Ряды_Доказательства

41) Про рівномірну норму

Для сукупності функцій, що мають областю визначення множину , рівномірна норма функцій є нормою

Перевіримо аксіоми норми. Її невід’ємність очевидна.

1) .

2) - очевидно.

3) , далі переходимо до

супремуму і одержуємо нерівність трикутника

42) Радикальна ознака Коші

Якщо для ряду існує границя , тоді: якщо , то ряд - збіжний; якщо , то ряд - розбіжний

Наслiдок узагальненої радикальної ознаки Кошi.

43-47)

Для функцій , , радіус збіжності СР дорівнює нескінченності, для функцій та радіус збіжності дорівнює одиниці.

48) Рівнозбіжність рядів, що пов’язані перетворенням Абеля

Розглянемо два числових ряди , . Якщо послідовність збігається, то обидва наведених ряди збігаються чи розбігаються одночасно.

Доведення безпосередньо слідує з перетворення Абеля Якщо позначити часткові суми вказаних рядів як та , то з перетворення Абеля ми одержимо таке співвідношення: , а далі залишається скористатися умовами теореми (тобто про збіжність послідовності ) та відомою теоремою про арифметичні дії над збіжними послідовностями.

49) Рівномірна збіжність добутку

Якщо на множині , , а також послідовності та обмежені, то на множині .

Доведення. Зробимо перетворення: . Покажемо спочатку, що . Дійсно: , , .

50) Рівномірна норма добутку

Нехай , , якщо , то

Доведення. , а далі знову переходимо до супремуму.

51)Теорема Рімана

Якщо ряд збігається умовно, то існує така перестановка цього ряду , яка збігається до

Доведення. Розглянемо випадок , інші випадки розглядаються аналогічно. Як і раніше розглянемо додатну та від’ємну частини ряду через та . З попереднього наслідку маємо:

: та .

Аналогічно : та .

Продовжимо цей процес: : та .

Тепер знову знайдемо і т.д. ми одержали перестановку, при якій відбувається коливання часткових сум перестановки навколо числа , при цьому різниця на кожному кроці не перевищує відповідного значення чи , але з умовної збіжності ряду слідує, що загальний член цього ряду прямує до нуля, а тому прямують до нуля також послідовності та , з чого слідує, що різниця між частковою сумою перестановки та числом прямує до нуля, що й означає збіжність цієї перестановки до

52) Розвинення функції в ряд Тейлора

Якщо функція розкладається в СР, то цей ряд є рядом Тейлора функції

Доведення: Слiдує з єдиностi розкладу f в CP.

53) Теорема Абеля для збіжного ряду

Нехай довільний збіжний ряд. Тоді існує така нескінченно велика послідовність , що ряд залишається збіжним

Якщо , то твердження очевидне. Нехай , покладемо - залишок ряду. З відповідної теореми при , внаслідок чого і . Покладемо . Тоді маємо

, що й доводить збіжність відповідного ряду.

54) Теорема Абеля для розбіжного ряду

Нехай довільний розбіжний ряд. Тоді існує така нескінченно мала послідовність , що ряд залишається розбіжним

Доведення: Нехай , тоді і . Покладемо , , доведемо, що ряд залишається розбіжним. , що й треба було показати.

55) Теорема Абеля про СР

Нехай числовий ряд збігається при деякому . Тоді СР збігається в крузі

Доведення. Оскільки ряд збігається, то (з наслідку 1), отже , а далі все слідує з теореми про нормальну збіжність СР.

56) Узагальнена ознака д’Аламбера

Якщо для ряду , то ряд - збіжний

Доведення. Виберемо число таким, щоб виконувались умови: . Тоді, починаючи з деякого номера , одержимо, що , і за  порiвняльною ознакою ряд збіжний.

57) Узагальнена радикальна ознака Коші

Для ряду позначимо , тоді: якщо , то ряд - збіжний; якщо , то ряд - розбіжний

Доведення. Нехай Перепишемо визначення верхньої границі таким чином: . Виберемо число таким чином, щоб . Тоді існує такий номер , що . А тому . Звідси маємо , а тому . З того, що ряд - збіжний та з теореми 1 слідує, що й ряд є збіжним.

57.

Якщо , то виберемо , таке що . Тоді : .

Але тоді існує така підпослідовність , що . Бо інакше, якщо остання нерівність виконується тільки для скінченої кількості членів послідовності, то позначимо через найбільший номер з них, тоді , що суперечить одержаній нерівності. А тоді з існування вказаної підпослідовності слідує, що , а це суперечить необхідній умові збіжності ряду, а тому ряд - розбіжний

58) Формула д’Аламбера про радіус СР

Якщо для степеневого ряду існує , то радіус збіжності степеневого ряду можна знайти за формулою: .

Доведення: З теореми про корiнь  n степенi - якщо для послідовності існує границя , то також існує границя та вони співпадають. А далі залишається скористатися теоремою Коші-Адамара.

59) Формула Коші-Адамара про радіус СР

Нехай - радіус збіжності СР і . Тоді . При цьому, якщо , то , і при .

Доведення. З умов теореми ми маємо, що

. (1)

Якщо , то з радикальної ознаки Коші числовий ряд збіжний, а тому з наслідку 4 .

Якщо , то , а тому з наслідку 2

Нехай тепер . З радикальної ознаки Коші та рівності (1) маємо:

ряд - збіжний, а тому , тобто . Аналогічно, якщо , то з тієї ж рівності (1) дістанемо, що , а тому з наслідку 3 маємо З останніх двох рівностей маємо потрібне .

60) Єдиність розкладу функції в СР

Якщо на проміжку для функції виконується рівність , то коефіцієнти СР знаходяться однозначно

Доведення. З теореми 4 після кратного диференціювання одержимо рівність: , з якої після підстановки нуля одержимо: