.

4. Содержание отчета

Отчет по расчетно-графической работе должен содержать:

•Титульный лист.

•Цель работы, задание и исходные данные.

•Краткое теоретическое введение об особенностях выбранных методов численного интегрирования.

•Блок-схемы алгоритмов выбранных методов численного интегрирования.

•График оригинальной функции и таблицу ее значений в узлах сетки.

•Вычисленные значения периода функции и начального шага интегрирования. Математические расчеты интеграла функции по формуле Ньютона-Лейбница.

•Значения интеграла функции, полученные при использовании численных методов, и соответствующие им погрешности вычислений.

•Таблицу значений интеграла, вычисленных обоими методами при различных величинах шага интегрирования, и соответствующих им значений погрешности вычислений.

•Сравнительную оценку полученных результатов.

•Выводы по работе.

•Список использованных источников.

5.Вариант индивидуального задания

Выполнить численное интегрирование функции, представленной табличными значениями, которые получены для оригинальной функции

(1) в узлах сетки на отрезке [a, b], где a = 0; b = T, T – период функции. Начальное количество узлов сетки n равно 20.

20