Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Kon_lin_an3

.pdf
Скачиваний:
48
Добавлен:
07.03.2016
Размер:
994.99 Кб
Скачать

матрица, отвечающая этому оператору в ортонормированном базисе fe1; : : : ; eng. Тогда

n

X

Aej = 1je1 + + njen = ijei; j = 1; : : : ; n:

i=1

Следовательно, (Aej; ei) = ij.

Пусть теперь сопряженному оператору A в этом базисе отвечает матрица [A ] = ( ij)ni:j=1. Тогда

ij = (A ej; ei) = (ei; A ej) = (Aei; ej) = ji;

т.е., матрица является транспонированной к матрице , элементы

[A ] [A]

которой соответственно комплексно сопряжены элементам матрицы [A]. Такую матрицу называют сопряженной к матрице [A]. Таким образом,

[A ] =

0 ...11

:.:.:.

...1n1

=

0 ...11 :.:.:.

...n11

= [A]>

 

B n

1

: : :

nn

C

 

B 1n : : :

nnC

 

 

@

 

 

 

A

 

@

A

 

Отметим, что

 

 

 

>

 

 

 

 

det[A ] = det [A]

= det [A] = det[A]:

Замечание 2.5.8. Для того, чтобы два оператора A, B 2 B(H) были сопряжены друг другу, необходимо и достаточно, чтобы в любом ортонормированном базисе fe1; : : : ; eng им соответствовали сопряженные друг другу матрицы.

Утверждение 2.5.9. Если линейные операторы A, A 2 B(H) имеют общий собственный вектор x, то характеристические числа этих операторов, отвечающие вектору x, комплексно сопряжены.

Доказательство. Пусть Ax = x и A x = x, где x 6= 0. Тогда

(x; x) = ( x; x) = (Ax; x) = (x; A x) = (x; x) = (x; x);

откуда следует, что = .

Упражнение 2.5.10. Пусть A 2 B(H). Тогда

(A ) = (A);

tr A = tr A.

51

Глава 3

Самосопряженные операторы

3.1Самосопряженные операторы в H и их матрицы

Определение 3.1.1. Линейный оператор A 2 B(H) называется самосопряженным (или эрмитовым), если A = A , т.е. если для любых x; y 2 H имеет место равенство:

(Ax; y) = (x; Ay):

Обозначим через Bh(H) множество всех самосопряженных операторов из B(H).

Утверждение 3.1.2. Пусть A 2 B(H). Оператор A 2 Bh(H) тогда и только тогда, когда (Ax; x) 2 R для любого x 2 H.

Доказательство. Если A = A , то для любого x 2 H

(Ax; x) = (x; A x) = (x; Ax) = (Ax; x);

т.е. (Ax; x) 2 R.

Обратно, пусть (Ax; x) 2 R для любого x 2 H. Тогда

(Ax; x) = (Ax; x) = (x; A x) = (A x; x):

В силу следствия 2.1.4(ii), A = A .

Упражнение 3.1.3. Доказать, что для любого A 2 B(H) операторы A A и AA принадлежат Bh(H).

52

Упражнение 3.1.4. Пусть A; B 2 Bh(H). Доказать, что

(A + B) 2 Bh(H);

A 2 Bh(H) для любого вещественного 2 R;

Если оператор A обратим, то оператор A 1 2 Bh(H);

Для того, чтобы оператор AB 2 Bh(H), необходимо и достаточно, чтобы операторы A и B коммутировали, т.е. AB = BA;

Операторы AB + BA и i(AB BA) принадлежат Bh(H).

Замечание 3.1.5. Множество Bh(H) является вещественным подпространством (векторным пространством над полем R действительных чисел) в

B(H).

Утверждение 3.1.6. Каждый линейный оператор A 2 B(H) однозначно представим в виде

A = A1 + iA2;

(3.1)

где A1, A2 2 Bh(H).

Доказательство. Рассмотрим операторы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A1 =

A + A

; A2 =

A A

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2i

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A1 + iA2 =

A + A

 

+ i

A A

= A;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A1 =

 

2

 

 

=

2i

 

2

 

=

 

 

2

 

= A1;

 

2

 

 

A

 

A

 

 

 

 

 

A + A

 

 

 

 

 

+ A

 

 

 

 

+ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A =

A A

=

 

A A

=

 

A A

= A

;

2

2i

 

 

 

 

 

2i

 

 

 

 

2i

2

 

т.е. операторы A1 и A2 самосопряжены.

Пусть теперь оператор A 2 B(H) представим в виде A = A01 + iA02, где A01, A02 2 Bh(H). Тогда A = A01 iA02, откуда

A0

=

A + A

= A1

; A0

=

A A

= A2:

 

 

1

2

 

2

 

2i

 

 

 

 

 

 

53

Представление оператора A 2 B(H) в виде (3.1) называется декартовым представлением оператора A. Операторы A1 и A2 называются действительной и мнимой частью оператора A и обозначаются

A1 = Re A; A2 = Im A:

Таким образом, любой оператор A 2 B(H) однозначно представим в виде

A = Re A + i Im A;

где Re A, Im A 2 Bh(H).

Определение 3.1.7. Матрица ( ij)ni;j=1 2 Mn(C) называется самосопряженной или эрмитовой, если

ij = ji; i; j = 1; : : : ; n:

Утверждение 3.1.8. Для того, чтобы оператор A 2 Bh(H), необходимо и достаточно, чтобы его матрица в каком-либо ортонормированном базисе была самосопряженной.

Доказательство. Пусть fe1; : : : ; eng ортонормированный базис в H,

A 2 B(H) и

[A] = ( ij)i;jn

=1

=

0 ...

... ...

1

 

 

 

11

: : :

1n

 

 

 

 

B n1

: : :

nnC

 

 

 

@

 

 

A

матрица, отвечающая этому оператору в данном базисе. Тогда сопряженному оператору A в этом базисе отвечает матрица

 

0

 

1

 

11

: : :

n1

[A ] = ( ji)i;jn =1

= B ...1n

:.:.:.

nn... C = [A]>:

 

@

 

A

Так как A = A тогда и только тогда, когда [A] = [A ], т.е. ij = ji, то A 2 Bh(H) тогда и только тогда, когда [A] = ( ij)ni;j=1 самосопряженная матрица.

54

3.2Ортопроекторы

Определение 3.2.1. Пусть H гильбертово пространство, M линейное подпространство в H, H = M M?. Тогда любой вектор x 2 H однозначно представим в виде

x = y + z;

где y 2 M, z 2 M?.

Линейный оператор PM 2 B(H) такой, что

PMx = y;

называется ортопроектором на подпространство M. Ясно, что PM яв-

ляется проектором на подпространство M параллельно подпространству

M?.

Обозначим множество всех ортопроекторов гильбертова пространства H через P(H).

Утверждение 3.2.2. Справедливы следующие утверждения.

(i)Пусть H = M M? и PM ортопроектор на подпространство M. Тогда

PM2 = PM = PM:

(ii) Если P 2 B(H) такой, что P 2 = P = P , то P = PM, где

M = fP x : x 2 Hg:

Доказательство. (i). Пусть H = M M?, PM ортопроектор на подпространство M, x; u 2 H и

x = y + z; u = v + w;

где y; v 2 M, z; w 2 M?. Тогда PMx = y и PMu = v. Следовательно,

(PMx; u) = (y; u) = (y; v + w) = (y; v) + (y; w) = (y; v) = = (y; v) + (z; v) = (x; v) = (x; PMu);

т.е. PM = PM.

Кроме того, y = PMx 2 M и PMy = y. Поэтому

PM2 x = PM(PMx) = PMy = y = PMx:

55

Следовательно, PM2 = PM.

(ii). Пусть P 2 B(H) такой, что P 2 = P = P и x 2 H. Тогда для любого y 2 H имеем:

(x P x; P y) = (P (x P x); y) = (P x P 2x; y) = (P x P x; y) = 0:

Следовательно, x P x 2 M?, где M = fP y : y 2 Hg. Таким образом,

x = P x + (x P x);

где P x 2 M, а x P x 2 M?, т.е. P = PM.

Утверждение 3.2.3. Если P 2 P(H), то для любого x 2 H имеет место неравенство:

kP xk kxk:

Доказательство. Так как P 2 P(H), то P = PM ортопроектор на подпространство M = fP x; x 2 Hg, и H = M M?.

Для произвольного вектора x 2 H имеем:

x = y + z; y = P x 2 M; z 2 M?:

Тогда

kxk2 = (x; x) = (y + z; y + z) = (y; y) + (z; z) = (P x; P x) + (z; z) = = kP xk2 + kzk2 kP xk2;

откуда следует неравенство kP xk kxk.

Утверждение 3.2.4. Если P 2 P(H), P 6= 0, то kP k = 1:

Доказательство. В силу утверждения 3.2.3 имеем kP xk kxk для любого x 2 H. Кроме того, kP yk = kyk для любого y 2 M = fP x : x 2 Hg. Следовательно,

kP k = sup kP xk = 1:

x6=0 kxk

Утверждение 3.2.5. Для проекторов выполнены следующие свойства.

(i)Если PM 2 P(H), то I PM = PM?.

(ii)Если PM, PN 2 P(H), то PM + PN 2 P(H) тогда и только тогда, когда PMPN = 0, т.е. M ? N. В этом случае PM + PN = PM N.

56

(iii)Если PM, PN 2 P(H), то PMPN 2 P(H) тогда и только тогда, когда PMPN = PNPM. В этом случае PMPN = PM\N.

(iv)Если PM, PN 2 P(H), то PM PN 2 P(H) тогда и только тогда, когда PMPN = PN, т.е. M N. В этом случае PM PN = PM N.

Доказательство. (i). Если PM 2 P(H), то

(I PM)2 = I 2PM + PM2 = I 2PM + PM = I PM; (I PM) = I PM:

Следовательно, в силу теоремы 3.2.2(ii), I PM = PN, где

N = f(I PM)x : x 2 Hg:

Пусть (I PM)x = x PMx 2 N. Так как H = M u M?, то

x = y + z; y 2 M; z 2 M?:

Тогда

PMx = y = PMy:

Следовательно,

x PMx = x y = z 2 M?:

Таким образом, N M?.

С другой стороны, если z 2 M?, то PMz = 0. Поэтому

z = z PMz = (I PM)z 2 N;

т.е., M? N. Следовательно, N = M? и

I PM = PM?:

(ii). Пусть PM; PN 2 P(H). Тогда

(PM + PN)2 = PM2 + PMPN + PNPM + PN2 = = PM + PMPN + PNPM + PN:

Если PM + PN ортопроектор, то

(PM + PN)2 = PM + PN:

57

Следовательно, PMPN +PNPM = 0. Умножая это равенство слева и справа на PN, получим

0 = PN(PMPN + PNPM)PN = PNPMPN + PNPMPN;

откуда

PNPMPN = PNPMPMPN = (PMPN) (PMPN) = 0:

Следовательно, для любого x 2 H имеем:

((PMPN) (PMPN)x; x) = ((PMPN)x; (PMPN)x) = 0;

т.е., (PMPN)x = 0 для любого x 2 H. Таким образом, PMPN = 0. Заметим, что аналогично можно установить равенство PNPM = 0.

Обратно, пусть PMPN = 0, а значит и PNPM = 0. Тогда

(PM + PN)2 = PM + PN = (PM + PN) :

Следовательно, PM + PN ортопроектор. Рассмотрим произвольные y 2 M и z 2 N. Тогда

(y; z) = (PMy; PNz) = (y; PMPNz) = (y; 0) = 0:

Следовательно, (y; z) = 0 для любых y 2 M и z 2 N. Поэтому подпространство, на которое проектирует PM + PN, имеет вид

f(PM + PN)x : x 2 Hg = fPMx + PNx : x 2 Hg = M N:

(iii). Пусть PM; PN 2 P(H). Если PMPN ортопроектор, то

PMPN = (PMPN) = PNPM;

т.е., PM и PN коммутируют. Обратно, если PMPN = PNPM, то

(PMPN)2 = PMPNPMPN = PMPMPNPN = PMPN; (PMPN) = PNPM = PMPN:

Следовательно, PMPN ортопроектор на подпространство

fPMPNx : x 2 Hg:

Но если y = PMPNx = PNPMx, то y = PMx1 = PNx2, где x1 = PNx, x2 = PMx. Следовательно, y 2 M и y 2 N, т.е. y 2 M \ N.

58

С другой стороны, если y 2 M \ N, то y = PMPNy. Следовательно,

PMPN = PM\N:

(iv). Пусть PM; PN 2 P(H).

Если PM PN ортопроектор, то согласно пункту (i),

I (PM PN) = (I PM) + PN

тоже ортопроектор. Поэтому, в силу пункта (ii),

(I PM)PN = PN PMPN = 0:

Следовательно, PMPN = PN.

С другой стороны, если PMPN = PN, то

(PM PN)2 = PM PMPN PNPM + PN =

= PM PN PN + PN = PM PN; (PM PN) = PM PN;

т.е. PM PN ортопроектор.

Пусть теперь K = f(PM PN) x : x 2 Hg. Покажем, что

K ? N = fPN y : y 2 Hg:

Действительно,

((PM PN)x; PNy) = (PN(PM PN)x; y) = ((PN PN)x; y) = 0:

Кроме того, если x 2 M, то

x = PMx = PMx PNx + PNx = (PM PN)x + PNx

и

PM((PM PN)x + PNy) = (PM PN)x + PNy:

Следовательно, K N = M и K = M N.

Пусть PM; PN 2 P(H). Доказать, что PMPNPM 2 P(H) тогда и только тогда, когда PMPN = PNPM. В этом случае PMPN = PM\N.

Замечание 3.2.6. При доказательстве пункта (ii) теоремы 3.2.5 было установлено, что если PMPN = 0, то подпространства M и N ортогональны.

59

Определение 3.2.7. Ортопроекторы PM и PN называются взаимно ортогональными, если PMPN = 0. В этом случае M Ker PN и N Ker PM.

Упражнение 3.2.8. Привести пример такого оператора P , что P 2 = P ,

P 6= P и kP k > 1.

Упражнение 3.2.9. Пусть PM; PN 2 P(H). Доказать, что PMPNPM 2 P(H) тогда и только тогда, когда PMPN = PNPM.

Утверждение 3.2.10. Если PM и PN ортопроекторы на подпространства M и N соответственно и kPM PNk < 1, то

dim M = dim N:

Доказательство. Пусть dim M = m, dim N = k и fx1; : : : ; xmg базис подпространства M. Рассмотрим векторы

fPNx1; : : : ; PNxmg

и покажем, что они линейно независимы. Пусть линейная комбинация

m

X

iPNxi = 1PNx1 + + mPNxm = 0:

i=1

Тогда

m

ixi

= 0:

PN i=1

X

 

Если Pmi=1 ixi 6= 0, то

 

m

 

 

 

m

X

 

 

 

 

 

 

X

 

(PM PN)

ixi

 

= PM

ixi

 

i=1

 

 

 

=1

 

im

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= PM i=1 ixi

X

С другой стороны

 

 

m

ixi =

PN i=1

 

 

X

:

 

=

m

 

i=1 ixi

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(PM PN)

m

 

m

ixi

 

<

m

ixi

kPM PNk

 

 

X

 

X

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

ixi :

i=1

i=1

i=1

60

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]