Kon_lin_an3

Замечание 4.2.7. (i). Верно и обратное утверждение, т.е., если в некотором ортонормированном базисе матрица оператора U 2 B(H) имеет вид (4.3), то U унитарный оператор, а соответствующий базис собственный базис оператора U.

(ii). Как следует непосредственно из теоремы 4.2.6, любой унитарный оператор U 2 U(H) подобен диагональному. Более того, для любого унитарного оператора U 2 U(H) существует унитарный оператор V 2 U(H)

такой, что

U = V DV 1;

где

01

0: : : rIr

и1, . . . , r попарно различные собственные значения оператора U,

j kj = 1, k = 1, . . . , r.

(iii). Как уже отмечалось в замечании 3.4.2, любой самосопряженный оператор A 2 B(H) подобен диагональному. Более того, для любого самосопряженного оператора A 2 B(H) существует унитарный оператор

U 2 U(H) такой, что

A = UDU 1;

где

01

1, . . . , r попарно различные собственные значения оператора A.

Упражнение 4.2.8. Докажите следующее утверждение. Пусть U, V 2 U(H). Если UV = V U, то операторы U и V имеют общий собственный вектор.

Утверждение 4.2.9. Пусть fU g 2J U(H) произвольное семейство попарно коммутирующих унитарных операторов. Существует ортонормированный базис fe1; : : : ; eng, в котором матрицы [U ] операторов U одновременно имеют диагональный вид.

Доказательство. Сначала рассмотрим случай двух коммутирующих унитарных операторов U1, U2 2 B(H). Пусть собственное значение оператора U1, N соответствующее ему собственное подпространство. Для

101

любого x 2 N имеем

U1U2x = U2U1x = U2x;

поэтому U2x 2 N . Умножая равенство U1U2 = U2U1 справа и слева на U2 , получим равенство U2 U1 = U1U2 , из которого аналогично получаем U2 x 2 N . Тогда подпространства N и N? инвариантные подпространства оператора U2. Но тогда U2 N унитарный оператор в N , и применяя спектральную теорему 4.2.6, выберем собственный базис для сужения U2 на N , который очевидно, будет также состоять из собственных векторов для U1 (поскольку N собственное подпространство U1). Сужения операторов U1, U2 на N? коммутирующие унитарные операторы, применим к ним описанную процедуру, и.т.д., пока не построим собственный базис для операторов U1, U2 во всем пространстве H.

Аналогично доказывается, что для любого конечного набора коммутирующих унитарных операторов U1, . . . , Um существует базис пространства H, являющийся собсвенным базисом для каждого из операторов.

Пусть теперь fU g 2J U(H) произвольное семейство попарно коммутирующих унитарных операторов. Поскольку U(H) B(H), а B(H) линейное пространство размерности n2, n = dim H, то среди операторов fU g 2J U(H) существует только конечное число линейно независимых U1, . . . , Um, m < n2, а все остальные являются их линейными комбинаци-

ями,

m

X

U = c j Uj; 2 J:

j=1

Тогда базис пространства H, являющийся собсвенным базисом для каждого из операторов U1, . . . , Um, будет, очевидно, собственным базисом также для каждого из операторв fU g 2J , и в этом базисе соответствующие матрицы будут диагональными.

Теорема 4.2.10 (Спектральная теорема для унитарного оператора в форме разложения единицы). Если U 2 U(H) унитарный оператор, то существуют такие числа 1, . . . , r 2 C и ненулевые ортопроекторы P1, . . . , Pr 2 P(H), r 6 n, такие, что

(i)j kj = 1 для любого k = 1, . . . , r, k 6= j при k 6= j;

(ii)Ортопроекторы P1, . . . , Pr попарно ортогональны;

Pr

(iii)k=1 Pk = I;

102

Условия (i)–(iv) определяют числа 1, . . . , r однозначно.

Доказательство. Покажем, что спектр (U) = f 1; : : : ; rg, где k 6= j при k 6= j, и ортопроекторы Pk = PN k на собственные подпространства

N k = fx 2 H : Ux = kxg

удовлетворяют условиям теоремы. Условия (i) и (ii) следуют из выбора f 1; : : : ; rg и утверждения 4.2.3.

Pr

Условие (iii): k=1 Pk = I, следует из теоремы 4.2.6 и равенства

r

P

P1, . . . , Pr 2 P(H), r 6 n удовлетворяют условиям (i)–(iii), называется

спектральным разложением оператора U.

Замечание 4.2.12. Так как любое число z 2 C такое, что jzj = 1, представимо в виде z = ei , то любое k 2 (U) можно записать в виде k = ei k . В этом случае спектральное разложение унитарного оператора U имеет

вид:

r

X

U = ei k Pk;

k=1

где f 1; : : : ; rg не равные друг другу вещественные числа, а ненулевые ортопроекторы P1, . . . , Pr 2 P(H), r 6 n удовлетворяют условиям (i)–(iii). Более того, можно считать, что

0 6 1 < < r < 2 :

103

Следствие 4.2.13. Если оператор U 2 B(H) представим в виде

r

X

U = ei k Pk;

k=1

где f 1; : : : ; rg вещественные числа, а ненулевые ортопроекторы P1,

. . . , Pr 2 P(H), r 6 n удовлетворяют условиям (i)–(iii), то U унитарный оператор.

Следовательно, U унитарный оператор.

4.3Функциональное исчисление для унитарного оператора

Установим непосредственную связь между унитарными и самосопряженными операторами. Это можно сделать по крайней мере двумя способами. первый способ основан на преобразовании Кэли, использующем дробнолинейное преобразование

+ i

= i:

Утверждение 4.3.1 (Преобразование Кэли). Справедливы утверждения.

(i) Если A 2 Bh(H), то оператор

унитарен;

(ii) Если оператор U 2 U(H) и 1 62 (U), то оператор

самосопряжен.

104

Доказательство. (i). Так как A самосопряженный оператор, то Ker(A + iI) = f0g, поэтому в силу теоремы I(L).2.3.3, оператор (A + iI) обратим, и потому оператор U = (A iI)(A + iI) 1 существует. Тогда имеем:

U U = [(A iI)(A + iI) 1] [(A iI)(A + iI) 1] =

=[(A iI) 1(A + iI)][(A iI)(A + iI) 1] =

=(A iI) 1(A + iI)(A iI)(A + iI) 1 =

=(A iI) 1(A iI)(A + iI)(A + iI) 1 = I:

Следовательно, оператор U унитарен.

(ii). Так как 1 62 (U), то оператор (U I) обратим и оператор A = i(I + U)(I U) 1 существует. Рассмотрим произвольные x; y 2 H и положим f = (I U)x, g = (I U)y. Тогда

Поэтому, в силу (x; y) = (Ux; Uy), имеем:

(Af; g) = (i(I + U)x; (I U)y) =

=i[(x; y) + (Ux; y) (x; Uy) (Ux; Uy)] =

=i[(Ux; y) (x; Uy)];

(f; Ag) = ((I U)x; i(I + U)y) =

=i[(x; y) (Ux; y) + (x; Uy) (Ux; Uy)] =

=i[( Ux; y) + (x; Uy)] = i[(Ux; y) (x; Uy)]:

Следовательно, (Af; g) = (f; Ag). Так как Ran(I U) = H, то A = A.

Определение 4.3.2. Преобразованием Кэли самосопряженного оператора A 2 Bh(H) называется унитарный оператор

U = (A iI)(A + iI) 1:

Преобразованием Кэли унитарного оператора U 2 U(H), спектр (U) которого не содержит 1, называется самосопряженный оператор

A = i(I + U)(I U) 1:

Замечание 4.3.3. Отметим некоторые свойства преобразования Кэли.

105

(i)Зная преобразование Кэли самосопряженного оператора A 2 B(H), можно этот оператор восстановить по формуле (4.5). Действительно, пусть U = (A iI)(A + iI) 1, x 2 H и y = (A + iI)x.

Тогда

Uy = (A iI)(A + iI) 1(A + iI)x = (A iI)x:

Поэтому

(I + U)y = y + Uy = (A + iI)x + (A iI)x = 2Ax;

(I U)y = y Uy = (A + iI)x (A iI)x = 2ix:

Если (I U)y = 0, то x = 0 и значит y = (A + iI)x = 0. Следовательно, оператор (I U) обратим. Поэтому

2Ax = (I + U)y = (I + U)(I U) 12ix:

т.е. A = i(I + U)(I U) 1:

(ii)Зная преобразование Кэли унитарного оператора U 2 U(H), для которого 1 62 (U), можно этот оператор восстановить по формуле (4.4). Действительно, пусть A = i(I + U)(I U) 1, x 2 H и y = (I U)x. Тогда

Поэтому

(A iI) = 2iUx; (A + iI)y = 2ix:

Если (A + iI)y = 0, то x = 0 и значит y = (I U)x = 0. Следовательно, оператор (A + iI) обратим. Поэтому

2iUx = (A iI)y = (A iI)(A + iI) 12ix:

т.е. U = (A iI)(A + iI) 1:

(iii)Преобразование Кэли устанавливает взаимно однозначное соответствие между самосопряженными операторами и унитарными операторами, спектр которых не содержит точки 1.

(iv)Преобразования Кэли самосопряженного оператора A 2 B(H) и унитарного оператора U 2 U(H), 1 62 (U), можно определить более общим образом, полагая:

U = (A !I)(A + !I) 1;

106

и

A = (!I + !U)(I U) 1;

где Im ! 6= 0.

Другой способ перехода от самосопряженных операторов к унитарным основан на экспоненциальном отображении = ei :

Пусть A самосопряженный оператор и

Доказательство. Доказательство следует из вещественности спектра f 1; : : : ; rg самосопряженного оператора A и следствия 4.2.13.

Утверждение 4.3.5. Для любого унитарного оператора U существует самосопряженный оператор A такой, что U = eiA:

Доказательство. Пусть

r

X

U = ei k Pk

k=1

спектральное разложение оператора U. Рассмотрим оператор

r

X

A = kPk:

k=1

Тогда, в силу следствия 3.4.7 и замечания 3.4.2, оператор A самосопря-

жен и

r

X

U = ei k Pk = eiA:

k=1

107

Замечание 4.3.6. Так как ei k = ei( k+2 nk); где nk произвольное целое число, то самосопряженный оператор A по унитарному оператору U определяется неоднозначно. Для получения взаимно однозначного соответствия требуют, чтобы спектр (A) оператора A лежал на полуинтервале [0; 2 ).

4.4Однопараметрические группы унитарных операторов

Пусть U 2 U(H) и

rr

XX

U = kPk = ei k Pk

k=1 k=1

его спектральное разложение.

Для любого действительного числа t 2 R1 = ( 1; +1) определим

унитарный оператор

r

X

Ut = eit k Pk:

k=1

Утверждение 4.4.1. Семейство fUtgt2R1 U(H) является непрерывной однопараметрической группой унитарных операторов, т.е.

(i) UtUs = Ut+s;

(ii) U0 = I;

(iii) Ut 1 = Ut = U t;

(iv) lim kUs Utk = 0.

s!t

Доказательство. Условия (i) и (ii) проверяются непосредственно:

(i).

(iii). В силу (i) справедливо равенство

UtU t = U tUt = U0 = I:

108

Кроме того,

(iv). Справедлива оценка

Так как функция f(x) = e непрерывна на R , то для любого k = 1, . . . , r

Тогда fUt(A)gt2R1 является непрерывной однопараметрической группой унитарных операторов.

Доказательство. Доказательство следует непосредственно из утверждений 4.3.4 и 4.4.1.

Следующая теорема конечномерный аналог теоремы М. Стоуна о представлении однопараметрической группы унитарных операторов.

Теорема 4.4.4. Пусть fUtgt2R1 U(H) однопараметрическая группа унитарных операторов, т.е. семейство операторв, удовлетворяющих условиям:

(i)UtUs = Ut+s;

(ii)U0 = I;

(iii)Ut 1 = Ut = U t;

(iv)(Utx; y) является непрерывной функцией параметра t для любых x; y 2 H.

109

Тогда существует такой самосопряженный оператор A 2 Bh(H), что

Ut = Ut(A) = eitA; t 2 R1:

Доказательство. Так как группа fUtgt2R1 коммутативна, то согласно утверждению 4.2.9 существует ортонормированный базис fe1; : : : ; eng гильбертова пространства H, в котором для любого t 2 R1 матрицы [Ut] имеют диагональный вид:

Таким образом, (Ut) = ff1(t); : : : ; fn(t)g и операторы Ut имеют спектраль-

ные разложения

n

X

Ut = fk(t)Pk:

k=1

Из условий теоремы следует, что для любого k = 1, . . . , n fk(t)fk(s) = fk(t + s); jfk(t)j = 1;

и функции fk(t) непрерывны на R1. Покажем, что непрерывное решение такого функционального уравнения имеет вид fk(t) = eakt. Доказательство проведем для некоторого фиксированного k = 1, . . . , n, полагая fk(t) = f(t).

Пусть '(t) бесконечно дифференцируемая финитная (т.е. равная нулю вне некоторого конечного интервала) функция, такая, что

+1

Z

f(t)'(t)dt 6= 0:

1

Умножим обе части равенства f(t)f(s) = f(t+s) на '(s) и проинтегрируем по s от 1 до +1:

ZZ

110