Kon_lin_an3
.pdfматрица, отвечающая этому оператору в ортонормированном базисе fe1; : : : ; eng. Тогда
n
X
Aej = 1je1 + + njen = ijei; j = 1; : : : ; n:
i=1
Следовательно, (Aej; ei) = ij.
Пусть теперь сопряженному оператору A в этом базисе отвечает матрица [A ] = ( ij)ni:j=1. Тогда
ij = (A ej; ei) = (ei; A ej) = (Aei; ej) = ji;
т.е., матрица является транспонированной к матрице , элементы
[A ] [A]
которой соответственно комплексно сопряжены элементам матрицы [A]. Такую матрицу называют сопряженной к матрице [A]. Таким образом,
[A ] = |
0 ...11 |
:.:.:. |
...1n1 |
= |
0 ...11 :.:.:. |
...n11 |
= [A]> |
||
|
B n |
1 |
: : : |
nn |
C |
|
B 1n : : : |
nnC |
|
|
@ |
|
|
|
A |
|
@ |
A |
|
Отметим, что |
|
|
|
> |
|
|
|
|
|||
det[A ] = det [A] |
= det [A] = det[A]: |
Замечание 2.5.8. Для того, чтобы два оператора A, B 2 B(H) были сопряжены друг другу, необходимо и достаточно, чтобы в любом ортонормированном базисе fe1; : : : ; eng им соответствовали сопряженные друг другу матрицы.
Утверждение 2.5.9. Если линейные операторы A, A 2 B(H) имеют общий собственный вектор x, то характеристические числа этих операторов, отвечающие вектору x, комплексно сопряжены.
Доказательство. Пусть Ax = x и A x = x, где x 6= 0. Тогда
(x; x) = ( x; x) = (Ax; x) = (x; A x) = (x; x) = (x; x);
откуда следует, что = .
Упражнение 2.5.10. Пусть A 2 B(H). Тогда
(A ) = (A);
tr A = tr A.
51
Глава 3
Самосопряженные операторы
3.1Самосопряженные операторы в H и их матрицы
Определение 3.1.1. Линейный оператор A 2 B(H) называется самосопряженным (или эрмитовым), если A = A , т.е. если для любых x; y 2 H имеет место равенство:
(Ax; y) = (x; Ay):
Обозначим через Bh(H) множество всех самосопряженных операторов из B(H).
Утверждение 3.1.2. Пусть A 2 B(H). Оператор A 2 Bh(H) тогда и только тогда, когда (Ax; x) 2 R для любого x 2 H.
Доказательство. Если A = A , то для любого x 2 H
(Ax; x) = (x; A x) = (x; Ax) = (Ax; x);
т.е. (Ax; x) 2 R.
Обратно, пусть (Ax; x) 2 R для любого x 2 H. Тогда
(Ax; x) = (Ax; x) = (x; A x) = (A x; x):
В силу следствия 2.1.4(ii), A = A .
Упражнение 3.1.3. Доказать, что для любого A 2 B(H) операторы A A и AA принадлежат Bh(H).
52
Упражнение 3.1.4. Пусть A; B 2 Bh(H). Доказать, что
(A + B) 2 Bh(H);
A 2 Bh(H) для любого вещественного 2 R;
Если оператор A обратим, то оператор A 1 2 Bh(H);
Для того, чтобы оператор AB 2 Bh(H), необходимо и достаточно, чтобы операторы A и B коммутировали, т.е. AB = BA;
Операторы AB + BA и i(AB BA) принадлежат Bh(H).
Замечание 3.1.5. Множество Bh(H) является вещественным подпространством (векторным пространством над полем R действительных чисел) в
B(H).
Утверждение 3.1.6. Каждый линейный оператор A 2 B(H) однозначно представим в виде
A = A1 + iA2; |
(3.1) |
где A1, A2 2 Bh(H).
Доказательство. Рассмотрим операторы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
A1 = |
A + A |
; A2 = |
A A |
: |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
|
|
||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 + iA2 = |
A + A |
|
+ i |
A A |
= A; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
A1 = |
|
2 |
|
|
= |
2i |
|
2 |
|
= |
|
|
2 |
|
= A1; |
|
|||||||||
2 |
|
|
A |
|
A |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
A + A |
|
|
|
|
|
+ A |
|
|
|
|
+ A |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
A = |
A A |
= |
|
A A |
= |
|
A A |
= A |
; |
||||||||||||||||
2 |
2i |
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
2i |
2 |
|
т.е. операторы A1 и A2 самосопряжены.
Пусть теперь оператор A 2 B(H) представим в виде A = A01 + iA02, где A01, A02 2 Bh(H). Тогда A = A01 iA02, откуда
A0 |
= |
A + A |
= A1 |
; A0 |
= |
A A |
= A2: |
|
|
||||||
1 |
2 |
|
2 |
|
2i |
|
|
|
|
|
|
|
53
Представление оператора A 2 B(H) в виде (3.1) называется декартовым представлением оператора A. Операторы A1 и A2 называются действительной и мнимой частью оператора A и обозначаются
A1 = Re A; A2 = Im A:
Таким образом, любой оператор A 2 B(H) однозначно представим в виде
A = Re A + i Im A;
где Re A, Im A 2 Bh(H).
Определение 3.1.7. Матрица ( ij)ni;j=1 2 Mn(C) называется самосопряженной или эрмитовой, если
ij = ji; i; j = 1; : : : ; n:
Утверждение 3.1.8. Для того, чтобы оператор A 2 Bh(H), необходимо и достаточно, чтобы его матрица в каком-либо ортонормированном базисе была самосопряженной.
Доказательство. Пусть fe1; : : : ; eng ортонормированный базис в H,
A 2 B(H) и
[A] = ( ij)i;jn |
=1 |
= |
0 ... |
... ... |
1 |
|
|
|
|
11 |
: : : |
1n |
|
|
|
|
B n1 |
: : : |
nnC |
|
|
|
|
@ |
|
|
A |
матрица, отвечающая этому оператору в данном базисе. Тогда сопряженному оператору A в этом базисе отвечает матрица
|
0 |
|
1 |
|
11 |
: : : |
n1 |
[A ] = ( ji)i;jn =1 |
= B ...1n |
:.:.:. |
nn... C = [A]>: |
|
@ |
|
A |
Так как A = A тогда и только тогда, когда [A] = [A ], т.е. ij = ji, то A 2 Bh(H) тогда и только тогда, когда [A] = ( ij)ni;j=1 самосопряженная матрица.
54
3.2Ортопроекторы
Определение 3.2.1. Пусть H гильбертово пространство, M линейное подпространство в H, H = M M?. Тогда любой вектор x 2 H однозначно представим в виде
x = y + z;
где y 2 M, z 2 M?.
Линейный оператор PM 2 B(H) такой, что
PMx = y;
называется ортопроектором на подпространство M. Ясно, что PM яв-
ляется проектором на подпространство M параллельно подпространству
M?.
Обозначим множество всех ортопроекторов гильбертова пространства H через P(H).
Утверждение 3.2.2. Справедливы следующие утверждения.
(i)Пусть H = M M? и PM ортопроектор на подпространство M. Тогда
PM2 = PM = PM:
(ii) Если P 2 B(H) такой, что P 2 = P = P , то P = PM, где
M = fP x : x 2 Hg:
Доказательство. (i). Пусть H = M M?, PM ортопроектор на подпространство M, x; u 2 H и
x = y + z; u = v + w;
где y; v 2 M, z; w 2 M?. Тогда PMx = y и PMu = v. Следовательно,
(PMx; u) = (y; u) = (y; v + w) = (y; v) + (y; w) = (y; v) = = (y; v) + (z; v) = (x; v) = (x; PMu);
т.е. PM = PM.
Кроме того, y = PMx 2 M и PMy = y. Поэтому
PM2 x = PM(PMx) = PMy = y = PMx:
55
Следовательно, PM2 = PM.
(ii). Пусть P 2 B(H) такой, что P 2 = P = P и x 2 H. Тогда для любого y 2 H имеем:
(x P x; P y) = (P (x P x); y) = (P x P 2x; y) = (P x P x; y) = 0:
Следовательно, x P x 2 M?, где M = fP y : y 2 Hg. Таким образом,
x = P x + (x P x);
где P x 2 M, а x P x 2 M?, т.е. P = PM.
Утверждение 3.2.3. Если P 2 P(H), то для любого x 2 H имеет место неравенство:
kP xk kxk:
Доказательство. Так как P 2 P(H), то P = PM ортопроектор на подпространство M = fP x; x 2 Hg, и H = M M?.
Для произвольного вектора x 2 H имеем:
x = y + z; y = P x 2 M; z 2 M?:
Тогда
kxk2 = (x; x) = (y + z; y + z) = (y; y) + (z; z) = (P x; P x) + (z; z) = = kP xk2 + kzk2 kP xk2;
откуда следует неравенство kP xk kxk.
Утверждение 3.2.4. Если P 2 P(H), P 6= 0, то kP k = 1:
Доказательство. В силу утверждения 3.2.3 имеем kP xk kxk для любого x 2 H. Кроме того, kP yk = kyk для любого y 2 M = fP x : x 2 Hg. Следовательно,
kP k = sup kP xk = 1:
x6=0 kxk
Утверждение 3.2.5. Для проекторов выполнены следующие свойства.
(i)Если PM 2 P(H), то I PM = PM?.
(ii)Если PM, PN 2 P(H), то PM + PN 2 P(H) тогда и только тогда, когда PMPN = 0, т.е. M ? N. В этом случае PM + PN = PM N.
56
(iii)Если PM, PN 2 P(H), то PMPN 2 P(H) тогда и только тогда, когда PMPN = PNPM. В этом случае PMPN = PM\N.
(iv)Если PM, PN 2 P(H), то PM PN 2 P(H) тогда и только тогда, когда PMPN = PN, т.е. M N. В этом случае PM PN = PM N.
Доказательство. (i). Если PM 2 P(H), то
(I PM)2 = I 2PM + PM2 = I 2PM + PM = I PM; (I PM) = I PM:
Следовательно, в силу теоремы 3.2.2(ii), I PM = PN, где
N = f(I PM)x : x 2 Hg:
Пусть (I PM)x = x PMx 2 N. Так как H = M u M?, то
x = y + z; y 2 M; z 2 M?:
Тогда
PMx = y = PMy:
Следовательно,
x PMx = x y = z 2 M?:
Таким образом, N M?.
С другой стороны, если z 2 M?, то PMz = 0. Поэтому
z = z PMz = (I PM)z 2 N;
т.е., M? N. Следовательно, N = M? и
I PM = PM?:
(ii). Пусть PM; PN 2 P(H). Тогда
(PM + PN)2 = PM2 + PMPN + PNPM + PN2 = = PM + PMPN + PNPM + PN:
Если PM + PN ортопроектор, то
(PM + PN)2 = PM + PN:
57
Следовательно, PMPN +PNPM = 0. Умножая это равенство слева и справа на PN, получим
0 = PN(PMPN + PNPM)PN = PNPMPN + PNPMPN;
откуда
PNPMPN = PNPMPMPN = (PMPN) (PMPN) = 0:
Следовательно, для любого x 2 H имеем:
((PMPN) (PMPN)x; x) = ((PMPN)x; (PMPN)x) = 0;
т.е., (PMPN)x = 0 для любого x 2 H. Таким образом, PMPN = 0. Заметим, что аналогично можно установить равенство PNPM = 0.
Обратно, пусть PMPN = 0, а значит и PNPM = 0. Тогда
(PM + PN)2 = PM + PN = (PM + PN) :
Следовательно, PM + PN ортопроектор. Рассмотрим произвольные y 2 M и z 2 N. Тогда
(y; z) = (PMy; PNz) = (y; PMPNz) = (y; 0) = 0:
Следовательно, (y; z) = 0 для любых y 2 M и z 2 N. Поэтому подпространство, на которое проектирует PM + PN, имеет вид
f(PM + PN)x : x 2 Hg = fPMx + PNx : x 2 Hg = M N:
(iii). Пусть PM; PN 2 P(H). Если PMPN ортопроектор, то
PMPN = (PMPN) = PNPM;
т.е., PM и PN коммутируют. Обратно, если PMPN = PNPM, то
(PMPN)2 = PMPNPMPN = PMPMPNPN = PMPN; (PMPN) = PNPM = PMPN:
Следовательно, PMPN ортопроектор на подпространство
fPMPNx : x 2 Hg:
Но если y = PMPNx = PNPMx, то y = PMx1 = PNx2, где x1 = PNx, x2 = PMx. Следовательно, y 2 M и y 2 N, т.е. y 2 M \ N.
58
С другой стороны, если y 2 M \ N, то y = PMPNy. Следовательно,
PMPN = PM\N:
(iv). Пусть PM; PN 2 P(H).
Если PM PN ортопроектор, то согласно пункту (i),
I (PM PN) = (I PM) + PN
тоже ортопроектор. Поэтому, в силу пункта (ii),
(I PM)PN = PN PMPN = 0:
Следовательно, PMPN = PN.
С другой стороны, если PMPN = PN, то
(PM PN)2 = PM PMPN PNPM + PN =
= PM PN PN + PN = PM PN; (PM PN) = PM PN;
т.е. PM PN ортопроектор.
Пусть теперь K = f(PM PN) x : x 2 Hg. Покажем, что
K ? N = fPN y : y 2 Hg:
Действительно,
((PM PN)x; PNy) = (PN(PM PN)x; y) = ((PN PN)x; y) = 0:
Кроме того, если x 2 M, то
x = PMx = PMx PNx + PNx = (PM PN)x + PNx
и
PM((PM PN)x + PNy) = (PM PN)x + PNy:
Следовательно, K N = M и K = M N.
Пусть PM; PN 2 P(H). Доказать, что PMPNPM 2 P(H) тогда и только тогда, когда PMPN = PNPM. В этом случае PMPN = PM\N.
Замечание 3.2.6. При доказательстве пункта (ii) теоремы 3.2.5 было установлено, что если PMPN = 0, то подпространства M и N ортогональны.
59
Определение 3.2.7. Ортопроекторы PM и PN называются взаимно ортогональными, если PMPN = 0. В этом случае M Ker PN и N Ker PM.
Упражнение 3.2.8. Привести пример такого оператора P , что P 2 = P ,
P 6= P и kP k > 1.
Упражнение 3.2.9. Пусть PM; PN 2 P(H). Доказать, что PMPNPM 2 P(H) тогда и только тогда, когда PMPN = PNPM.
Утверждение 3.2.10. Если PM и PN ортопроекторы на подпространства M и N соответственно и kPM PNk < 1, то
dim M = dim N:
Доказательство. Пусть dim M = m, dim N = k и fx1; : : : ; xmg базис подпространства M. Рассмотрим векторы
fPNx1; : : : ; PNxmg
и покажем, что они линейно независимы. Пусть линейная комбинация
m
X
iPNxi = 1PNx1 + + mPNxm = 0:
i=1
Тогда
m |
ixi |
= 0: |
PN i=1 |
||
X |
|
Если Pmi=1 ixi 6= 0, то
|
m |
|
|
|
m |
X |
|
|
|||
|
|
|
|
X |
|
|
(PM PN) |
ixi |
|
= PM |
ixi |
|
i=1 |
|
|
|
=1 |
|
im |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= PM i=1 ixi |
X
С другой стороны
|
|
m |
ixi = |
||
PN i=1 |
|||||
|
|
X |
: |
|
|
= |
m |
|
|||
i=1 ixi |
|
||||
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(PM PN) |
m |
|
m |
ixi |
|
< |
m |
ixi |
kPM PNk |
|
|||||
|
X |
|
X |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
ixi :
i=1 |
i=1 |
i=1 |
60